2018-2019學(xué)年廣東省中山市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2021-2021學(xué)年廣東省中山市高二上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)理試題一、單項(xiàng)選擇題1.命題P： “盧R, f*2,那么為A皿口小芝2 b皿 f<2»» C.' ", '''； D. '''【答案】B【解析】 根據(jù)特稱命題的否認(rèn)為全稱命題,易知原命題的否認(rèn)為：甲xER,k<2,應(yīng)選B.2.a,bWR,假設(shè)a<b,那么i iA. a<2bB. ab <b2C. a2 <b2 D. a3 <b3【答案】D【解析】a,bw R ,假設(shè)a <b,那么A： a < 2b,當(dāng)

2、兩個(gè)數(shù)值小于0時(shí)就不一定成立;11B. ab < b2 ,當(dāng)b=0時(shí),不成立；C, a2 <b2,當(dāng)兩者均小于0時(shí),根式?jīng)]有意義,故 不正確；D, a3 <b3, y=x3是增函數(shù),故正確.故答案為：D.3 .設(shè)等比數(shù)列也的公比是q,那么d是數(shù)列是國(guó)/為遞增數(shù)列的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】試題分析：a<0, q>i時(shí),an遞減；ai<0, 0<q<1時(shí),an遞增【考點(diǎn)】充要條件.4 .不等式K + 2的解集是A.B.«,-3)U(-2h0)C.D.【答案】AK(X + 3)

3、 >0.【解析】原不等式等價(jià)于 x + 2把各個(gè)因式的根排列在數(shù)軸上,用穿根法求得它的解集.【詳解】23 + 3)< X + 1> 0.不等式K + 2 等價(jià)于x + 2即等價(jià)于+如圖,把式2 = 0中各個(gè)因式的根排列在數(shù)軸上,用穿根法求得它的解集為 ,應(yīng)選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式不等式的解法,表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.、, a , a. + a, +30,% + % = 、5 .在等差數(shù)列n中,1?10 ,那么$6 l )A. 3 B. 6C. 9 D. 12【答案】Bc f a a 1| =- 3 口【解析】由結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),可得 56,那么答案可求

4、.【詳解】一公,a , a > 0露 + 匹 + + dr, = 3.在等差數(shù)列 門中,由口 ,且1210,得凡+ %) + (% + %) +凡一?+(即 +即+同+昭=3.,o 5(總工+日匚)=30日0 + a匚-6應(yīng)選：B.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的性質(zhì),是根底的計(jì)算題.6 .某些首飾,如手鐲,項(xiàng)鏈吊墜等都是橢圓形狀,這種形狀給人以美的享受,在數(shù)學(xué)中,我們把這種橢圓叫做e黃金橢圓,其離心率設(shè)黃金橢圓的長(zhǎng)半軸, 短半軸,半焦距分別為a, b, c,那么a, b, c滿足的關(guān)系是2A. 2b = a + cB."C, a = b + cd.如 7c【答案】BC 51.2 2

5、 2 2 N'T e =： =,c =a ,b = a -c = a -fa【解析】橢圓為黃金橢圓, 3切線的斜率是,1 y - Ina = -x * a 切線的方程為將0,0代入可得儂=L 日1 1,切線的斜率是己 工,12,應(yīng)選B.7 .曲線y=lnx的切線過原點(diǎn),那么此切線的斜率為1 1A. e B. -e C. eD.-【答案】C【解析】 分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 舊口融,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,切線的方程, 代入0, 0,求切點(diǎn)坐標(biāo),切線的斜率.詳解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為露1 口a,應(yīng)選：C.點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一,用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)叫,)及斜率,

6、其求法為：設(shè)是曲線V =電)上的一點(diǎn),那么以P的切點(diǎn)的切線方 程為：¥一¥口"小一').假設(shè)曲線在點(diǎn)以'用»的切線平行于Y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在) 時(shí),由切線定義知,切線方程為8,假設(shè)函數(shù)J + 6僅+ 1有極大值和極小值,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是13a.卜皿 b.+叼C.D,一加,"一；【答案】B【解析】分析：由題意求導(dǎo)f' ( x) =3x2+2ax+ (a+6);假設(shè)函數(shù)f (x) =x3+ax2+ (a+6) x+1有極大值和極小值,那么 = (2a) 2-4>x (a+6) >0;從而求得實(shí)數(shù) a的取值范圍

7、. 詳解：f (x) =x3+ax2+ (a+6) x+1 ,f'(x) =3x2+2ax+ (a+6);又函數(shù)f (x) =x3+ax2+ (a+6) x+1有極大值和極小值, . = (2a) 2- 4>x (a+6) > 0;故 a> 6 或 a< - 3;應(yīng)選：B.點(diǎn)睛：函數(shù)有極值等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有“變號(hào)零點(diǎn),即導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),且導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)附 近的值正負(fù)相反.9.平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)NL-L口的一個(gè)法向量為“1 一)那么以下點(diǎn)P中,在是 的 內(nèi) a面平【答案】Bt【解析】由題意可知符合條件的點(diǎn)P應(yīng)滿足PA n=0,逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】TTT對(duì)于選項(xiàng)A,PA

8、=(1,0,1), PA n=5,所以PA與n不垂直,排除A;同理可排除C,D,對(duì)于選項(xiàng)B,有 1 2人所以PA . n=0,因此B項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】 此題考查平面法向量的定義,屬根底題.10 .設(shè)數(shù)列瓦的前n項(xiàng)和為,且%",瓦"叫,為常數(shù)列,那么B. n(n + 1) c,+ 2) d.【解析】由題意知,與 +/=2,當(dāng)n±2時(shí),能得到+=,由此能求出23 =n n(n + 1)【詳解】丫數(shù)列瓦卜的前n項(xiàng)和為'且丐二 二 Si + lMa, = l + l = 21 1 ,: 3 + na .5 + na =2n 6為常數(shù)列,一由題意知,"“ 當(dāng)

9、n"時(shí),("1詳=(*1耳,32 a3 34 an 1 2 O - 1一工 明 匹 % an . 3 4 n +1從而 12 3rl-1,2n n(n + l),當(dāng)n = l時(shí)上式成立,應(yīng)選：B.此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意累乘法的合理運(yùn) 用.11 .以下命題正確的選項(xiàng)是=2 +3QJ假設(shè)P X V,那么P與'、V共面;C =2+3假設(shè)MP MA 嗎那么M p、A、B共面;假設(shè)0A 口B M OD.,那么 A、B、C、D 共面;+ 1. 5.1,= 中 - -假設(shè)OP 2oa 6oe 3匚,那么p、a b、C共面.A. 1 B. 2

10、 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由平面向量根本定理知該命題正確； 正確.由平面向量根本定理知:MP而A而B是共面向量,那么MP仁平面MAB,所以M、P、P、P共面;錯(cuò)誤.如圖,正方體中：oe = oa + ob + oc-0D = 0A + OB + 0C, -* 0口 = -0E;顯然 /B,C,E不共面,所以、P不共面;T I T 5 卜 1 卜 卜 1 T T 5*,1OP = -0A + -00OC=>OP = HOP + PA) + -(OP + P0)(OP + PC)正確;-3 -5 TPC = -PA + -P 乩所以那么p、共面；、應(yīng)選C12.函數(shù)f) = eK,

11、g(x) = ln- + -2,對(duì)任意存在bGQ. + 間,使得的最小值為A 2Je-l A.B.e 一C.2-ln2c 2 + In2 D.yi-a = 2e -Inyb 1【解析】試題分析:y = I n-+ -,那么a = lnv,令 2 2,可得,v- 11b-a = 2e -,y = -r所以V顯然伽f是增函數(shù),觀察可得當(dāng)2時(shí),山7二1 1%01y:一2e Iny =-In= 2 + ln2一的零點(diǎn).故當(dāng) 2時(shí),b-a取得最小值為2,應(yīng)選d.【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】此題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函

12、數(shù)的單調(diào)性與最小值,試題有一定的難度,屬于難題,其中得出1 1 , ¥ 2(b) =I = 2交-Iny ,求導(dǎo)得¥是解答此題的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的水平和轉(zhuǎn)化與化歸思想,同時(shí)此題中函數(shù)的零點(diǎn)不易用常規(guī)方法解出,解答時(shí)要會(huì)用代入特值的方法進(jìn)行驗(yàn)證求得零點(diǎn).二、填空題產(chǎn)L V<413 .假設(shè)變量4V滿足約束條件kr,2,那么=2x-v取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為 . 【答案】:.【解析】 分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),通過平移即可求z的最優(yōu)解.詳解：畫出約束條件的可行域,如圖：由 z=2x-y得：y=2x-z ,顯然直線過B (4, 2)時(shí)

13、, z最大,所以最優(yōu)解為：(4, 2)故答案為：(4, 2).-z點(diǎn)睛：此題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的根本方法.14 .平面內(nèi),線段總?cè)盏拈L(zhǎng)度為10,動(dòng)點(diǎn)口滿足PAI = 8 * |PB ,那么PB|的最小值為 【解析】分析：根據(jù)雙曲線定義得P軌跡方程,再根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)得IP叫的最小值.詳解：由于 |PA| = 6 + |PB|,所以 |PA|PB| = 6m|AP|,因此動(dòng)點(diǎn)P在以A,B為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支上, 從而距的最小值為E = 2點(diǎn)睛：(1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記, 還要深入理解細(xì)節(jié)局部： 比方橢

14、圓的定義中 要求|PFi|+ |PF2|>|F1F2|,雙曲線的定義中要求|PFi|-|PF2|<|F1F2|,拋物線定義中定點(diǎn) 不在定直線上.(2)注意數(shù)形結(jié)合,畫出合理草圖 .15 .如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔 AB的高,先在河岸上選一點(diǎn) C,使C在塔底B的正東方向 上,測(cè)得點(diǎn) A的仰角為60,再由點(diǎn) C沿北偏東 蚱前方向走10米到位置 D,測(cè)得 'BDC = 45",那么塔AB的高是 米-【答案】10【解析】設(shè)塔高池為乂米,根據(jù)題意可知,在AAK中,“BC = 90= AB甲2求在 BCD 中BC = AC =x從 而 有3 mCD = 20,上BCD = 1Q5

15、1 乙BDC = 3口: CBD-45a20sin30g 把 一BC = 15T2 x = 102由正弦定理可得sin454,3故塔高AB為1噬m.16 .記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和,假設(shè)$ 2 ,那么6 的最小值為【答案】8【解析】在等比數(shù)列3n'中,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),可得4%Sz,S6-s&構(gòu)成等比數(shù)歹,S s (S4S2)所以S* ,4 S?= 一當(dāng)且僅當(dāng)S工時(shí),等號(hào)是成立的,所以r5的最小值為8點(diǎn)睛：此題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及根本不等式的應(yīng)用,解答中根據(jù)等比數(shù)列的性4%與=$2 + 1 + 4質(zhì)和題設(shè)條件得到 's工,再利用根本不等式求解最值是解答的關(guān)鍵,其

16、中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的根底,著重考查了學(xué)生的推理運(yùn)算水平,及分析問題和解答問題的水平.三、解做題17 .數(shù)列忖J為單調(diào)遞增數(shù)列,31 = 1 ,其前"項(xiàng)和為且滿足2Sn = V2Sn-l + 1ni2eNJ .1求數(shù)列同?的通項(xiàng)公式；,19bjT > 2假設(shè)數(shù)列 品4 + 1,其前11項(xiàng)和為假設(shè)0 19成立,求11的最小值.5a = 2ri'l【答案】1 n ； 2 10【解析】試題分析：1先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系,再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項(xiàng)公式得數(shù)列 同的通項(xiàng)公式；2先根據(jù)裂項(xiàng)相消法求 ,再解不等式得即得的最小值.22.一“,28 =3 - 25 .

17、 + 12$ . = a , - 2S , +S'試題解析：1由n n nl 知："1n-1"2,?= 22?兩式相減得：、',丁,】即%+ *3%-七胞+玉.立又?jǐn)?shù)列凡為單調(diào)遞增數(shù)列,%=i,.3+5_*白吟 , ?,n - 7 ,+ a. J = a1 - 2a. + 1a., - 2a, -3 = 0a, = 3 a, - 1 人又當(dāng)n-工時(shí), i U 21 ,即22 ,解得工或2舍,符合""1,.二t討是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,1/ 12%一3 一已十0 一加工力i/i i i i'-+-+2n-1 2n + 1

18、n 2ll 3 3 5一 ft又i,i i19,即 2vL 2n + lJ 19 解得 2 9又"E "+ ,所以n的最小值為10.點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式,然后通過累加抵消中間假設(shè)干項(xiàng)的方法,裂項(xiàng)相消法適用于形如11 其中桓J是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù)的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和,常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和如本例,1 1還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,如 n + Un + 3J或4n + 218.NBC的內(nèi)角a, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且池口5408就+舐力刈. 口求角C;假設(shè)匚=2,求AAHC面積的最大值.【答案】C = 6&

19、#176;U；2池日匚面積取最大值3而.【解析】 試題分析：1利用正弦定理與和差公式即可得出.2利用余弦定理、根本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式即可得出.試題解析："tanO&acHB + bcosA,由正弦定理得 sinCtanC - sinAcosB + sinBcosA ,二、衣心 R =、FnC = M - C = 60 (2)由余弦定理/C2ab8$C得：12 =臣 - 23bBs6.° =aa +b2- ab aba rASAAEC = -absinC £3312 AABC 2.當(dāng)且僅當(dāng)"b = .：3時(shí),AAHC面積取最大值3q3

20、.19.如圖,在半徑為 30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料A點(diǎn)4 B在直徑上,點(diǎn)C, D在半圓周上,并將其卷成一個(gè)以 AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗.1假設(shè)要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大,應(yīng)如何截取？2假設(shè)要求圓柱體罐子的體積最大,應(yīng)如何截??？【答案】1當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊 B匚為cm為時(shí),圓柱體罐子的側(cè)面積最大.2當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊 BC為I.出0加為時(shí),圓柱體罐子的體積最大.【解析】解：1如圖,設(shè)圓心為O,連結(jié).J設(shè)BC= ",法一 易得岫=勺9.0-,kE.30故所求矩形AB8的面積為Sx = 也.0 - X 沙啊 力G,1900.r =900所當(dāng)且僅當(dāng),

21、= 900-J k=355E時(shí)等號(hào)成立此時(shí)BC=15 e；eeo> -法二 設(shè)“OB = 8 ,2 ；那么 K = 30sin9 , OB = 30cos9 ,所以矩形 ABCD 的面積為 SOI = 2 乂 30sine K 30cos9 = 900sir12a,n當(dāng)或門2日=1,即4時(shí),S匚mj此時(shí)BC = 152 cm.j900 -/2設(shè)圓柱的底面半徑為,體積為,由AB = 2pL = 2Kr得, 爪,2 L 1V = nr x = -900x -x 所以口,其中xE.,3.,1 1V = H900- 3x2 = 0v = T900冥-廣廠由 近得"I%',此時(shí),

22、 在1.上單調(diào)遞增,在500邛1邛班上單調(diào)遞減,故當(dāng)"1.點(diǎn)E時(shí),體積最大為北 京,答：(1)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊 BC為15福cm為時(shí),圓柱體罐子的側(cè)面積最大.(2)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊 BC為1.出為時(shí),圓柱體罐子的體積最大.20.在心加日中,點(diǎn)4-1,且它的周長(zhǎng)為6記點(diǎn)m的軌跡為曲線E.(1)求E的方程；Q)設(shè)點(diǎn)D(-2Q),過點(diǎn)B的直線與E交于不同的兩點(diǎn)P、Q, UPDQ是否可能為直角,并 說明理由.22K Y一+ - - l(y h 0)【答案】(1) 43；(2)見解析【解析】由題意得,IMAI + |MB| + |AB| =6,那么|MA| 十 |MB| =4>

23、; |AB| ,可得M的軌跡E是以A(-L.),為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4的橢圓,那么E的方程可求；口)設(shè)直線PQ的方程為K =與橢圓方程聯(lián)立,化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合向量數(shù)量積,證實(shí),pdQ不可能為直角.【詳解】由題意得,陽A| + |M明+|AB|=6,|M川十 |MB| -4>|AB|那么M的軌跡E是以ALL.),B 1,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,又由M, A, B三點(diǎn)不共線,戶口.22X VI- - =聲 0)的方程為4 3；設(shè)直線PQ的方程為x =*1,代入+獷=得(3mJ4/ + 6Ev-9 = 0.-6m- 9y + y = y y =設(shè)P儀阿,明,

24、匕),那么L 小上+ 4 , 上3m,4 .- 一 = 口】+ 2)(x2 + 2) + 丫.=(M + l)(mv2 + l) + 2(01 +1 + my2 + 1) + 4 +2- 9(m2 +1|18m227=(m + 1)注七 + 3m(y1 + y2H 9 = - + 9 =- >.3m +4 3m +4 3m +4,乙PDQ不可能為直角.【點(diǎn)睛】此題考查定義法求橢圓方程,考查了數(shù)量積在圓錐曲線中的應(yīng)用,處理直線與橢圓的位置關(guān)系的問題常用到設(shè)而不求的方法,考查運(yùn)算求解水平,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等,是 中檔題.21 .如圖,D是AC的中點(diǎn),四邊形 BDEF是菱形,平面BDEF J

25、.平面Abq £FBD = 6口AB-LBC= B 八&假設(shè)點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn),證實(shí)：BF1平面amC;求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.1【答案】1見解析；2 7.【解析】試題分析：1連接MDJD.由四邊形HDEF為菱形,可證BD1AC.由平面BDEF 1平面ABC,可證軌1平面BDEF.即可證實(shí)BF1平面AMC ；2設(shè)線段EF的中點(diǎn)為N,連接DN易證口 N_L平面說.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB DC 口N所 在直線分別為乂軸,V軸,軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.求出相應(yīng)點(diǎn)及向量的坐標(biāo),求得平面AEF,平面KF的法向量2的必,氣,n = x必吃.利用空間向量夾角公

26、式可 求得平面"EF與平面園小所成的銳二面角的余弦值.試題解析：1連接嗎 0.四邊形EDEF為菱形,且= 60, ADBF為等邊三角形.M為BF的中點(diǎn),DM-LBF.AB_LHC, AB = BC = M,又D是此的中點(diǎn) BD 1 AC.平面BDEF門平面ABC = BD平面ABC J-平面BDEF , AC仁平面ABC , AC1 平面 BDEF又 BFU 平面 BDEF,AC_LBF由 DM1BF, ACBF, DM»AC=D,(2)設(shè)線段EF的中點(diǎn)為N,連接口忖.易證口 N1平面ABC.以口為坐標(biāo)原點(diǎn),DB , DC , 口N所E( S在直線分別為 ,軸,*軸,

27、63;軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.那么A(O,-L.),2 2 ,1?F(.一)2 2 B(1AO) C(04,0).-1-1 而AE =(1,)-BF = (-A -)-22 EF = (1AO)22 eC = (-MHO)? ? ?設(shè)平面AEF,平面BCF的法向量分別為巾=的七),口 =出必/2)1 g1 -x. = 0 2 1Vi =；11解得取,=-2,.川口淄,一).-X2 + 4 =.i 3 _I#/0解得當(dāng)二尿取叼=1, .n = l4乖a.mn rii 11_ _= -=-=,cos < mfn > |m n q'7,7 7.平面AEF與平面BCF所成的銳

28、二面角的余弦值為7.1 23 Hf(x) =-ax + (a - l)x + (1 - 2a)lnx g(x) = -ax - e22.函數(shù)2,2(I)當(dāng)3Ao時(shí),討論函數(shù)fix)的單調(diào)性;(n)假設(shè)£僅)之4X)在區(qū)間.u上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.a之一【答案】 見解析(2)3【解析】試題分析：(I)求出(*),對(duì)分四種情況討論,分別令 式外0求得*的范圍, 可得函數(shù),僅)增區(qū)間,打動(dòng)'.求得x的范圍,可得函數(shù),勸的減區(qū)間；(n )令-ax2 - (- + l)x + (1 - 2a)lnx + ex-1h(« = ffxl - g(x) = 22el,口匚后一人/ h僅)3 0(口,1 口,原問題等價(jià)于一在區(qū)間I,上恒1 ah(l| = -a -(-+ 1) + 1 = 0成立,由于 22,要想Mx)之.在區(qū)間.11上恒成立,只需卜嗎可1 - 2.3 ax + (3 ' l)x + (1 - 2的 +=試題解析f'(x) = ax + (a - 1)l-2a 3(xl)(x-)a (x > 0)1 - 2a1£ 0 a 之一當(dāng)z ,即 2時(shí),D<x<l時(shí),¥岡?口,時(shí),州?.所以小在區(qū)間W,】上單