多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題及答案

1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1.填空題若z fx,y在區(qū)域D上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù),則在D上,2zoy x(2)函數(shù)zf x,y 在點(diǎn) xo,yo處可微的條件是z f x, y在點(diǎn)xo, yo處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)zf x,y 在點(diǎn) xo, yo可微是z f x, y在點(diǎn)xo, yo處連續(xù)的條件。2.求下列函數(shù)的定義域(1) z Jx 招；(2) u arccos-=22x y3.求下列各極限sin xy x(2)22、. xy1 cos(x y )lim t；(3) lim -2 22-xy , xy 11xy o (x y )x y334.設(shè) z xln xy ,求 一2z-及z2

2、x y x y5.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)y _(1) z arctg -； (2) z x6 .設(shè) z uv2 t cosu ,7 .設(shè) uex y z , x 2 3Jln xy ; (3) u exy z。u et , v ln t ,求全導(dǎo)數(shù)。 dtdut, y sint , z cost，求一。 dt22z_L8.曲線z 4,在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對于x軸的傾角是多少y 4229.求方程與與 a2 b22J 1所確定白函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù)。 c10.設(shè)z ye2x xsin 2y ,求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。11.設(shè) zf x,y是由方程- zln z確定的隱函數(shù)，求一z, -z。12.設(shè) xyy

3、x dye e ,求。dx13.設(shè) zf x,y是由方程ezxy3 0確定的隱函數(shù)，求一x2 zox y14.設(shè) z12ye cosy ,求全微分dz o15.求函數(shù)z ln 2 x2 y2在點(diǎn)1,2的全微分。16.利用全微分求2 2.98 24.01 2的近似值。17.求拋物面z x2y2與拋物柱面yx2的交線上的點(diǎn)P 1,1,2處的切線方程和平面方程。2218.求曲面L413上點(diǎn)P 2, 1,3處的切平面方程和法線方程。19.求曲線x4t 3z t3上點(diǎn)M 0 xo,yo,zo ,使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面x 2y z6。20.求函數(shù)fx,yx2 y2的極值。21.求函數(shù)fx,ye2x

4、 y2 2y的極值。22.要建造一個(gè)容積為10立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸,方便材料造價(jià)最省1.求下列函數(shù)的定義域2(1) z arcsin x yln ln10 x2(B)x2y2 1 4 x2y22. (1)設(shè) f xy,- xy2,求y, xy。(2)設(shè) f x, yx 2y ,求 f xy, f x, y3.求下列函數(shù)的極限limxyxy1;(2) lim ex"7x 0y 01.x2 y2sin e4.設(shè)x,y,當(dāng)(x,y)0,0當(dāng)x,y0,0問 lim fx 0y 0x, y是否存在5.討論函數(shù)的連續(xù)性,

5、其中fx,yxsin x 2yx 2y0 ,x 2yox 2y6.二元函數(shù)f x, yxy22x y0 ,X, yx,y0,0在點(diǎn)0,00,0處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在;連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。7.2 y zx y ，求一，x8.2x3 3y2* f求 x2f-2 ° x9.2x3,3y2,2z卡f求 z2foz x10.設(shè) zxyf22x y ,xf可微，求dt 。11.設(shè) fxy,yz,xz 0,求二 x12.設(shè) z13.設(shè) zf r cos , r sin 可微,求全微分dz o14.設(shè) zf x,y是由方程f xz, yz0所確定的隱函數(shù)，其中

6、f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求dz ,并由此求二和二。x y15.求 z2 xyy的偏導(dǎo)數(shù)。乂16.設(shè) 2xdx,求一1 dzdy,一°dz317.設(shè) u exyz,求一二。 xyz18 .求函數(shù)u19 .求函數(shù)uxyz在點(diǎn)5,1,2處沿從點(diǎn)5,1,2到點(diǎn)9,4,14方向的方向?qū)?shù)。2一 一2一 一2,在點(diǎn) M 1,2, 2 沿 X t，y 2t，z 2t 在此點(diǎn)的 xyz切線方向上的方向?qū)?shù)。2220 .求函數(shù)u 史x一也在點(diǎn)P處沿方向n的方向?qū)?shù)。 z21 .判斷題：(簡單說明理由)(1) 士義 就是f x,y在h,y0處沿y軸的方向?qū)?shù)。yMy。(2)若f x,y在x0,yo處的偏導(dǎo)數(shù)

7、,f 存在，則沿任一方向l的方向?qū)?shù)均存y y在。22222 .證明曲面x三y3 z3 4上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。23 .證明：球面12: x2 y2 z2 1上任意一點(diǎn)a, b,c處的法線都經(jīng)過球心。24 .求橢球面3x2 y2 z2 16上的一點(diǎn) 1, 2,3處的切平面與平面z 0的交角。25 .設(shè)u, v都是x, y , z的函數(shù)，u , v的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明：26 .問函數(shù)u xy2z在P 1, 1,2處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最大值。22227 .求內(nèi)接于橢球面 一 彳 彳1的最大長方體的體積。a b c28 .某公司通過報(bào)紙和電視傳

8、媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R與報(bào)紙廣 告費(fèi)x及電視 廣告費(fèi)y (單位：萬 元)之間的關(guān)系 有如下 經(jīng)驗(yàn)公 式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定廣告費(fèi)為萬元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣口束帽029 .求函數(shù)f x,y ex y的n階麥克勞林公式，并寫出余項(xiàng)30 .利用函數(shù)f x,y xy的2階泰勒公式，計(jì)算1 11.02的近似值(C). xy1.證明limx 022y 0 x y2.設(shè)fX, y |x y|x,y ,其中 x,y在點(diǎn)0,0 ,鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1) x, y在什么條件下,偏導(dǎo)數(shù)fx 0,0,fy 0,0存在；(2) x, y在什么條件下，f

9、 x,y在0,0處1.填空題可微。3.設(shè)yf x,t而t為由方程 x, y,t0所決定的函數(shù)，且 x,y,t是可微的，試求曳。dx4.設(shè)zz x, y由 z ln zX t2eydti q ,、2t0確定，求一-o x y5.從方程組x2 yx1 中求出 Ux, vx, ux2, vx2。6.設(shè) z uaxx, y e20, x y試確定常數(shù)a , b ,使函數(shù)z z x, y能滿足方2程：一二x y x7.證明：旋轉(zhuǎn)曲面f Vx2 y2 (f 0)上任一點(diǎn)處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。8.試證曲面.x , yz'z <a ( a 0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于a。9.

10、拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離。10.設(shè)x軸正向到方向l的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)fx,y x2 xy y2在點(diǎn)1,1沿方向l的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于00第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)若z f連續(xù)，則在D上,2x,y在區(qū)域D上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù) x y2zoy x(2)函數(shù)zf x, y 在點(diǎn) xo, yo處可微的必要條件是zf x, y在點(diǎn)xo, yo處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)zf x, y 在點(diǎn) xo, yo可微是z f x, y在點(diǎn)xo, yo處連續(xù)的充分條x,y |x o,y o,x2y ,

11、如圖 1 所示(2) u0,即x, y不同時(shí)為零，且1,件。2 .求下列函數(shù)的定義域解：設(shè)定義域?yàn)镈,由 y o和 x yy o ,即 xy 0 xy 1 1zarccos22x y解：設(shè)定義域?yàn)镈,由、/2 ，日y ，行x,y,z |z222x y ,x3 .求下列各極限(2). xylim解：原式 limx o y osin xy y xy解：原式limx o y oxy( xy 1 1)(.xy 1 1)( xy 1 1)lim xy 1 12y o22、1 cos(x y )1222-2-(x y )x y2222x y.224x y2 x y2 sin -解：原式 lim 22-x

12、022y o x y 2334.設(shè)z xln xy ,求一-及今 x y x y解：一z In xyxx - ln xy 1 xy3 z-2x yo,2z y12一，x xy x2.3z x 1 z 1一，2-2x y xy y x y y 5.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1) z arctg xd2解：-二一工Ex y x x x y y 1x類似地二一J y-x2x 1 y y x x yx z ln xy解：In x In y x x1 1 1 12 Inx In y x 2x In xy同理可證得:z 1y 2y Jn xy2 3 xy ze解：- xxy2z3e x2 3 xy z2 3 x

13、y2z3 y z e2xy ze y2 3xy z3 xy2 z32xyz e2 3xy ze2 3xy z z23xy2 xy2 z3 z e6.設(shè)z2 uvt cosu ,v ln t ,求全導(dǎo)數(shù)生。dt解： uzuv2 tcosuv2tsin u一 uv2 tcosu v2uv依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,t全導(dǎo)數(shù)為cosudz dtdu z dv出 v出7.設(shè)u解：du8.曲線解： xln2tex ytt sin u ettsin eu dxx出u dyy出2et sint2x429.求方程今 a2 y b2z dt t dt 12uv 一 t2 te tcosuIn tt cosesin td

14、u求。dtu dzz dtcost ex sin t在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對于X軸的傾角是多少1 tg ,故2,4,52 z2 c1所確定白函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù)。解：關(guān)于X求導(dǎo)，得到2x 2z22a czx 0 ,即 zx2c x2a z關(guān)于y求導(dǎo)，有2y b22c y.2°b z10.設(shè)2xye xsin 2 y求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。xy解：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，得z2x .八一 2ye sin 2y , xz e2x 2xcos2 y y再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得2z2 x2x . 八2 ye sin 2y2x4ye ，2ye2x sin 2 y2e2x 2 cos2y,2x e2xcos2y2e2

15、x 2cos2y ,2 z-2 y2x一 ey2x cos2 y4xsin2y11.設(shè) zf x,y是由方程lnW確定的隱函數(shù)，求 y解一：記Fx當(dāng)Fzx, y,zFy0時(shí),解二：（提示）得二z2yFzz-2x使得- xFxzx22zF2Fzyx z2 z2zoy x z直接對方程- z此且兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，并明確z是x、y的函數(shù)，即可 y12 .設(shè) xy ey ex,求包。 dx解：令 F x, y xy ey ex,貝U Fx ydyFxy exydxFyx e13 .設(shè)z f x,y是由方程ez z xy3解：方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，有ez z y3。，即 ex x3解得 -上x 1 e類似地

16、，方程兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù)，«ex, Fy x ey ,則20確定的隱函數(shù)，求二，二，一-x y x y1 y30xc 2z 3xyzy 1 e再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得3y2 1 ezez2把上述上的結(jié)果代入，使得：y22z 23 zz 3y 1 e xy ez°x y1 ez、i、，2. . r . ,14.設(shè)z ye cosy,求全微分dz。解：由于一 2xyex , xyex2sin y ,所以全微分為z . z ._x2 .x2.dz - dx - dy 2xyex dx exsin y dy。x y15.求函數(shù)z In 2 x2y2在點(diǎn)1,2的全微分解：衛(wèi)x 1,22x

17、2_zT 22-，2 x y 1,27 y 1,22y222 x y1,29一,24所以 dz dx dy。7716.利用全微分求, 2.98 xFx x, y, z 二，4.01 2的近似值。解：設(shè) z vx2 y2 ,貝全微分 dz X x y y 2222x y X y由近似關(guān)系z dz,得22-22xyx xyy x y_22 x 22yx y x y上式中取 x3,x0.02, y4,y 0.01 ,得2.98 24.01 2. 32 42 20.0240.01.324232425 0.012 0.008 4.99617.求拋物面因此，所求近似值2 2.98 24.01 2 4.99

18、6。y2與拋物柱面yx2的交線上的點(diǎn)P 1,1,2處的切線方程和平面方程。解：交線方程2 x2 x2 ,只要取x作參數(shù)，得參數(shù)方程:y則有dx 1dxx,2x ,2 xdydx2xdz 2xdx4x3 ,于是交線在點(diǎn)P 1,1,2處的切線向量為T 1,2,6。切線向量為言法平面方程為x0,即 x 2y 6z 15 0。218.求曲面43上點(diǎn)P 2,1,3處的切平面方程和法線方程。Fy x, y,z2y , Fz x, y,z解：記 F x, y, z于是曲面在點(diǎn)P處的法線向量為nFx 2, 1,3,Fy 2, 1,3,Fz 2, 1,31, 2,2y32 2從而，切平面萬程為1x2 2 y 1

19、- z 30,即x2y-z6 0,法線3 3方程為U 二 122 319.求曲線x 4t y t2 z t3上點(diǎn)M 0 X0,y0,Z0 ,使在該點(diǎn)處曲線的切線平行 3于平面x 2y z 6。解：曲線在點(diǎn)M0 x0,y0,z0處的切線方程為x x。y y0 z z0x t°y t0 z t0又切線與平面x 2y z 6平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有422x t0 1 y t0 2 z t0 1 0,即一4t0 3t0 0,得 t033所以M0點(diǎn)的坐標(biāo)為8,4,。9 92720 .求函數(shù)f x, y 4 x y x2 y2的極值。九 x, v 4 2x 0解：解萬程組，

20、求得駐點(diǎn)2, 2 ,由于Afxx 2, 22 0,fy x,y 4 2y 0，B fxy 2. 20 , C fyy 2, 22 , AC B20 ,所以在點(diǎn)2, 2處，函數(shù)取得極大值，極大值為f 2, 29。21 .求函數(shù)f x,ye2x x y2 2y的極值。i2x _2解：解方程組fxy e2X2x 2y 4y 10,得駐點(diǎn)1, 1 。由于fy x, y e 2y 202A fxx x, y 4e2x x y2 2y 1 , B fxy xy 4e2x y 1 , C fyy x, y2e2x 在點(diǎn)111, 1處，A 2e 0, B 0, C 2e, AC B2 4e2,所以函數(shù)在點(diǎn) 1

21、, 1處取得 22極小值，極小值為f 1, 1-02222.要建造一個(gè)容積為10立方米的無蓋長方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最省解：設(shè)水池的長為x米，寬為y米，高為z米，則材料造價(jià)為u 20xy 16xz x y ,(x 0, y 0,z 0) , <*1>xyz10,<*從*2解出z10代入<*1>,得u xy20xy 160 x0),于是問題就成0時(shí)的最小值,由極值的必要條件，有20y20x1602x160-2y0；0.解此方程組得x y據(jù)題意存在最小造價(jià),x是唯一駐點(diǎn)，所以當(dāng)2, y52 z

22、:時(shí)，水池的材料造最小。(B)1.求下列函數(shù)的定義域(1) z arcsin2x y ln ln 104y2解：設(shè)定義域D o 使 arcsin x有意義的區(qū)域?yàn)?，即1y2 1,y2 1,使 ln ln 104y2有意義的區(qū)域?yàn)椋?0 x24y24y29x, y | y故定義域D 1x2 y24 x2解：設(shè)定義域?yàn)镈o由根式性質(zhì)可知，必須0,且 4 x2 y2 0 ,即y2 122,0Tx y 1或04 x2y20解得:022D x, y |1 x y 4。如圖 302.xyx解：設(shè)uvv1 v則得f x y,由此u,vuv1 vu2 11 v從而x, yx y,xy1 xy xy3.(2)

23、設(shè) f x, y解：f xy, f x, y求下列函數(shù)的極限2 x22y,xyy2求 f xy, f2f x,yx, yxy 2 x 2y2x 4y xy.lim 1x y解:原式 lim x ylim ex x 0 y 01y2 sin解:原式lim12 x ysin e122ex y4.設(shè)fx,yxy2 y0 ,解：取沿直線,當(dāng)(x,y)當(dāng)x,yx的途徑，當(dāng)P0,00,0x, y問 lim fx, y是否存在0,0時(shí),lim f x, y y xx 0lim沿拋物線lim_ f x, yy xy 01,Vx的途徑，當(dāng)P. x x lim y x x xx 0可見，沿兩條不同的途徑,5.討論

24、函數(shù)的連續(xù)性,解：在0,0 處，xim0fy 0x, y0,0 時(shí),x, y若x°2yolim fx 2yx xqx, ylim x 0 x31函數(shù)的極限不同，故極限lim f x, y不存在。x 0y 0其中f x,yx, ylimx 0y 0sin x -在0,0處連續(xù)lim xx 2 yx xqsin x 2y 八 2y0xsin x 2yx 2y0 ,x 2yx 2y2x2xf 0,0xOf x0,y0因此，間斷點(diǎn)為直線x 2y,除0,0以外的其他點(diǎn)xy6.二元函數(shù) f x, y x2 y2 0 ,X, yx,y0,0 ,在點(diǎn)0,0處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在;0,0連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存

25、在；不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選事實(shí)上，由于limx 0y kx 0xy2 yk1 k2隨k的值不同而改變，所以極限不存在，因而f x, y在點(diǎn)0,0處不連續(xù),fx 0,0limx Ix 0x 2 020 ,類似地fy 0,00 ,所以 xf x, y在0,0處的偏導(dǎo)數(shù)存在。7.設(shè)z解：令uy,于是v 1 vu2xyuvln u 0 2xy8.設(shè)u解： x9.設(shè)u解： zv 1vuf 2x36x2 fln u 13y22x32 yx y ln 12z3y2f 2x3,3y2,2z2fz x2z ，12x2 f312f2 x2f-2" ° x2fo z

26、x12xf 36x4 ff可微，求dt 。22y ,x10.設(shè) zxyf x解:dzdxx-dy,y先求yfxyf12x f22xxfxyf12y f22y所以dzyf2x2y fif2yfxfdx11.設(shè) fxy, y z,xz解：關(guān)于x求導(dǎo)，而zFi yzF2 F3xFiF3 z F2yFi 2F3F2相仿地,可得 yF212.設(shè)0,解：令dz13.設(shè)_2-2x y f12_2xy f1xf 2 xy20,求二, xFsx xxF1oF2 xF3求dzf1f2 dy 0(*)xxzzxlnyziny 'z 1zyx 1 z Ixz y In ydx dy ,于是在 1,1,1 處

27、dzdy oz f r cos,r sin可微，求全微分dz o解：dz df r cosr sinf1d r cosf2d r sincos drr sin df1sin dr r cos d f2f1 cosf2 sindrf2 cosf1 sinrd 014.設(shè)z fx,y是由方程fx z,yz0所確定的隱函數(shù)，其中f具有連續(xù)的偏導(dǎo) 數(shù)，求dz,并由此求-z和-z。解：方程兩邊求全微分,f1d x z f2d yzf1dx f1dz f2 zdy udz 0 ,即f1dx zf2dyfiyf2 dz。，當(dāng) iyf20時(shí)，解出dzfiJdxyf2zf27dyf1yf2由此得到f1f1yf2

28、zyf1zf2oyf215.求 zy2 xy的偏導(dǎo)數(shù)。解：令uy的復(fù)合函數(shù)。v 1vu于是,v 1 vu2x uvlnuxy2x2yy Inv 1vu 2yuv In u xxy2xy222x yxln16.設(shè) x2 xdydzdx，求一，dz解：所給方程組確定兩個(gè)一元隱函數(shù):y z ,將所給方程的兩邊對z求導(dǎo)，得dx dy d 1dz dzdxdy小2x2y 2zdzdz112x 2y2 y z0的條件下dxdz112z 2ydydz112x 2zD17.設(shè) uxyze ，解： xxyzyzexyzyexyz z exyz xyzexyzxyz exyzxyzxyz e zxye z 1xy

29、z exyzxy2 2 2 xyz3xyz xyze18.求函數(shù)xyz在點(diǎn)5,1,2處沿從點(diǎn)5,1,2到點(diǎn)9,4,14方向的方向?qū)?shù)。解：L 9 5,4 1,14 24,3,12|L| 13,cos13cos13cos12o13因?yàn)槭?cos xu一 cosyu -cosz4 yz 133一 xz1312一 xy135,1,2213A10121398o1319.求函數(shù)u 2 x22 在點(diǎn) M 12 2 沿 x J y 2t2，zx y z2t4在此點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：因曲線過M 1,2, 2點(diǎn)，所以t°1 , x t01, y t。4, z t08,切線的方向余弦為1,4,

30、又uxuz8272272272y2 y892 z2 32 z類似地,uy227，16o24320.求函數(shù)u6x2 8y2在點(diǎn)P處沿方向n的方向?qū)?shù)。解：gradu則 u8y6xz； 6x 8y2 P8,148y22 c 2 x 8y-2z,14gradu n0 ,曲面的外側(cè)法線向量為煮工,疝房2,3121 .判斷題：（簡單說明理由）fx,yyxo,y0就是f x, y在x0, yon 4x,6y,2z P 2 2,3,1117處沿y軸的方向?qū)?shù)。解：錯(cuò)。因前者是雙側(cè)極限，后者是單側(cè)極限。若f x, y在x°, y°處的偏導(dǎo)數(shù),存在，則沿任一方向l的方向?qū)?shù)均存y y解：錯(cuò)。

31、由于偏導(dǎo)數(shù)僅刻畫了xo,yo處沿任一方向的變化率,22222.證明曲面x y3 z32 32 3證：令 F x, y, z x yf x,y在xo,yo處沿x軸或y軸的變化率，要確定函還應(yīng)要求此函數(shù)在 Xo, y。處可微。4上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常z234zr o由于曲面Fx, y,z0的法向量是Fx,Fy,Fz ,故曲面上任一點(diǎn)x, y,z處法線方向向量為2x；2y331213,-z 33,設(shè) X,Y,Z為點(diǎn)x, y, z處切平面上任一點(diǎn)，則切平面方程為23y2 -y -z 3 Z3111x 3X y 3Y z 3Z 4,其截距式為X14x 3Y14y 3Z14z 3由此

32、得截距的平方和為:2 32 32 316 x y z164 6423.證明：球面三:y2 z2 1上任意一點(diǎn)a, b, c處的法線都經(jīng)過球心。證：令 F x, y, zy2z2 1 ,則 a,b, c E ,a,b,c2x a,bc 2a，2y a,b,c 2b， a,b,cz2z a,b,c 2c,法線方程為: a,b,cx2aa丁 黃，于是任一法線都過原點(diǎn)。24.求橢球面3x2 y2 z2 16上的一點(diǎn)1, 2,3處的切平面與平面z 0的交角。解：設(shè) F x, yz 3x2 y2 z2 16,則法向量為 Fx 6x , Fy 2y , Fx 2z ,在1, 2,3處的法向量n6, 4,62

33、 3, 2,3 。又平面z 0的法向量n10,0,1 ,由平面夾公式:cos3 02 0 3 11,(3) ( 2) 32、12原即3 arccos2225.設(shè)u , v都是x , y , z的函數(shù),u, v的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明:rgad(uv) vgradu ugradv。證：graduvuv .vu Ixxv yu vzu kzu. vI xuv. v . vk u I j kzx y zvgradu ugradv26.問函數(shù)u xy2z在P 1, 1,2處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最 大值。解： graduux,uy ,uzy2z,2xyz, xy2gradu 2,

34、4,1是方向?qū)?shù)最大值的方向。1, 2,2grav'242 12 幅 是此方向?qū)?shù)的最大值。22227.解:求內(nèi)接于橢球面 yr zr 1的最大長方體的體積。a b2 c2設(shè)P x, y,z是內(nèi)接長方體在第一褂限內(nèi)的頂點(diǎn)，由對稱性，長方體的體積為:V 8xyz ( x 0, y 0, z 0) (* 1)222由于P x, yz在橢球面上，故x, y , z應(yīng)滿足條件：-zy 1,于是問題即求函 a b c數(shù)（*1）在約束條件（*2）下的條件極限問題。引入L 函數(shù)222x y z .F x, y,z, 8xyz r 1a b c2 xFx 8yz 0, (1) aFy8xz§

35、0,(2)bFz8xy學(xué)0,(3)c222Fxr93 1 0 (4)a b c得：8xyz 2 ,得唯一解:3abcx W' y 73' z 而由題意，所求的最大體積存在故以點(diǎn)a b c ,3,3,3）為一個(gè)頂點(diǎn)所作的對稱于坐標(biāo)面的內(nèi)接于橢球面的長方體的體積最大0最大體積為V 8abe8abc.33 .3928.某公司通過報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R與報(bào)紙廣告費(fèi)x及電視廣告費(fèi)y （單位：萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定廣告費(fèi)為萬元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣 口束嶺T。解；作 L 函數(shù)：Fx,

36、y,z 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2 x y 1.5Fx 13 8y 4x 0令 Fy 31 8x 20y0F x y 1.5 0得 2x 6y 9,得唯一解：x 0, y 1.5。x y 1.5又由題意，存在最優(yōu)策略，所以將萬全部投到電視廣告的方案最好。29.求函數(shù)f x,y ex y的n階麥克勞林公式，并寫出余項(xiàng)。解：f 0,01 , fx 0,01 , fy 0,01 ,同理 f mvn m 0,0 ex y 1 ,所以x y0,0122x y 2! x 2xy y1nn x y kx yRn -Rn其 中n!k 0 k!Rn工e xy (0 Dn 1 !30.利用函數(shù)

37、f x, yxy的2階泰勒公式，計(jì)算1 11.02的近似值解：在點(diǎn)1,1處將f x, yxy展開成三階泰勒公式:f 1,11, fx 1,1yxy 1 1,11，fy1,1 xy 1nx 1,10,fxx 1,1 y y 1 xy 2 1,10 ,fxy 1,1fyy 1,1 xM*/0所以 f x, y f 1 x 1 ,1 y 1xy 1 x 11c， ，一2 x 1 y 1R22!故 1 11.021 0.1 0.1 0.021.102。(C)證明：因?yàn)閤2 y2 2dxy ,即|xy|所以22x y2.x2y20,取 2當(dāng)0 xx2 y2時(shí)，就有22x y _22所以lim xy,0O

38、 x 022y 0 x y2 .設(shè) f x, y | xy | x,y ,其中 x,y在點(diǎn)0,0 ,鄰域內(nèi)連續(xù)，問(1) x, y在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)fx 0,0 ,fy 0,0存在；（2） x, y在什么條件下，f x,y在0,0處可微分析：從定義出發(fā)，進(jìn)行推演f 0 x,0 f 0,0解：（1） lim -ximxf 0 x,0 f 0,0xx x,00lim x 0 xlim x,0x 0limx 00,0x,00,0lim f 0,0 y f 0,0y 0yyim0y 0,ylim 0, yy 00,0limy 0f 0,0 y f 0,0ylimy 00,y0,0若0,00,則偏導(dǎo)數(shù)

39、fx0,0fy 0,0存在，且fx0,0fy 0,0I xx2y|2 yx,0 y f 0,0 y I x, yI x| I y| 2r22-，x y故若 0,00,當(dāng)x20時(shí)，有f fx Q0 x所以當(dāng)fy 0,0 y2yx y x, y3.設(shè)yf x,t而t為由方程x, y,t 0所決定的函數(shù)，且x, y,t是可微的，試求曳。dx分析：可依隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出dyodx解；由y f x,t ,得dyff dtdxxt dx由 x, y,t 0 ,得一 一 dy - .dt 0 (2) x y dx t dx將(2)代入(1),得_dydyffx y dxdxx t tf f x t t x

40、o f7% T4.設(shè) z z x, y 由 z ln zx 2.、et dt 0確定,y求上。x yx . 2解：對z In zet dt 0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得yz1 z0,exz x2 x解得：三 x z 1原式兩邊對y求導(dǎo),解得2 ze yz 1(2)x2 ez 1(1)式兩邊對y求導(dǎo)得x2z x2.一 e z 1 ze y以(2)式代入即得:zex5.從方程組2x中求出1Ux，vx，Ux2 , vx2。解：將u , v看作z的函數(shù),將方程組對x求偏導(dǎo)，得uxVxu uxV Vx0 (*)解得uxVx再將方程組（*）對x求偏導(dǎo)數(shù)，得ux2 Vx21 u2解得:6.設(shè)Vx2ux22VxVVx2x, y解：- x2 uxV2Vx uax e2Vx2x VV u u2u xV