多元函數(shù)微分法及其應用隱的

1、第五節(jié)隱函數(shù)的微分法一、主要內容二、典型例題三、同步練習四、同步練習解答第八章一、主要內容（一）由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法F ( x, y) = 01.？問題的提出：F ( x, y) = 0y =f ( x)x2 +y + C = 0例如, 方程當 C < 0 時, 能確定隱函數(shù);當 C > 0 時, 不能確定隱函數(shù);問題1. 在何種條件下，能確定一個隱函數(shù)？在方程（或方程組）能確定隱函數(shù)時, 即F ( x, y) = 0F ( x, f ( x) º 0,y =f ( x)x Î I問題2. 在何種條件下， f ¢( x ) 存在？求導方法？

2、求導公式？dy = ? dxF ( x, y)在點( x0 , y0 ) 的某鄰域內滿足定理8.7 設函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù);注意公式里的負號, y ) = 0; F ( x00Fy ( x0 , y0 ) ¹ 0則方程F ( x, y) = 0在點( x0 , y0 )的某鄰域內能唯一y0 =f ( x0 ),確定一個函數(shù) y = f (x) ,滿足條件并有連續(xù)導數(shù)d y = - Fx 隱函數(shù)求導公式dxFy若F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù), 則還有二階導數(shù) :d2Fxx Fy 2 - 2Fx y Fx Fy + Fy y Fx 2y = -d x2F 3y求二階導數(shù)時，要

3、注意y是x的函數(shù)！F ( x, y, z) = 02.定理8.8滿足:若 F ( x, y, z) 在點( x0, y0, z0 )的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù) ,F( x0 , y0, z0 ) = 0Fz ( x0 , y0, z0 ) ¹ 0則方程 F ( x, y, z) = 0 在點( x0 , y0 , z0 ) 的某一鄰域內可z0 =f ( x0 , y0 ),唯一確定一個函數(shù) z = f (x , y)滿,并有連續(xù)偏導數(shù)足注意公式里的負號¶z¶ x¶z¶ yFyF= -x ,= -FzFz¶z = - Fx 中注在公式&#

4、182; xFzFx : 將 F ( x, y, z )中的y, z暫視為常數(shù)，對x求偏導數(shù)；Fz :將 F ( x, y, z )中的x, y暫視為常數(shù)，對z求偏導數(shù)；(二)由方程組確定的隱函數(shù)微分法以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即ìu = u( x, y)ìF ( x, y, u,v) = 0í v = v( x, y)íG( x, y, u,v) = 0îî由函數(shù)F、G 的偏導數(shù)組成的行列式J = ¶(F ,G) =FuGuFvGv¶(u,v)稱為函數(shù)F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.定理8

5、.9設函數(shù) F ( x, y, u,v), G( x, y, u,v)滿足: 在點 P( x0, y0, u0 ,v0 ) 的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù)； F ( x0 , y0, u0,v0 ) = 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) = 0;= ¶(F ,G)¹ 0J¶(u,v)PP則方程組 F ( x, y, u, v) = 0,G ( x, y, u,v) = 0在點( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一鄰域內能唯一確定u0 = u( x0 , y0 ), v0 = v( x0 , y0 ),一對滿足條件具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u = u(

6、x, y), v = v( x, y),且有FxGxFvGv¶u = - 1 ¶(F ,G) = -1FuGuFvGv¶ xJ ¶( x, v )FyGyFvGv¶u = - 1 ¶(F ,G) = -1¶ yJ ¶( y, v )FuGuFvGvFuGuFxGx¶v = - 1 ¶(F ,G) = -1FuGuFvGv¶ xJ ¶( u, x )FuGu¶v = - 1 ¶(F ,G) = -1FyGyFuGuFvGv¶ yJ ¶(

7、u, y )注情形二的特例：若方程組F( x, y, z) = 0,G ( x, y, z) = 0滿足定理8.9的條件,則¶(F ,G),= - 1d y¶( x, z)d xJd z = - 1 ¶(F ,G ) .J ¶( y, x)d x函數(shù)個數(shù)=方程個數(shù);自變量個數(shù)=方程組所含變量個數(shù)方程個數(shù)二、典型例題d2yd yyx+ y= arctan，求x例1 已知 ln22d x2 .及d x解(方法1)公式法F ( x, y) = lnx2 + y2 - arctan y令x= 1 ln( x2 + y2 ) - arctany,2xy-x2 x

8、+ y 1 2xFx ( x, y) = 2 × x2 + y2 -=,x2 + y2則 y21 + ()xFx ( x, y) = x + y ,y - xF ( x, y) =,yx2 + y2x 2 + y2x= - x + y .d y = - Fxy - xd xFyyx求二階導數(shù)時，要注意y是x的函數(shù)！d2 yFdx + yd(- x ) = -=()2d xFyd xy - xd x(1 + d y )( y - x) - ( x + y)(d y - 1)22+ y ) .= 2( xd xd x= -( y - x)2( x - y)3(方法2)復合函數(shù)求導法x2

9、+ y2 = arctan ylnx用此法求導數(shù)時， 要注意y是x的函數(shù)！1 ln( x2 + y2 ) = arctan y即2x兩端同時對 x求導 ,得y¢x - y1 × 2 x + 2 yy¢ =1×1 + ( y )2x2x2 + y22xd y = x + y .x + yy¢ =xy¢ -y ,x - yd x(方法3)全微分法1 ln( x2 + y2 ) = arctan y一階全微分形式不變性，2兩端同時取全微分，得x1 ×11d( y )d( x2 + y2 ) =1 + ( y )2x2 + y22x

10、x1 × 2xd x + 2yd y =× xd y - yd xd y = x + y .1解得yx - yx2 + y2x2d x221+()x例2 設 z = z( x , y ) 由方程：F ( x + z , y + z ) = 0(1)yx所確定，證明： x ¶z + y ¶z = z - xy¶x¶y證方程（1）兩邊同時取全微分得d F ( x + z , y + z )yx= F ¢ × d( x + z ) + F ¢ × d( y +z )12yx= F ¢ 

11、15;d x + d( z ) + F ¢ ×d y + d( z )12yx= F ¢ ×d x + d( z ) + F ¢ ×d y + d( z )12yx= F ¢ × (d x + y d z - z d y ) + F ¢ × (d y + x d z - z d x )12y2x2¢¢zzFF¢F ¢ )d x + (F ¢ -F ¢)d y= 0-12=+(F() d z2112y2x 2yxzF1¢ - F

12、2¢ )(y2dz =dx +dyF ¢F ¢ 1y+ 2x¶ z¶ z¶ y¶ x( z F ¢ - F ¢) x221 F1¢ + F2¢yxzzF ¢ - F ¢F ¢ - F ¢12y 221¶z¶zx 2+ y ×故x ¶x + y ¶y = x ×F ¢F ¢F ¢F ¢1+21+2yxyxz( F1¢ + F2¢

13、) - xy ( F1¢ + F2¢ )yxyx=¢¢F1F+2yx= z - xy.xu - yv = 0， yu + xv = 1，例3設¶u¶u¶v¶v，和.¶x¶y¶x¶y求解（方法1）直接套公式（方法2）復合函數(shù)求導法將所給方程的兩邊對 x 求偏導數(shù)，并移項ì x ¶u - y ¶v = -u- yxxyïí¶x¶u¶x¶x¶v¶xJ = x2 + y2 ,

14、ï y+ x= -vî在J ¹ 0的條件下，解此方程組得- u- yx- u- v- yxyyu - xv ,= - xu + yv ,¶u = - v¶v =- yx+ y2¶xxyx2¶xxy+ y2x2x將所給方程的兩邊對 y 求偏導數(shù)，并解方程組得¶u = xv - yu ,¶v = - xu + yv .¶y+ y2¶y+ y2x2x2ì z =x 2y 2 ,+ 3 z+d yd zd 2 z例4 設í求,d xd xd x 2.222+ 2 y= 20

15、 ,î x分析本題目方程組中包含兩個方程，故有兩個函數(shù).由題目知 y、z 是函數(shù),x是自變量,故 y, z 均是由方程組確定的自變量x的一元函數(shù).函數(shù)個數(shù)=方程個數(shù);自變量個數(shù)=方程組所含變量個數(shù)方程個數(shù)的兩端同時關于 x求對方程組中每一個方程導數(shù) , 得解ì z =íx 2+ y 2 ,d z= 2 x + 2 y d y ,ì2+ 2 y 2+ 3 z 2 = 20 ,xîï d xd xíïî 2 x + 4 yd y + 6zd z= 0.d xd xd z求二階導數(shù)時，要注意y是x的函數(shù)！d y

16、 =- x(1 + 6z),x=.解得y(1 + 3z)1 + 3zd xd x(1 + 3z) - x × 3 d zd2 z22dx= (1 + 3z)- 3 xd x2=) =(.dx 1 + 3zd x2(1 + 3z)(1 + 3z 2 )3設 u = f ( x, y, z ), ( x 2 , e y , z ) = 0, y = sin x,例5)，且 ¶ ¹ 0, 求 du .( f , 具有一階連續(xù)偏導數(shù)¶zdxd u = ¶f + ¶f × dy + ¶fx y z解ux¶x

17、2;ydxd xd yxyx= cos x,d x由j ( x 2 , e y , z) = 0 ，兩邊對x 求導數(shù), 得j ¢ × 2 x + j ¢ × e y d y + j ¢d z= 0123 d xd xd zd x¶z于是可得,d z1j 3¢(2 xj ¢ + esin x × cos x × j ¢ )= -12d xdu = ¶f + ¶f × d y + ¶f d z故¶x¶y d x¶z d

18、xd x= ¶f+ (cos x) ¶f) ¶f .- 1 (2xj¢ + esin x × cos x × j¢j3¢12¶x¶y¶z設 y =f ( x,t), 其中t = t( x, y) 由F( x, y,t) = 0例6所確定， f , F有一階連續(xù)的偏導數(shù)， 求d y .d x解（方法1）由方程組確定的隱函數(shù)求導法ì y = f ( x, t )ì y = y( x)ít = t( x)íF ( x, y, t ) = 0î

19、îì y( x ) º f x, t( x )íF x, y( x ), t( x ) º 0 ,îìd y =d tf x +×d xftïd xíd yd ty,t都是x的函數(shù)ïFx+ Fy ×+ Ft ×= 0îd xd xìd y -× d t=ffïd x即txd xíd yd tïFy ×+ Ft ×= - Fxîd xd x- ft Ftfx- Fxd y =-

20、ft Fxfx Ft=.d xF +f F- fFt1Fyttyt（方法2）全微分法ìd y = d f ( x, t )ì y = f ( x, t )ídF ( x, y, t ) = 0由íF ( x, y, t ) = 0，得îd tîìï d y =f x d x +f tíïîFx d x + Fy d y + Ft d t = 0d y = fx Ft -ft Fx .ìd y - ft d t =fx d xFt +ft FyíFd xd y + F

21、 d t = -Fd xîytxx（方法3）復合函數(shù)求導法y ( f )xy =f ( x, t ),tyx× ( ¶t + ¶t × d y )d yf+f=d xxt¶x¶y d xQ t = t( x, y)由F ( x, y, t ) = 0所確定Fy= - ¶t¶t= - Fx ,¶x¶yFtFtf+ f × (- Fx - Fy × d y )d y =故xtFtFtd xd xd y =× (- Fx - Fy × d y )f+f

22、故xtd xFFd xttft Fy ) d y =ft Fx(1 +-fxFtd xFtfx Ft -ft Fxd y =.Ft +d xft Fy三、同步練習1.設 z = f ( x + y + z , x yz) , 求¶ z ,¶ x ,¶ x .¶ x¶ z¶ y設函數(shù) x = x (u ,v), y = y (u ,v)在點(u,v) 的某一2.¶( x, y) ¹ 0鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù),且¶(u,v)ì x = x(u,v)1) 證明函數(shù)組í y = y(u,v)在與

23、點 (u, v) 對應的點î( x, y) 的某一鄰域內唯一確定一組單值、連續(xù)且具有u = u( x, y ) , v = v ( x, y ).連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)2) 求 u = u( x, y ) , v = v ( x, y )對 x , y 的偏導數(shù).sin y + ex - x y - 1 = 03.驗證方程在 (0,0)點某鄰域可確定一個單值可導隱函數(shù)d2 yd yy =f ( x),并求dx2x = 0x = 0dx¶ 2zx2 + y2 + z2 - 4z = 0,4.設2 .求¶ x¶ 2 zxz- ln=5.0, 求.設¶x

24、¶ yzy已知方程F( x , y) = 0,6.設F( u , v)具有連續(xù)偏導數(shù),求dz .zzf= (+ vuvìux,), 其y 中f,g具有一階連續(xù)設í7.2î g=-,x(uv ),y偏導數(shù),求uy.y =( y, z = z是)由方程 z = x f(x + y )和)xx(8.設所0確定的函數(shù) , 求d z . (99y, z )=( F ,x)d xu = (fx,x),e xy ,z有) 連續(xù)的一階偏導數(shù) ,9.設又函數(shù) y =( y及 z = z (x分) 別由下列兩式確定 :zsin td u . (2001x -òx-

25、y=y=2d t求,)extd x0四、同步練習解答z = f ( x + y + z , x yz) , 求¶ z ,¶ x ,¶ x .1.設¶ x¶ z¶ y解（方法1）f ¢ × ( yz + x y ¶z )¶z =f1¢ × (1 + ¶z )+2¶x¶x¶xf1¢ + yz f2¢1 - f1¢ - x y f2¢¶z =¶xf1¢× ( &#

26、182;x + 1 )+f ¢× ( yz ¶x + x y )1 =2¶z¶z1 - f1¢ - x y f2¢ f1¢ + yz f2¢¶x =¶zf ¢ × ( yz ¶x + xz )0 = f ¢× ( ¶x + 1 ) +21¶y¶yf1¢ + xz f2¢ f1¢ + yz f2¢¶x¶y= -（方法2）全微分法z =f ( x +

27、y + z , x yz)f2¢ × ( yz dx + xzdy + x yd z )d z = f1¢× ( dx + dy + dz )+解出dx :dx = - ( f1¢ + xz f2¢ )dy+ (1 -f1¢ - x y f2¢ )dzf1¢ + yz f2¢dx = - ( f1¢ + xz f2¢ )dy+ (1 -f1¢ - x y f2¢ )dzf1¢ + yz f2¢¶ x¶ xd y, d

28、 z 的系數(shù)分別是 ¶ y ,¶ z .¶ z ？如何用全微分法求問題¶ x¶ z¶ x .將d z進行整理 ，其中 d x的系數(shù)就是設函數(shù) x = x (u ,v), y = y (u ,v)在點(u,v) 的某一2.¶( x, y)¶(u,v) ¹ 0鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù),且ì x = x(u,v)1) 證明函數(shù)組í y = y(u,v)在與點 (u, v) 對應的點î( x, y) 的某一鄰域內唯一確定一組單值、連續(xù)且具有u = u( x, y ) , v = v (

29、x, y ).連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)2) 求 u = u( x, y ) , v = v ( x, y )對 x , y 的偏導數(shù).令 F ( x, y, u,v) º x - x (u,v) = 0G( x, y, u,v) º y - y (u,v) = 0解 1)J = ¶ (F ,G) = ¶ ( x, y ) ¹ 0,則有¶ ( u,v )¶ ( u,v )由定理 3 可知結論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導數(shù).ì x º x(u( x, y),v( x, y)í y º y(

30、u( x, y),v( x, y)î式兩邊對 x 求偏導數(shù), 得1 = ¶ x × ¶ u + ¶ x × ¶ v¶ x¶ v¶ u¶ x¶ v¶ y¶ u¶ y0 = ¶ u × ¶ x+ ¶ v × ¶ x注意J ¹ 0,從方程組解得¶ x¶ v¶ x¶ u11¶ v = 1= - 1 ¶ y¶ u =

31、1 ¶ y ,1J¶ y¶ y¶ uJ ¶ u¶ xJ ¶ v¶ xJ00¶ v同理, 式兩邊對 y 求偏導數(shù), 可得¶ u = - 1 ¶ x ,¶ v = 1 ¶ x¶ yJ ¶ v¶ yJ ¶ u計算極坐標變換 x = r cos , y = r sin 本題的應用:的逆變換的導數(shù) .- r sinr coscossinJ = ¶ ( x, y) = r由于¶ (r, )¶ r = 1 &#

32、182; yx= 1 r cos= cos =所以¶ xJ ¶ x2 + y2r¶ = - 1 ¶ yy= - 1 sin = -J ¶ rx2 + y2¶ xr¶ r¶ yx¶ y =¶ y = x2 + y2同樣有x2 + y2¶ r = 1 ¶ y¶ xJ ¶¶ = - 1 ¶ y¶ xJ ¶ rsin y + ex - x y - 1 = 03.驗證方程在 (0,0)點某鄰域可確定一個單值可導隱函數(shù)d2 yd

33、 yy =f ( x),并求x = 0dx2x = 0dx令 F ( x, y) = sin y + ex - x y - 1, 則解= cos y - x= ex- y, FxFy連續(xù), F (0,0) = 0,Fy (0,0) = 1 ¹ 0由定理1 可知, 在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可導的隱函數(shù) y =f ( x), 且x-ey= - Fxd yx = 0 = -= -10cos y - xx = 0Fdxx =0 , y =yd2 ydx2x = 0ex- yd= -()dx cos y - xx = 0 ,y = 0 , y ¢ = - 1( ex -

34、 y¢)(cos y - x) - (ex - y)(-sin y × y¢ - 1)= -x = 0y = 0y ¢ = - 1( cos y - x )2= -3 復合函數(shù)求導法導數(shù)的另一求法sin y + ex - x y - 1 = 0,兩邊對 x 求導cos y × y¢ + ex - y - x y¢ = 0兩邊再對 x 求導- sin y × ( y¢)2 + cos y × y¢ + ex- y¢ - y¢ - x y¢ = 0y = 0

35、, y¢ = -1令 x = 0 , 注意此時d2 y= -3dx2x = 0y¢x = 0= -ex - ycos y - x (0,0)= -1¶ 2zx2 + y2 + z2 - 4z = 0,4.設2 .求¶ x解 （方法1） 復合函數(shù)求導法¶z =2x + 2z ¶z - 4 ¶z = 0x2- z¶ x¶ x¶ x再對 x 求導¶ 2z¶ 2z¶z)2+ 2z- 4= 02+ 2(22¶ x¶ x¶ x1 + ( ¶

36、;z )2¶ 222= (2 - z)+ xz =¶ x¶ x22 - z(2 - z)3注意本方法中， 始終將 z 看作x與y的函數(shù)（方法2）公式法F ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 4z用公式法求Fx時, 先不將z看作x與y 的函數(shù)！ 應暫視 y, z為常數(shù)設則Fx = 2x , Fz= 2z - 4¶z = - Fx = -2 x2z - 4x2 - z=¶ xFz對¶z =x2 - z兩端關于 x 求偏導數(shù)，得¶x¶ z(2 - z)- x ( - ¶ x )¶

37、2z = ¶(2 - z)2 + x2x¶ x (2 - z )=¶ x2(2 - z)2(2 - z)3求二階導數(shù)時，要視z是x, y的函數(shù)！¶ 2 zxz- ln=5.0, 求.設¶x¶ yzy: zdx - xdz - y × ydz - zdy = 0,解方程兩端取全微分z2y2zzy 2 zdx +yz 2dy¶ zdz =,解得y 2 ( x + z )¶ xx + zz 2¶z=y ( x + z ) .¶ y¶z¶z¶y ( x + z)

38、- z × ¶y¶ 2 z¶z¶zx=¶y ( x + z ) = ¶y × ( x + z)2 .( x + z)2¶x¶ yxz 2=y( x + z )3 .已知方程F( x , y) = 0,6.設F( u , v)具有連續(xù)偏導數(shù),求dz .zzf ( x, y) 是由方程設 z =解（方法1） 先求偏導數(shù)F ( x , y) = 0 確定的隱函數(shù), 則zz¶zF1¢ × 1z F ¢z1x F1¢ + y F2¢= -F &#

39、162; × (- x ) + F ¢ × (- y )¶ x¶z¶ yz212z2F2¢ × 1z F ¢= -z= 2x F1¢ + y F2¢F1¢ × (- x ) + F2¢ × (- y )z2z2zx F1¢ + y F2¢dz = ¶z dx + ¶z d y =(F ¢dx + F ¢d y)故12¶ x¶ y（方法2） 全微分法對方程兩邊求全微分:

40、F ( x , y) = 0zzF ¢ × d( x) + F ¢ × d( y) = 021zzF ¢×( zdx - xdz) + F ¢ × ( zd y - ydz) = 012z2z2- xF1¢+ yF2¢ dz + F1¢dx +F2¢d y = 0z2zz(F ¢dx + F ¢d y)dz =12x F1¢ + y F2¢ìu =f (ux, v + y),7. 設í其中 f , g具有一階連續(xù)&#

41、238;v = g(u - x,v2 y),偏導數(shù),求uy.解（方法1）復合函數(shù)求導法對每一個方程關于 y求偏導數(shù),f ¢× x u+ f ¢× (vì uy=+ 1),得12yyív= g ¢ × u+ g ¢î22 (2 yv vy + v).1yy解此關于uy , v y的二元一次方程組v 2 f2¢g2¢ + f2¢(1 - 2 yvg2¢ )uy =f ¢g¢ - (1 - xf ¢)(1 - 2 yvg¢

42、 ) ,得2112f2¢g1¢ + v 2 g2¢ (1 - xf1¢)=(1 - xf ¢)(1 - 2 yvg¢ ) -v yf ¢g¢ .1221ìu =íf (ux, v + y),g(u - x,v y),（方法2）全微分法2v =î取全微分對每一個方程兩端同時f1¢ (u d x + x d u) +f2¢ (d v + d y),ì d u =得íî d v = g1¢ (d u - d x ) + g2¢(v 2 d y + 2vy