高等數(shù)學(xué)論文27726

1、高數(shù)課程論文課程名稱： 高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 單位： 合肥學(xué)院計(jì)科系 姓名： 張玉東 學(xué)號(hào)： 1104011022 二重積分的計(jì)算方法摘要：在工程和科技領(lǐng)域中，往往需要計(jì)算定義在某范圍上的多元函數(shù)的特定形式和式的極限，這就需要用到重積分的計(jì)算方法。重積分包括二重積分與三重積分，而二重積分在高等數(shù)學(xué)中占有特殊的地位,我們可以通過用極坐標(biāo)，改變積分次序，變量替換等方法來計(jì)算二重積分。關(guān)鍵字：二重積分 極坐標(biāo) 積分次序 變量替換正文：直接用定義計(jì)算二重積分是相當(dāng)困難的，我們可以從二重積分的幾何意義出發(fā)，分別在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中討論二重積分的計(jì)算方法。一、 直角坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算1、型區(qū)域 設(shè)積分區(qū)

2、域由兩條直線與兩條連續(xù)曲線（且）所圍成，即為型區(qū)域。則：稱之為先對(duì)再對(duì)的累次積分。例1、求 解:另解：2、型區(qū)域 設(shè)積分區(qū)域是由兩條直線與兩條連續(xù)曲線(且)所圍成，即為型區(qū)域。則：稱之為先對(duì)再對(duì)的累次積分。例2、計(jì)算二重積分其中是拋物線與直線所圍成的區(qū)域。解：畫出積分區(qū)域如圖，并求邊界曲線的交點(diǎn)（1，-1）及（4,2），由圖可見，先積（內(nèi)積分）后積（外積分）較為簡(jiǎn)便。由定限示意圖得： =3、若既不是型也不是型，先將分割成若干個(gè)型或型，、注1 由上得直角坐標(biāo)系下的二重積分一般的計(jì)算步驟：第一步 畫出積分區(qū)域的圖形，并求出的邊界曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（若有的話）；第二步 選擇積分次序。其原則為：第一次積分

3、容易，并能為第二次積分創(chuàng)造條件；對(duì)劃分的塊數(shù)越少越好；第三步 確定積分限。定限口訣為：后積先定限（將投影到后積分的相應(yīng)坐標(biāo)軸上，得出積分的上、下限為兩個(gè)常數(shù)），限內(nèi)劃條線（與先積分相應(yīng)的坐標(biāo)軸平行同向）；先交下限寫（先交的寫在積分的下限），后交上限見（后交的寫在積分上限）；第四步 計(jì)算二次積分。注2 積分次序的變換：第一步 由所給的二次積分的上，下限列出表示積分區(qū)域的不等式組；第二步 由表示的不等式組畫出的圖形；第三步 由的圖形將視為另一型區(qū)域，寫出相應(yīng)的不等式組；第四步 由表示的不等式組得出改變了次序的二次積分。二、 極坐標(biāo)下的二重積分的計(jì)算1、 極點(diǎn)在積分區(qū)域的外面設(shè)積分區(qū)域在極坐標(biāo)下由兩

4、條曲線，及兩條射線所圍成，因此，則：例3、解：在極坐標(biāo)下圓的方程為 直線方程為 則2、極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上 設(shè)積分區(qū)域在極坐標(biāo)下由曲線，及兩條射線所圍成，因此則：例4、把化為極坐標(biāo)系中的累次積分，其中是由圓所圍成的區(qū)域。解：在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域可表示為則3、極點(diǎn)在積分區(qū)域的內(nèi)部 設(shè)積分區(qū)域在極坐標(biāo)下由曲線所圍成，因此，則：例5、計(jì)算，其中是由中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域。解：在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域可表示為三、 二重積分的變量替換 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若（1） 變換把平面上的區(qū)域一一對(duì)應(yīng)地變到平面上的區(qū)域；（2） 與在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，雅克比行列式 則：稱之為二重積分的變量替換公式。例6、計(jì)算，其中是由曲線和直線所圍成的第一象限的區(qū)域。解：作變換，即可得，這里：于是：注1 若雅克比行列式只在內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上或一條曲線上為零，而在其他點(diǎn)上不為零，那么變量替換