高中數(shù)學(xué)解題思路大全—優(yōu)化方程巧解題

1、優(yōu)化方程巧解題縱觀近年高考解析幾何試題，都要求同學(xué)們具有較高的運(yùn)算能力。在解析幾何中，解題方法是否得當(dāng)，常常導(dǎo)致解題的難易、繁簡(jiǎn)程度的懸殊差異。因此在平時(shí)解題時(shí)同學(xué)們要探求優(yōu)化運(yùn)算的方法和技巧，降低運(yùn)算量，提高解題能力。下面介紹幾種優(yōu)化拋物線運(yùn)算的方法。一、設(shè)而不求的整體處理在求拋物線方程時(shí)，常會(huì)遇到兩曲線的交點(diǎn)及相關(guān)點(diǎn)的問(wèn)題，若設(shè)而不求，整體處理，可簡(jiǎn)捷求解。例1 過(guò)拋物線上一點(diǎn)A（4，2），作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率為定值。解析：設(shè)B（），C（），則，。由題意，得，則。故為定值。二、點(diǎn)差法在拋物線中，直線與拋物線相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題是個(gè)重點(diǎn)，也是

2、高考熱點(diǎn)。其解法多種多樣，點(diǎn)差法是簡(jiǎn)捷而巧妙的解題方法之一。例2 給定拋物線，過(guò)點(diǎn)B（2，4）能否作直線l，使l與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。解析：設(shè)（），（），代入拋物線方程得。兩式相減并分解因式，得：B（2，4）是的中點(diǎn)，代入上式得，即。若直線l存在，則方程為，即。將代入拋物線方程得，。因?yàn)槠渑袆e式0，故此直線與拋物線不相交，這樣的直線不存在。三、巧用韋達(dá)定理拋物線中涉及到弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、曲線與直線交點(diǎn)以及原點(diǎn)為垂足的垂直問(wèn)題，運(yùn)用韋達(dá)定理可避免求交點(diǎn)坐標(biāo)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例3 直線l：交拋物線于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB（O為原點(diǎn)

3、）的面積為2時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值。分析：因直線l與y軸的交點(diǎn)為M（0，1），而AOB的面積等于AOM和BOM的面積之和，若AOM和BOM都以O(shè)M為底邊，這樣AOB面積就與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)相聯(lián)系。解析：設(shè)A（），B（），則即把代入中得，。因此，。代入上式得，解得。四、常數(shù)代換，化成齊次方程拋物線弦的兩端點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題，具有一定的難度和深度，若用常規(guī)方法解決，運(yùn)算量大，過(guò)程復(fù)雜，但化為齊次方程，過(guò)程簡(jiǎn)潔。例4 拋物線與過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA與OB的斜率之和為1，求直線l的方程。分析：用常規(guī)方法去解，相當(dāng)麻煩。但若把直線方程設(shè)出來(lái)，用含有x、y的式子來(lái)表示常數(shù)項(xiàng)，代入到拋物線方程中，可得一個(gè)關(guān)于x、y的齊次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理即可解決問(wèn)題。解析：設(shè)直線l的方程為，即，代換拋物線方程中的系數(shù)1，得，