高分突破微專項3

1、路徑長最值問題常見模型結(jié)構(gòu)示例應(yīng)用的原理處理方法基本思路轉(zhuǎn)化原則軸對稱最值模型如圖,定點A,B在定直線l的同側(cè),在定直線l上找一動點P,使PA+PB的值最小.兩點之間,線段最短.作任意一定點關(guān)于直線l的對稱點,然后連接對稱點與另一定點,與直線l交于點P.根據(jù)兩點之間線段最短,得出PA+PB的最小值.盡量減少變量,向定點、定線段、定圖形“靠攏”.如圖,定點A,B在定直線l的異側(cè),在定直線l上找一點P,使|PA-PB|的值最大.三角形的三邊關(guān)系作任意一定點關(guān)于直線l的對稱點,然后作過該對稱點和另一定點的直線,交直線l于點P,根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊,可得|PA-PB|的最大值.折疊求最值模型

2、如圖,在ABC中,點N為AC上的定點,點M為AB上的動點,連接MN,沿直線MN折疊該圖形,點A的對應(yīng)點為點A',連接A'B.求A'B的最小值;求點A'到BC距離的最小值.平面內(nèi)的點到圓上距離最大和最小的點均在該點與圓心連線所在的直線上;垂線段最短.以點N為圓心、AN的長為半徑作圓.連接BN交N于一點,當(dāng)點A'與該交點重合時,A'B取最小值;過點N作BC的垂線,交N于一點,當(dāng)點A'與該交點重合時,點A'到BC的距離最小.突破點1軸對稱最值模型 如圖,在平面直角坐標系中,AOB的邊OB與x軸正半軸重合,點P是OA上的一動點,點N(3,

3、0)在OB上,點M是ON的中點,若AOB=30°,要使PM+PN的值最小,則點P的坐標為. 思路分析定點M,N在定直線OA同側(cè),求PM+PN的最小值時,可作點N關(guān)于定直線OA的對稱點N',再連接MN',根據(jù)兩點之間線段最短,得到點P,M,N'共線時,PM+PN的值最小,據(jù)此進行求解.突破點2折疊求最值模型如圖,在RtABC中,C=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,且CF=2,點E為邊BC上的動點,將CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值為.  思路分析在該問題中,先找到定點F,再以點F為圓心、C

4、F的長為半徑作圓,則點P在該圓上運動,要求點P到AB距離的最小值,先求點F到AB距離的最小值.過點F作AB的垂線,交F于一點,當(dāng)點P與該點重合時,點P到AB的距離最小,據(jù)此求解即可.1.如圖,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,點P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.AD D.AC2.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,點B的坐標為(3,4),點D是OA的中點,點E在AB上,當(dāng)CDE的周長最小時,點E的坐標為. (第2題)(第3題)3.如圖,AOB=45°,點P是AOB內(nèi)一點,PO=5,點Q,R分別是

5、OA,OB上的動點,則PQR周長的最小值為. 4.如圖,菱形ABCD的邊長為2,DAB=60°,點E為BC的中點,點P是對角線AC上的動點,則PBE周長的最小值為. (第4題)(第5題)5.如圖,在平面直角坐標系中,點A(1,5),B(3,-1),點M在x軸上運動,當(dāng)AM-BM的值最大時,點M的坐標為. 6.在平面直角坐標系中,拋物線y=x2-2x經(jīng)過點A(4,0),點C的坐標為(1,-3),點D是拋物線對稱軸上一動點,當(dāng)|AD-CD|的值最大時,點D的坐標為. 7.如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,A=60°,點M是AD邊的中點,點

6、N是AB邊上一動點,將AMN沿MN所在的直線翻折得到A'MN,連接A'C,則A'C的最小值為. (第7題)(第8題)8.如圖,CD是O的直徑,CD=4,ACD=20°,點B為弧AD 的中點,點P是直徑CD 上的一個動點,則PA+PB的最小值為.  9.如圖,拋物線y=-x2+x-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,在y軸上是否存在一點S,使得SD-SB的值最大?若存在,求出點S的坐標,并求出SD-SB的最大值;若不存在,請說明理由.例1(,)【解析】如圖,作點N關(guān)于OA的對稱點N',連接N'M交OA于點

7、P,此時PM+PN的值最小.OA垂直平分NN',AOB=30°,ON=ON',N'ON=2AON=60°,NON'是等邊三角形.點M是ON的中點,點N(3,0),N'MON,ON=3,OM=ON=,PM=OM·tanAON=×=,P(,).即要使PM+PN的值最小,點P的坐標為(,).例2【解析】當(dāng)點E在BC上運動時,PF的長固定不變,即PF=CF=2.故點P在以點F為圓心、以2為半徑的圓上運動.如圖,過點F作FHAB交F于點P,垂足為點H,此時PH最短,則AFHABC,=.由已知得AF=4,AB=10,=,即FH

8、=,PH=FH-FP=-2=.故點P到AB距離的最小值為.強化訓(xùn)練1.B【解析】AB=AC,AD是中線,ADBC,點B,C關(guān)于直線AD對稱.連接CE交AD于點F,當(dāng)點P與點F重合時,BP+EP的值最小,最小值為CE的長.故選B.2.(3,)【解析】點B的坐標為(3,4),OA=3,OC=4,C(0,4).點D是OA的中點,OD=AD=.如圖,作點D關(guān)于直線AB的對稱點F,則AF=AD=,故點F的坐標為(,0).根據(jù)軸對稱的性質(zhì),可知直線FC與AB的交點就是使得CDE的周長最小的點E.利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式為y=-x+4,當(dāng)x=3時,y=,故點E的坐標為(3,).3.5【解析】如圖,

9、分別作點P關(guān)于OA,OB的對稱點M,N,連接OM,ON,MN,MN交OA,OB于點Q,R,此時PQR周長最小,為MN的長.由軸對稱的性質(zhì)可得,OM=ON=OP=5,MOA=POA,NOB=POB,則MON=2AOB=2×45°=90°.在RtMON中,MN=5,即PQR周長的最小值等于5.4.+1【解析】如圖,連接DE,交AC于點F,連接PD,易得PB=PD,PD+PEDE,當(dāng)點P與點F重合時,PD+PE的值最小,且最小值為DE的長,易得DE=,故PB+PE的最小值為,易得BE=1,故PBE周長的最小值為+1.5.(,0)【解析】如圖,作點B關(guān)于x軸的對稱點B&#

10、39;,連接AB'并延長與x軸交于點N,此時AN-BN=AN-B'N=AB',MA-MB=MA-MB'AB'.點B'和點B(3,-1)關(guān)于x軸對稱,B'(3,1).設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,將A(1,5),B'(3,1)分別代入,得解得故直線AB'的解析式為y=-2x+7,令y=0,解得x=,當(dāng)AM-BM的值最大時,點M的坐標為(,0).6.(2,-6)【解析】易知拋物線的對稱軸為直線x=2.如圖,作點C關(guān)于直線x=2的對稱點C'(3,-3),作直線AC',與直線x=2交于點D.設(shè)直線AC

11、'的解析式為y=kx+b,將A(4,0),C'(3,-3)分別代入,得解得故直線AC'的解析式為y=3x-12,當(dāng)x=2時,y=-6,故點D的坐標為(2,-6).7.-1【解析】易知MA'是定值,且MA'=1,A'C的長度取最小值時,點A'在MC上.過點M作MFDC交CD的延長線于點F,在邊長為2的菱形ABCD中,點M為AD的中點,A=60°,CD=AD=2,DM=AD=1,FDM=60°,FD=DM·cos 60°=,FM=DM·sin 60°=,FC=FD+DC=,MC=,A'C=MC-MA'=-1.故A'C的最小值為-1.8.2【解析】如圖,作點A關(guān)于直線CD的對稱點M,則點M在O上,連接MB交CD于點P,則此時PA+PB取最小值,為BM.連接OB,OM.ACD=20°,點B為弧AD 的中點,BOD=20°,DOM=40°,BOM=60°.OB=OM,BOM是等邊三角形,BM=OB=CD=2,即PA+PB的最小值為2. 9.存在.作直線BD交y軸于點S,此時SD-SB有最大值,最大值等于BD的長.y=-x2+x-2=-(x-)2+,點D的坐標為(,).將y=0代入y=-x2+x-