高中數(shù)學(xué)一道雙曲線探究問題引發(fā)的解題課教學(xué)設(shè)計(jì)

1、變式教學(xué)：一題多問、一題多解、一題多變教學(xué)模式“一道雙曲線探究問題引發(fā)的解題課”教學(xué)設(shè)計(jì)【課例解析】1 教材的地位作用本節(jié)課是人教版A版數(shù)學(xué)（選修2-1）第二章圓錐曲線與方程，§23雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第二課時，關(guān)于“和兩定點(diǎn)連線斜率之積為定值的軌跡方程”探求的一節(jié)解題課本節(jié)課之前學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)了曲線與方程的概念在必修2中學(xué)習(xí)了圓的方程等知識本節(jié)課通過課堂教學(xué)的自主、合作與探究，使學(xué)生了解雙曲線、橢圓的另一種生成方法，體會雙曲線、橢圓、圓幾何特征的不同表現(xiàn)形式，體會合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2 學(xué)情分析本節(jié)課從課本一道探究新問題入手探

2、求其解法并對其進(jìn)行變式引申，學(xué)生在前面已學(xué)過圓、橢圓、雙曲線三種曲線在前面幾節(jié)課學(xué)習(xí)了求曲線方程的基本方法，因此，本節(jié)課主要以問題為載體，通過教師幾個環(huán)節(jié)的設(shè)問，讓學(xué)生利用已有的知識，去探究用圓錐曲線的直徑的性質(zhì)貫穿于整個學(xué)習(xí)活動過程中的師生，生生之間的協(xié)作，對學(xué)習(xí)內(nèi)容的收集與分析、命題的提出與驗(yàn)證、學(xué)習(xí)進(jìn)程的自我反饋和學(xué)習(xí)結(jié)果的評價以及意義的最終建構(gòu)，都起了至關(guān)重要的作用【目標(biāo)定位】1 知識目標(biāo)掌握求軌跡方程的基本方法；通過探究性問題的變式訓(xùn)練，探求圓錐曲線直徑的相關(guān)命題，并給出證明2 能力目標(biāo)通過例題的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想與方

3、程的思想；認(rèn)識合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用3情感目標(biāo)通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作、友愛精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，探索新知識的能力及勇于創(chuàng)新精神，體驗(yàn)成功的快樂通過學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣4 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解有關(guān)圓錐曲線直徑的性質(zhì)及類比在圓錐曲線性質(zhì)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，進(jìn)一步體會和認(rèn)識合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，從而揭示規(guī)律，啟迪思維，培養(yǎng)能力教學(xué)難點(diǎn)：通過學(xué)生交叉運(yùn)用正、逆向思維，強(qiáng)化學(xué)生對知識和方法的理解、掌握、變通【方法闡釋】采用心智數(shù)學(xué)教育方式中變式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)：主要分“創(chuàng)設(shè)情景、引入新課，自主探究、引發(fā)變式，變式

4、訓(xùn)練、逐步拓展，歸納總結(jié)、升華提高”四個教學(xué)環(huán)節(jié)通過探究、變式訓(xùn)練、小組合作等教學(xué)過程，師生對探究問題的進(jìn)行各種各樣的變式，使之貌似原題，又不同于原題，并拾級而上，讓學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去思考和探索問題，加深對知識內(nèi)涵、外延的理解，以求在變化中拓寬思想、激發(fā)思維；使學(xué)生感到輕松、愉快，在學(xué)生的腦海中留下了深刻印象，既分清了問題的變化類型，又把所學(xué)知識系統(tǒng)地運(yùn)用，從中獲得概括的知識，把握了探究問題中所衍生出的不同類型，使之從單一化、固定化模式中轉(zhuǎn)入多棱化、多角化和多面化模式，從而獲得上升性思維能力教學(xué)手段：多媒體、實(shí)物投影儀【課堂設(shè)計(jì)】一、創(chuàng)設(shè)情景、引入新課教師：我們學(xué)過橢圓、雙曲線、圓的方

5、程，給定一個方程，就能判斷它表示什么曲線同學(xué)們看這個方程表示什么曲線？引例：方程能表示什么曲線？為什么？我的思考：引例的設(shè)計(jì)，一方面讓學(xué)生意識到參數(shù)的變化會帶來曲線類型的變化，為下面的變式訓(xùn)練的做好準(zhǔn)備，另一方面讓學(xué)生初嘗變式的樂趣學(xué)生思考，解答，組內(nèi)交流，說明答案投影學(xué)生1的答案：1）當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線；2）當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓；3）當(dāng)時，曲線表示圓；4）當(dāng) 時，曲線表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓；5）當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線；6）當(dāng)或時，不表示任何曲線；教師：你主要考慮了哪些因素？學(xué)生1：主要考慮了系數(shù)的正負(fù)及大小關(guān)系教師：很好，抓住了問題的關(guān)鍵，從這個引例，我們看到

6、參數(shù)m的變化帶來曲線類型的多種變化我們看一個由動點(diǎn)的軌跡確定曲線方程的問題如何求解（出示探究性問題）二、自主探究、引發(fā)變式探究性問題：的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）和（6，0），邊CA、CB所在的直線的斜率之積為，求頂點(diǎn)C的軌跡我的思考：人教版（A版）數(shù)學(xué)（選修1-1）第二章22雙曲線，探究問題的變式題為便于學(xué)生計(jì)算，將學(xué)習(xí)重心放在題目變化上，筆者對數(shù)據(jù)進(jìn)行了優(yōu)化，條件改為三角形，讓學(xué)生注意軌跡的純粹性學(xué)生獨(dú)立解答，教師實(shí)物投影學(xué)生2答案學(xué)生2：設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），由題意得： 即，整理得因?yàn)?，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以所以，頂點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸的雙曲線（除去A、B兩點(diǎn)

7、）。教師：好，這位同學(xué)的解答非常全面，利用斜率找到了動點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，并且考慮到了三角形這個容易忽視的條件大家來觀察，如果我們將條件中的改變?yōu)?，結(jié)果會怎樣呢？三、變式訓(xùn)練、逐步拓展變式1：的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在的直線的斜率之積為，求頂點(diǎn)C的軌跡學(xué)生練習(xí)，教師巡回，對個別學(xué)生存在問題指導(dǎo)教師投影解答：設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（x，y），由題意得：即，整理得因?yàn)椋珹、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以所以，頂點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸的橢圓（除去A、B兩點(diǎn)）。教師：我們沒有改變原題基本數(shù)據(jù)，只是將斜率之積稍加改變，變成如上的變式1，解題的方法沒有發(fā)生改變，結(jié)論有變化嗎？

8、請同學(xué)們說明，為什么變化？學(xué)生3：結(jié)論變了，由（除去A、B兩點(diǎn)）的雙曲線變?yōu)槌牲c(diǎn)（除去A、B兩點(diǎn)）的橢圓變化的原因是變?yōu)榘?！教師：回答非常到位哪個同學(xué)還能對這個題目加以變化，做一個小命題專家呢？同學(xué)們的興趣立刻被調(diào)動了起來，大家爭先恐后的議論起來學(xué)生4：我發(fā)現(xiàn)，剛才A、B恰好是雙曲線的頂點(diǎn)，我們可以變化A，B點(diǎn)的位置到y(tǒng)軸上變式2： 一邊的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，-6）和B（0，6），另兩邊所在直線的斜率之積為，求頂點(diǎn)C的軌跡方程教師：很好，改變已知點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，總體說來，計(jì)算過程應(yīng)該相似現(xiàn)在，大家能否根據(jù)上面的題目，直接類比得結(jié)論嗎？我的思考：至此，學(xué)生已經(jīng)基本掌握此類問題的精髓，改

9、變已知點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，雖然適當(dāng)加大了題目的難度，但總體說來，這種變式，學(xué)生還是容易接受的學(xué)生5：相當(dāng)于變化了焦點(diǎn)所在的軸吧！我想方程應(yīng)該是解：設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（x，y），由題意得：即，整理得因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以教師：解題方法沒有改變，結(jié)論變化了但仍然為除去兩點(diǎn)的雙曲線，把探究問題中的改為1呢？變式3：的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）和（6，0），邊CA、CB所在的直線的斜率之積為1，求頂點(diǎn)C的軌跡學(xué)生6：還是雙曲線，方程為（）教師：好，在下一節(jié)我們將要看到，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線如果把探究性問題中的改為-1呢？學(xué)生：（笑了）教師：太簡單了？！學(xué)生7：這實(shí)際上就是以AB為直

10、徑的圓，除去與x軸的兩個交點(diǎn)教師：從上面的題目解答和觀察，你能得出什么結(jié)論呢？ 學(xué)生8：從探究性問題及其變式，我們可以知道：邊AC、BC所在的直線的斜率之積為負(fù)數(shù)，則頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，特殊情況下為圓；邊AC、BC所在的直線的斜率之積為正數(shù)，則頂點(diǎn)C的軌跡為雙曲線，與A,B所在坐標(biāo)軸無關(guān)教師：從斜率之積為，變化到、1、和-1，這是偶然的巧合，還是其中存在著一定的規(guī)律呢？于是，我們?nèi)菀紫氲较旅娴淖兪?，將斜率之積變?yōu)橐粋€一般的參數(shù)m（m為非零常數(shù)）呢？我的思考：至此學(xué)生對在具體數(shù)字方面的變化已不再感興趣，必須有一個較大的變化才會引起學(xué)生更大的興趣，從具體數(shù)字到抽象的一般參數(shù)m，是思維的一次飛躍變式

11、4：的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在的直線的斜率之積為m（m0），求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并說明曲線形狀（學(xué)生小組討論，在得到方程后，有的學(xué)生陷入了困惑，該怎么說明呢？）教師：對于出現(xiàn)的問題，請同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后再進(jìn)行小組交流、討論，解決不了的問題，提出困難在什么地方，并說明能解決到哪一步經(jīng)過一段時間的合作學(xué)習(xí)，全班8個小組普遍能夠求出方程，在分析曲線形狀時，也找到了切入點(diǎn)，與引例是相似的投影解答：設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（x，y），由題意得：即，整理得因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以當(dāng)m0時，方程是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，除去A、B兩點(diǎn)；當(dāng)-1m0時，方程是以AB為

12、長軸，離心率為的橢圓，除去A,B兩點(diǎn)；當(dāng)m=-1時，方程是以AB為直徑的圓，除去A,B兩點(diǎn)；當(dāng)m-1時，方程是以AB為短軸，離心率為的橢圓，除去A,B兩點(diǎn)學(xué)生9：老師，我們還可以讓A,B點(diǎn)坐標(biāo)更一般化，教師：好，字母增多了，要注意仔細(xì)計(jì)算（學(xué)生練習(xí)3分鐘）變式5：設(shè)是曲線C上兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線上除A、B以外的動點(diǎn)，直線AP、BP的斜率分別為（m為不為零的常數(shù)），求曲線C學(xué)生9板演：設(shè)C的坐標(biāo)（x，y），由題意得： 即，整理得當(dāng)m0時，方程是以AB為實(shí)軸，離心率為的雙曲線，除去A,B兩點(diǎn)；當(dāng)m=-1時，方程是以AB為直徑的圓，除去A,B兩點(diǎn)；當(dāng)-1m0時，方程表示以AB為長軸，離心率為的橢圓，除

13、去A,B兩點(diǎn)；當(dāng)m-1時，方程是以AB為短軸，離心率為的橢圓，除去A,B兩點(diǎn)學(xué)生驚喜之極，問題得到順利解決教師：剛才我們主要是對題目條件變化，如果我們將條件和結(jié)論互換呢？我們來看新的命題：變式6：若A，B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在，并記為，證明：之積是與點(diǎn)P無關(guān)的定值學(xué)生興奮到了極點(diǎn)，躍躍欲試，積極觀察，并進(jìn)行了解題的四步曲分析，書寫證明證明：由題意設(shè)A的坐標(biāo)為（），則B（），設(shè)P的坐標(biāo)為（）則因?yàn)镻、A都在雙曲線上所以，與P無關(guān)教師：問題解答非常漂亮，下面請同學(xué)們獨(dú)立解決變式7變式7：試對橢圓寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明性質(zhì)：

14、若A，B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在，并記為，那么之積是與點(diǎn)P無關(guān)的定值學(xué)生10證明：由題意設(shè)A的坐標(biāo)為（），B（），P的坐標(biāo)為（）則因?yàn)椋琍、A都在橢圓上所以，與P無關(guān)四、歸納總結(jié)、升華提高教師：從變式6和7，大家能總結(jié)出什么結(jié)論呢？學(xué)生11：若A，B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在，那么若A，B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在，那么，教師：總結(jié)的很好，在參考書上，AB通常稱為圓錐曲線的直徑，事實(shí)上，有關(guān)圓錐曲線直徑的性質(zhì)還有很多，請同

15、學(xué)們課下繼續(xù)探討我的思考：到此，學(xué)生如釋重負(fù)，有一種成功的喜悅！思維創(chuàng)造性的火花也已點(diǎn)燃課堂教學(xué)預(yù)設(shè)的目標(biāo)已經(jīng)完成，我們的課堂教學(xué)也該結(jié)束了但學(xué)生的探究還沒有結(jié)束，通過探究思考性問題，引導(dǎo)學(xué)生在課下繼續(xù)探究課后探究思考作業(yè)（時間一周）：1 查找資料了解有關(guān)圓錐曲線直徑性質(zhì)2 （1）探究性問題中條件“斜率之積為”分別改為“斜率之積為0”、“斜率之商是2”、“斜率之和是”、“斜率之差是”，試探求點(diǎn)C的軌跡方程（2）你能否想出與探究問題有關(guān)的其它變式問題書面作業(yè)：習(xí)題22, P54 A組5題，B組3題【教學(xué)鏈接】相關(guān)檢索：圓錐曲線的直徑圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的平行弦的中點(diǎn)軌跡叫做圓錐曲

16、線的直徑(1)圓錐曲線的直徑的圖形，可以是一條線段(圓和橢圓的直徑)，可以是一條射線(拋物線的直徑)，可以是一條直線或一條直線上的兩條射線(雙曲線的直徑)(2)橢圓的直徑與圓的直徑不同同一圓的直徑都相等，同一橢圓的直徑長度可以不等（3）橢圓的方程寫成的形式，可不考慮、的大小關(guān)系例。 求橢圓2x2+2y2=22中，斜率為k的平行弦的中點(diǎn)軌跡解：斜率為k的平行弦的直線系方程是y=kx+m，其中m是參數(shù)代入橢圓方程，得2x2+2(kx+m)2=22，整理，得(2k2+2)x2+22mkx+2m222=0消去參數(shù)m，得2x+2ky=0這是一條直線，經(jīng)過橢圓的中心，據(jù)題意，所求軌跡應(yīng)是這條直線在橢圓內(nèi)的

17、線段【教有所思】在全面推進(jìn)素質(zhì)教育的今天，教學(xué)中要對例習(xí)題進(jìn)行全面合理的設(shè)計(jì)，面向全體學(xué)生，充分發(fā)揮例習(xí)題的內(nèi)在潛能，不僅使學(xué)生聽懂，而且還要拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力一道課本探究題通過變式，從特殊到一般，改變背景將其推廣，讓學(xué)生真正感受到“源于課本，而高于課本”的深刻含義，也真正使學(xué)生品嘗到探究性問題中“探究”的滋味課本習(xí)題與資料題目很自然地結(jié)合，使學(xué)生知道了知識的來龍去脈，使他們的認(rèn)知產(chǎn)生了飛躍，通過不同的思路，提供多種解題方法既拓寬了學(xué)生的解題思路，又從不同的角度將已學(xué)過的知識加以復(fù)習(xí)，解題方法的多樣化，活躍了學(xué)生的思維，使學(xué)生增強(qiáng)了解決問題的信心，進(jìn)而又深化了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想這樣將知識、能力和思想方法在更多的新情景、更高的層次中，不斷地反復(fù)地滲透，達(dá)到了螺旋式的再認(rèn)識，再深化，乃至升華的效果通過一題多變、一題多解，多題一解的訓(xùn)練，激發(fā)了學(xué)生的興趣和求知欲所有的變式要鼓勵學(xué)生從多角度去分析，選最優(yōu)的方法去解決在高中學(xué)數(shù)學(xué)解題課的變式教學(xué)模式中，對數(shù)學(xué)問題的變式要注意縱向聯(lián)系，要緊密聯(lián)系以前所學(xué)知識，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時對舊知識也得到復(fù)習(xí)、鞏固和提高，從而提高學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生感受事物間的“普遍聯(lián)系”這