高中函數(shù)求值域解法詳解

1、在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。  1. 直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。  例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 

2、60; 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是：   2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。  例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：4，8   3. 判別式法  例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當(dāng)時(shí)，解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的

3、定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)??？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。   4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。  例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕?/p>

4、函數(shù)的值域?yàn)椋?#160;  5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。  例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?#160;  6. 函數(shù)單調(diào)性法  例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?#160; 

5、; 例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無(wú)上界的增函數(shù)所以，在上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?#160;  7. 換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。   例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可

6、令故所求函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?#160;  例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?#160;  8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。

7、60; 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?#160;  例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?#160;  例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸

8、上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?7，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），在x軸的同側(cè)。   9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 &

9、#160;例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?#160;  例20. 求函數(shù)的值域。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?#160;  10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x(chóng)與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。  例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)橛傻霉驶蚪獾霉屎瘮?shù)的值域?yàn)?#160;  11. 多種方法綜合運(yùn)用  例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ合葥Q元，后用不等式法   例23.