高三一輪取球問題

1、取球問題一、基礎(chǔ)知識： 在很多隨機變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：1、獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”（一次性抽取、逐一不放回抽?。?、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進行分子分母的計數(shù)。5、數(shù)字問題

2、：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個類型進行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個黑球，4個白球（1）不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個球，求取到白球個數(shù)的分布列，期望和方差例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個盒內(nèi)各任取2個球（1）求取出的4個球中沒有紅球的概率（2）求取出的4個球中恰有1個紅

3、球的概率（3）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望例4：袋中裝有若干個質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個球，然后放回，若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的

4、概率（2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及其期望例5：學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球；乙箱子里面裝有1個白球，2個黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲后將球放回原箱）（1）求在一次游戲中 摸出3個白球的概率 獲獎的概率（2）求在三次游戲中獲獎次數(shù)的分布列與期望三、歷年好題精選1、（2014，福建）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額若袋中所裝的4個

5、球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求： 顧客所獲的獎勵額為60元的概率； 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望2、（2014，重慶）一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望(注：若三個數(shù)滿足，則稱為這三個數(shù)的中位數(shù))習(xí)題答案：1、解析：（1） 設(shè)顧客所獲的獎勵額為 （2）可取的值為 的分布列為 2060 0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為（2）每個顧客平均獎勵額為元，可知期望有可能達(dá)到的只有方案或，分別分析以下兩種方案：方案一：，則的取值為 方案二：，則的取值為 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.2、解析：（1）設(shè)事件為“3張卡片數(shù)字完全相同” （2）可取的值為 的分布列為： 123 3、解析：（1）設(shè)事件為“一個2號球，一個3號球” （2）可取的值為