(數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分解答

1、第二講導(dǎo)數(shù)與微分一、大綱考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念），會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程.2 掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 會(huì)求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).4了解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的 微分.二、內(nèi)容提要1. 導(dǎo)數(shù)的概念（變形，注意相應(yīng)的增量的含義幾何意義：切線與法線的求法 物理意義：速度，加速度左，右導(dǎo)數(shù)的概念：f .（Xo）, f _（X°）;與記號：（X。* 0

2、）的區(qū)別.2. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合運(yùn)算，反函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（積分限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定積分復(fù)習(xí)）3. 微分的概念與求法；可微，可導(dǎo)，連續(xù)的關(guān)系；微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；一階微分形 式的不變性4. 高階導(dǎo)數(shù)（遞歸定義）1ax b多項(xiàng)式的高階導(dǎo)數(shù)；可求n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)形式：eax,sin ax, cosax, ,ln（ax b）等（注意變化為這類函數(shù)），萊布尼茲公式；分段函數(shù)在分?jǐn)帱c(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)；反函數(shù)，隱 函數(shù)，參數(shù)方程決定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)5. 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式三、常考知識點(diǎn)1. 導(dǎo)數(shù)定義的考查2. 求已知函數(shù)（包括顯式、隱式、參數(shù)式及變上限積分確定的函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)或微

3、分或高階 導(dǎo)數(shù)3判斷函數(shù)在一點(diǎn)的可導(dǎo)性（常結(jié)合連續(xù)性、極限存在性）分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即曲線的切線和法線的求法（曲線方程可以是顯式、隱式、參數(shù)方程 形式及極坐標(biāo)形式）導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念）5可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系四、導(dǎo)數(shù)定義的考查例 1： f（x） x（x 1）（x 2）（x n），求 f （0）, f （-1）解:例 2： f (x) =(ex-1)(e2x-2)IH(enx -n), n為正整數(shù)，求 f (0)解 f'(0)XempHx2 xnx-1)(e-2) (e -n)xt1)n( n-1)!類似:例3:f(x)=(arctanx -1)(arcta

4、nx2-2) (arctan x100 -100)求 f' (1)444x2f (x) 2f(x3)設(shè) f (0)存在，f(0) =0(A)-2 f (0)( B) 一 f (0)2x f (x) -2 f (x 解 lim廠X：x例4：設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，則函數(shù)(A) f(a) =0, f (a) =0(B)(C) f(a) 0, f (a) 0(D)=limx_02 、，則lim寸x 0X3(C)f (0) xf(X)2f(x )3H_f'(0)(D) 0x33x| f (x)|在點(diǎn)X = a不可導(dǎo)的充分條件是f(a)=0, f (a)=0f(a) ： 0, f

5、 (a) ： 0a左右f (x) 定是一邊至少存在一點(diǎn)Xa,b，使得(B)至少存在一點(diǎn)(C)至少存在一點(diǎn)(D)至少存在一點(diǎn)X) a,b，使得X a,b，使得 x0 a,b，使得f X。 f a f x) f b f x。i=0f 冷 1=°例6：設(shè)函數(shù)f x在x = 0處連續(xù)，且lim f h2 J 則()0h2解 因?yàn)樵趚=a左右f (x)恒正恒負(fù)，|f(x)|都可導(dǎo)，所以在x =正，一邊負(fù)即如 f '(a 0) = f '(a), f'(a -0) = f'(a),可不導(dǎo)即是 f (a) =0, f (a) = 0例5:設(shè)X在la,b 上連續(xù)，且

6、a 0, f b ： 0 ,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) f 0 - 0且fJ：0 存在(B) f 0 = 1且f.：；：0 存在(C) f 0 =0且仁0存在(D) f 0 = 1且f亠0存在五、各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分的求法1.復(fù)合函數(shù)1 sinx 土 例 7. y =ln.,求 y .v 1 -s inx1 . r 1 1 、 y 丨 nT2 1 +si nx 1 -si nx1cox丄cox解 y' = se(x21+sirx 1 -si nxy'' = se at a ixn仮,x y 二、2x 1,xdy解 ,dx例8:1 y"(f(x)，則孑

7、:1dx(f X f x'5f1fe'(f(e)"(2)f ()12.參數(shù)方程決定的函數(shù)決定y =t -121 -3t _ 丄9.-2t= y(X)，求 丁. ( d>X 的求法)dy210.132t22rX求曲線丿£2t 23t2 1-2t2=2t 3 arctant在上=。處的切線與法線方程y=2-3t+l n(1+t2)切點(diǎn)為(3,2)dy _3 1 . t2-3 2t -3t22dx 2 y'233 t1 t2dydx|t =o所以切線方程為y-2=-x，3 ,y=-x5法線方程為y-2=x-3 ,y=x-13.隱函數(shù)11. . x2

8、y2 = earcta nyx決定dxy= y(x)，求 y , y . ( ,dy 的求法) dy解兩邊對x求導(dǎo)xy-y2x 2yy'arctxan x2a rc1xanxyy2/廠下Y 口xx yy 二 xy'y(1)x y y':x _y對(1)兩邊x求導(dǎo)1 (y')2 yyjy' xy''-y'1 (y')22(x2 y2)y :x-y (x-y)3例12.決定y二y( x)，求yx 二 arctant2y _ty2 ey =5dx 12dt 1 tdy2 dyy dyy -2tyey0dtdt dtdy y1 ；

9、 (x2 1)3(3x 1) x例 16. f(x) =x(x 1)(x 2) (x n)，求 f(n 氣刈.dt _ey -2ty 2dyy2(i t2)dx ey -2ty 24 幕指函數(shù)(取對數(shù)或用f(x)g(x) =eg(x)lnf(x)例 13. y =(1-)2x，求 y (1).x12xl n14解 y =e x12xl n1( )1_ 2y，= e x2山+ )+ x 1 +xy'(1) =e2ln22ln2 -1例 14. yX 二 xy 確定了 y 二 y(x)，求 dy .xln y = y ln x解 兩邊去對數(shù)In ydx dy = In xdy dxyxxy

10、In ydx x2dy 二 xy In xdy y2dx即dyylny-y：dxxyl n x x5.多個(gè)因子乘積的函數(shù)(多個(gè)指至少 3個(gè))r例 15. y =x(2x-5)323，求y .(形式寫法)(x2 1)3(3x 1)解兩邊取對數(shù). 1ln y =2兩邊求導(dǎo)-ln x +3ln 2x-5 -3ln x2 +1 -ln 3x+13x(2x -5)1323 2x2x -5x2 +1(n 1)3x3 1例17.y =x +1,x>0,求廠cosx,x 蘭0解 y=f'(x) = /X-si rxf'(0 0) =0; f'(0-0) =0 即f2x=f'

11、;(x) = *sir xx _0x : 0例 18. y 二 elx 創(chuàng)，求 y .y =f'(x)e(z_e（a）f'(a 0) =1; f'(a -0)即y"= f'(x) = «曠）_e（a）例19. f (x) = (x2x2) | xx |有幾個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)？232(x -x-2)(x-x ) =x(x 1) (x-2)(1-x)232(x -x-2)(x -x) =x(x 1) (x-2)(x-1)232(x _x _2)(x _x ) =x(x T) (x_2)(1_x) (x2 _x - 2)(x3 _x) =x(x 1)2(x

12、 _2)(x_1)fd) = iim 住)"-1)所以，解 f(x)二3=lim (x 2) x -x=0limTf(0)xO|x|lim xO x= lim (x_2)(x +1) x -10不存在 f'（0） 不存在f'(-1)<im f(Xf1)x >4limfX 1x -1X 1l i mx 1 x -1x；Jx=lim (x 2) x3 -x-0Pm(x-2)(x 1)x(x 1)不存在f'（0）不存在例20. f(x)=im_r1 xrfx2 V,xX -1X 10，求 f (x).l nZ 2 n xl i 哼1 +x +!、.2)&

13、lt;2解 f (x)-0*1X2 X.2X ： -1一1 ： x ： 00 ： x . 1X 1f'(x)=00 x : 11 ： x : 2 而且函數(shù)f (x)在x=1,2不可導(dǎo)x 2f'(x)=0例 21. f(x)ax-2x e0 ： x : 11 ： x : 2x 22+ bx + c x 0,' ，求(1) a, b, c，使 f "(0)存在( 2) a, b,c，使 f "(0),x ： 0存在解(1)f'(x)；ax+b,2e ,f (0)存在故f (0 0) = b = f'(0-0) = 2f(x)是連續(xù)函數(shù)，故

14、f(00) =c 二 f (0 _0) =1,c =1,a 任意(2) f (0)存在即 f (0)存在，從而 b = 2, c = 1f''(x)'2a, 占,x ： 0f (0)存在即=47.反函數(shù)例22.不求出反函數(shù)，計(jì)算y二In(1 x2)的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2xdx 1dydydxd2xdy2x d x22x dxx2.1 x2 dy8.積分限函數(shù)(在定積分一章復(fù)習(xí))x = 1+2t2例設(shè)函數(shù)y = y(x)是有 JTUdu； uut -1所確定的求,2 |t=9dx22lntdy t(1 2l nt)edx " 4t _2(1 2lnt)2e2d_

15、y |t |e_dx2，tz9 2(1 2lnt)_ ltz9 9(1 4ln 3)_9. n階導(dǎo)數(shù)的其它例子例 23. y 二3，求 y(10).x2 +3x -415(x-1)2x311y 二x2 +3x -45(x +4)y(n)(-常 n111y 一 5(x 4)n1(x 1)n1例 24.設(shè) fx) = f 2(x) , n > 2，則 f (n)(x) = n! f n(x)解 f (x)二 f 2(x)f''(x) =2f (x)f'(x) =2f3(x)f'''(x)=2 3f 2(x)f'(x) =2 3f 4(x

16、)(n)n 1n z 、f(x)=2><3匯xnf (x) = n!f (x)例25. y =x2sinx,求y(萊布尼茲公式的適用范圍)-(8)2兀兀8X 7兀解 y()=xsinX8) 8 2x s i nx( 7 )2s i nx( 6 )2 2 2 2所以-56y(8)(2H(-)2例 y =arct axi，求 y(n)(0).1 2解 y' 2(1 x )11 x0=(1x2)y')(nJ1) =(1 x2)y(n) 2(n -1)xy(nJ)(n-1)(n-2)y(n).0 = y(n)(0)(n-1)(n -2)y(n)(0) y(n)(0) (n

17、-1)(n-2)y(n)(0)所以y(n)(0) = 一(n -1)(n -2)y(n刀(0) = (-1)2(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)y(n-4)(0) ”0n = 2m'(-1)m(2m)!n = 2m 1y 二 ex si rx，求 y(n).y ex (s i x co sx)y'' =、2ex(si n( x )X=.2e s i nX )4:-_ 2 x二+ cos(x+)=(寸2) e sinX+2-)44所以y(n;2)nexsi nX + )46.雜例 例26 .F x)=設(shè)f(x)在X0處有f(X0) f (x) (x在X0處可

18、導(dǎo)，并求 lim F(X)F(X0)X 汪 X Xo二 limX %= f(x0)=O ,(x)在x的某鄰域內(nèi)有界.證明F(X。).他(X)=0 二 F'(x0)X X°例27.設(shè)f(x)可導(dǎo)，則 Alim f(x)亍-：Clim f(x) :=(D ). lim f (x)X .呵 f(X)X .=oO例28 作變量代換x二si nt將微分方程(1 - x2) d2y)dx2lim f (x) -:lim f (x)-二XX_J .：:limX J ：_xdy a?y = 0化為關(guān)于 y = y(t)的 dxf (x) - ： = lim f (x):-微分方程(并求方程的

19、通解)dy dy dt 1 dydx2dt dx cost dt1_dycos31 dtcos21 d 2td y sin t dy=十dx2-d2yy = q cosax c2sin axa2y = 0 r2 a2r = aig(x) ex0_ x = 0其中x = 0(1) f'(x)( 2)討論 f'(x)在(-：，：)上的連續(xù)性.設(shè)函數(shù)f (x) = *g(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0)=1©(0) 一 1解(1) f'(x)二(2) x叫 f'(x) Pm0x(g'(x) e ) -(g(x) -e )2xf (X) - f (0)g

20、(x) _e心_ limx )0x(g'(x) e ) -(g(x) -e )2xg''(0)T2x(g''(x)-e )2xg''(0)-i2f'(x)在(：)上是連續(xù)的.1門2 , x = 0 x例 29設(shè) f(x)=xarctani0,丄12xarctan - r,x2 x4 +1lim =lim ar ctx 0 xx0f (x)在X二0處是連續(xù)的.，討論f (x)在x = 0處的連續(xù)性.x = 0解 f'(x)=*1 二an 二x 2例30已知一個(gè)長方形的長 l以2cm s的速率增加，寬 w以3cm s的速率增加

21、，則當(dāng)l =12cm,w =5cm時(shí)，它的對角線增加的速率為 3 cm sdl dw dC 兀 12 2 5 3 3_2,l2 w2_解對角線S -丨 2W2dt|t013例31 ：曲線tan (x y )4=ey在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為，法線方程為解j八，4)(1y')=eyy'y'(0) ysec(x y2兀sec2(1 y'(0)H y'(0)41法線方程為 y-1x2七、補(bǔ)充：邊際成本、邊際收益、邊際利潤，彈性，需求 彈性，需求對收入的彈性例32 02年數(shù)四:設(shè)某商品需求量Q是價(jià)格2切線方程y = -2x(對價(jià)格)彈性，收益(對價(jià)格)p的減函

22、數(shù) Q = Q( p)，其需求彈性空右 0 , (1) R為總收益函數(shù)，證明9旦=0(1 - ) (2 )求p=6時(shí)總收益對 192-p2dp價(jià)格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義.解(1) R(p)=pQ(p)上式兩邊對p求導(dǎo)血蟲(甘卩皿蟲(1+衛(wèi)皿)=Q(1)dpdpQ dp(2)更坐二丄Q(-)八Ep R dp pQ=12p2192-3p2192-p2192-p2ER 7|p 出0.54.Ep p 13經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)p = 6時(shí)，若價(jià)格上漲1%,則總收益將上漲 0.54%.例33 07年數(shù)三:設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160-2p ，其中Q，p分別表示需要量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商

23、品的價(jià)格是()(A)10(B)20(C) 30(D)40例34 09年數(shù)三:設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q=Q（P）,其對應(yīng)價(jià)格P的彈性=0.2，則當(dāng) 需求量為10000件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加 12000元解（Qp）' = pQ' Q且p二止=0.2P Q所以（Qp）'=1.2Q將 Q等于10000代入即得（Qp）'=12000練習(xí)：1.xmmt）決定八y（x），求乂dxy =5(1 COSt)dydx5si nttcot -25(1 -cost)dy d2ydx2解d2ydx21 2 t 1csc -2 2dx1 csc22 5(1 _ cost)25(

24、1 _ cost)dt2. y =1 xexy 決定 y = y(x)，求 y |x» 解 x = 0, y =1對方程 y =1 xexy 兩邊 x 求導(dǎo)yexy - xexy(y xy') (1)對方程 (1)兩邊 x求導(dǎo) y” = 2exy(y xy') xexy(y xy')2xexy(2y' xy”)將x =0, y =1,y'(0) =1代入上式，得y''(0) =2.3. y =x2 +ax +b與 2y = -1 + xy3相切于(1, T )，求 a,b.23解 y=x +ax + b 與 2y = 1+x y

25、 相切于(1, -1),故有一1 = 1 a b a b = -22 a 叮？ 2"1即 a1,b 13xy -24決定i,f可導(dǎo)不為0，求孰"dy|f'(e3t-1)e3t 3|It 予t n Qdxf'(t)5.2y =sin f (x )，求dxdy222xf '(x )cos f (x )dx= 2 f '(x2) cos f (x2) 4x2 f ''(x2) cos f (x2) 一4x2 f '(x2)2 si nf (x2) dx6.f（x y）, f二階可導(dǎo)，且一階導(dǎo)數(shù)不為1,dx2 .齊 f'

26、;" y')f'(x y)1 - f'(x y)d y = f''(x y)(1y')2 f'(x y)y''dxf''(x y)1 - f'(x y)(1 y')2f''(x y)(1-f'(x y)37. xef(y) = ey, f (x) 1, f 二階可導(dǎo),求d2ydx2ef(y)dy 二dx 一 ey -xf'(y)ef(y)ef(y)ey(1-f'(y)2ef（y）3 xef（y）（史）2 xef（y）dxdxdx2d2y ved2ydx2從而d2y2ef(y)dxdx2ey -xef(y)e2f(y)ey-xef(y)2&設(shè)f （x）, g（x）為恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),f g _ fg ： 0，當(dāng) a x b 時(shí)(C.f(x)g(b) f (b)g(x)B.f(x)g(a) f (a)g(x)f(x)g(x) f(b)g(b)D.f(x)g(x) f(a)g(a)因fgw<0即（g（加常'<0 gc;單調(diào)下降f (x)f (b)x : bg(x)g(b廠 559. f (0) =0, f (x)在x = 0處可導(dǎo)的充要條件為(叫 2 f(1-cos