反比例函數(shù)與圖形的面積

1、一、教學課題: 反比例函數(shù)與圖形的面積二、教學目標： 知識與能力目標：1、了解反比例函數(shù)式中的K的幾何意義。 2、理解反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系。3、掌握運用數(shù)形結(jié)合法雙向解決反比例函數(shù)與圖形的面積數(shù)學問題。過程與方法目標：1、通過探索反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系，理解反比例函數(shù)表達式的中K的幾何意義。2、在解決問題的過程中，體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學應用中的重要地位。3、經(jīng)歷探索反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系，體會函數(shù)的思想與建模的思想在數(shù)學問題中的運用。情感態(tài)度與價值觀：1、在小組交流學習活動中學會與人合作獲得成功的體驗，培養(yǎng)學生的合作意識和樂于探究的良好品質(zhì)。2、在探究活動中培養(yǎng)學生學

2、會觀察、分析、歸納的能力，培養(yǎng)學生數(shù)學類比和數(shù)學建模思想。感悟數(shù)形結(jié)合思想方法。3、在問題變式中感受函數(shù)圖象的簡潔美，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣。欣賞和感悟，體驗數(shù)學的價值。教學重點：探索反比例函數(shù)式中的K與圖形的面積聯(lián)系。教學難點：分析圖象中信息來確定K與圖形面積的關(guān)系。三、教材分析人教版第十七章反比例函數(shù)是在學完第六章平面直角坐標系和第十四章一次函數(shù)的基礎(chǔ)上再加深的函數(shù)知識學習，教材只安排8個課時掌握其概念、圖象和性質(zhì)，以及用反比例函數(shù)分析和解決實際問題等抽象的新知。大部分學生實在有點吃不消，有點水過鴨背的感覺。而反比例函數(shù)的圖象與幾何圖形往往結(jié)合緊密，如何識別圖象中信息來解決數(shù)學問題對初學反比

3、例函數(shù)的八年級學生來說是一大難點，也是近幾年各省市中考數(shù)學試題中的熱點方向。而這類以反比例函數(shù)為背景的圖形面積題型在教材中沒有系統(tǒng)呈現(xiàn)，但在教輔資料、考題中常見，學生在解此類題型由于缺乏方法而頗感吃力，但它的掌握又直接影響到后續(xù)的中學會考。我結(jié)合平時教學并參考了網(wǎng)上資源而設(shè)計了本節(jié)課，作為此章知識學習的拓展和補充，四、設(shè)計理念義務(wù)教育數(shù)學（7-9年級）教學指導意見（2012年版）提到：數(shù)學教學應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促使學生在教師指導下的生動活潑地、主動地、富有個性地學習；要創(chuàng)造性地使用教材

4、，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材；要關(guān)注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發(fā)展?；诖苏J識本課設(shè)計圍繞反比例函數(shù)中K的幾何意義解決簡單的圖形面積問題為中心，利用互聯(lián)網(wǎng)百度有關(guān)資源加以整合和拓展，通過情景引入小組探究反思小結(jié)學以致用自我提高等一系列活動，采用以“遞進探究法”為主，類比法、變式教學法、分組合作交流法、多媒體輔助教學等多種方法相結(jié)合，充分關(guān)注學生的個性差異，因材施教，由易到難突出重點。引導學生通過觀察、思考、探索、交流，獲得解決反比例函數(shù)與圖形面積問題的技能，意在幫助學生理順知識體系，歸納解題要點及方法。教學中注重師生雙邊活動、小

5、組交流突破難點，激發(fā)不同層次的學生積極參與數(shù)學思維活動，而學生更可借助互聯(lián)網(wǎng)上資源進行二次學習與拓展，充分發(fā)揮學生的主體作用。及時評價學生的創(chuàng)新思維，讓學生建立起自信心，逐次營造“會學”、“樂學”的氛圍來達成本課教學目標。五、教學方法：遞進探究法 類比法，合作交流法，變式教學法，多媒體輔助教學法六、教學過程：（一）課前小測(限時4分鐘)：1、一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（-2，-1），則該反比例函數(shù)的解析式是_ 2、已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的取值范圍是 。3、已知點A（，2）在雙曲線上，則 。4、函數(shù)是反比例函數(shù)，則 .。教師活動】通過幾何畫板展示下圖：動點P在反比例函數(shù)上，PA

6、軸于A點，動點P變化對APO面積的影響，并板出本節(jié)課題。進而提出問題：1、點在反比例圖象上移動，三角形OPA面積怎樣變化?2、改變（正負）的值三角形OPA面積又怎樣變化？【學生活動】觀察情景，回顧舊知，歸納：此三角形的面積不受P點位置影響，它是的一半（K的幾何意義）?！窘處熁顒印恳龑w學生得出結(jié)論，并提問學生怎樣得出？認清其關(guān)系：，這是本節(jié)課開端又是重點的地方，教師一定要強調(diào)加深認識！【設(shè)計意圖】通過運用多媒體幾何畫板軟件動解反比例函數(shù)與圖形的面積，直觀清晰地揭示圖形面積與K的變化規(guī)律，并結(jié)合學生已有的知識，使其認識到K的幾何意義，從而切入本節(jié)課解決的中心問題。（二）、小組探究（15分鐘）【

7、探究1】例1、反比例函數(shù)的圖像如圖1所示，點M是該函數(shù)圖像上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，如果，則k的值為       .（反比例函數(shù)與三角形）【學生活動】根據(jù)情景展示得出K的幾何意義，并注意到函數(shù)所在的象限，較易得到本題答案， 【師生活動】形成解決此類問題方法，熟知。【變式1】：如圖2，已知點P在函數(shù)的圖像上，軸、軸，垂足分別為A、B，則矩形OAPB的面積為       . （反比例函數(shù)與矩形）【變式2】如圖3，已知點A在函數(shù)的圖像上，軸于B，OC=AB,則四邊形OCBA的面積為 

8、;      . 【變式3】、如圖4，P是反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作軸于點B，點A在軸上，的面積為2，則K的值為 【學生活動】三題變式演練，初試身手，嘗試成功。變式1抓住矩形由兩個直角三形組成，變式2四邊形OCBA為兩個全等三角形，而變式3則抓住三角形面積計算式即可通過思考、比較，輕易得出答案。【設(shè)計意圖】例1設(shè)置是情景展示的初步理解與再現(xiàn)，一方面引導學生思維進入本節(jié)課，讓學困生初嘗自我能解決問題而獲得成功感，另一方面通過簡單的圖形變式，使其進一步拓寬K與圖形面積的關(guān)系，加深學生對圖形面積與K的關(guān)系認識?！炯磿r反饋】1、反比例函數(shù)的圖像如圖5所示，點

9、A是該函數(shù)圖像上一點，AB垂直于軸，垂足是點N，如果，則k的值為      .2、如圖6，已知點A在函數(shù)的圖像上，軸、軸，垂足分別為C、B，則矩形OCAB的面積為       .【學生活動】自我檢測，運用剛掌握的知識完成上兩題，結(jié)合各自答案舉手互證。【教師活動】根據(jù)學生的完成情況及時補充。【設(shè)計意圖】設(shè)置兩小題同類題型訓練，讓學生尋找圖形中的“不同中的相同”找出問題的所在，進而解決問題，旨在喚起中下生的自信心，既實時了解學生掌握情況，又能達到即時鞏固目的，為解決探究2的積聚自信心。【探究2】例2 

10、; 如圖7，反比例函數(shù)的圖像與直線相交于A、B兩點，ACy軸，BCx軸，則ABC的面積等于      個面積單位.【學生活動】分組討論，小組內(nèi)自我分析圖形：或找三角形的高及底，或分拆三角形，結(jié)合反比例函數(shù)解析式中K的幾何意義，問題得以解決。設(shè)計意圖】引領(lǐng)學生層層遞進式學習，用圖形的延展性逐步拓寬學生的思維，實現(xiàn)學生認知的螺旋上升，讓所有學生都興奮地參與探索、合作交流，繼而興趣盎然地投入下兩變式題思考：【變式1】如圖8，直線與雙曲線交于點A、B. 過點A作AMx軸，垂足為點M連接BM. 若，則k的值是 .【變式2】如圖9，直線與雙曲線交于點A、B過點A、B

11、分別作AMx軸、BNx軸，垂足分別為M、N，連接BM、AN. 若SAMBN=1，則k的值是          .（反比例函數(shù)與平行四邊形）【學生活動】再試身手，以小組合作形式積極探尋解答的方法。 【教師活動】適時給予小組提點：變式1抓住反比例函數(shù)上A,B兩點關(guān)于O對稱知AMO與BOM等底等高面積相等，變式2則是在變式1的基礎(chǔ)上延伸（對稱性），從而打開思路。以助學生小走彎路?！驹O(shè)計意圖】：通過圖形的變式，把問題逐次遞進，讓學生下自主探究中漸次總結(jié)，積累方法，從而逐步突破本節(jié)課難點。（三）、反思小結(jié)、提升自我（5分鐘）

12、【教師活動】提出問題：學習至此你有什么收獲？引導學生總結(jié)：1、抓住圖形的特點進行分解與合并；2、從K的幾何意義入手；3、結(jié)合反比例函數(shù)圖象的對稱的性質(zhì)。積極評價不同層次的學生（小組）對學習內(nèi)容的不同認識，及時肯定其閃光思維。【學生活動】積極思考總結(jié)，互相補充，學有所得，以便今后解題觸類旁通?！驹O(shè)計意圖】師生互動，針對本節(jié)課引導學生對學習中所運用的數(shù)形結(jié)合法等進行小結(jié)、反思。加深對本節(jié)內(nèi)容的學習，從而提高學生自主拓展知識和分析、解決問題的能力。（四）、學以致用，突破自我：（10分鐘）【探究3】例3、如圖8，已知雙曲線經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=

13、       . 【學生活動】結(jié)合圖中的信息，由各小組派出代表講解?！窘處熁顒印窟m時糾正，點撥：矩形OABC的面積可看作，AOF，COE的面積和即為K，矩形OABC的面積？考慮F為AB的中點，其面積應為4個AOF的面積。 【變式】如圖，反比例函數(shù)（x0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則SOCE=，SOAD=，過點M作MGy軸于點G，作MNx軸于點N，則SONMG=|k|，又M為矩形ABCO對角線的交點，S矩形ABCO=4

14、SONMG=4|k|，由于函數(shù)圖象在第一象限，k0，則k +9=4k，解得：k=3故選C【設(shè)計意圖】通過問題的設(shè)置，讓學生思維分層遞進，由易到難，由簡到繁，旨在呼喚每一位學生都來參（五）、自我提高，拓寬視野(5分鐘)【展示】1.如圖11，在軸的正半軸上依次截取，過點分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，得直角三角形并設(shè)其面積分別為則的值為 【學生活動】：綜合運用所學分析圖形特點，構(gòu)造圖形解決問題?！驹O(shè)計意圖】以“培養(yǎng)學生的自主學習、探究、合作”為達成目標，針對思維能力較好的學生提供拓展練習，培養(yǎng)學生見題即入題的習慣。以能提高學生的解題能力。2. 如右圖，直線AB交雙曲線于、B，交x軸于點C

15、,B為線段AC的中點，過點B作BMx軸于M，連結(jié)OA.若OM=2MC,SOAC=12，則k的值為_.答案：8解析：過A作ANOC于N，因為BMx軸，所以，ANBM，因為B為AC中點，所以MNMC，又OM2MC2MN，所以，N為OM中點，設(shè)A（a，b），則OC3a，得ab8，又點A在雙曲線上，所以，kab8。（六）、自主評價：學習效果調(diào)查效果選項自我選擇教師評價學生簽字：A.很容易學（ ）優(yōu)B.較容易學（ ）良C.學得一般（ ）中D.會一點點（ ）仍需努力我的困惑和疑問七）板書設(shè)計：課題：反比例函數(shù)與圖形面積例1例2例3（八）、分層作業(yè)【設(shè)計意圖】義務(wù)教育數(shù)學（7-9年級）教學指導意見（2012年版）指出：要關(guān)注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，讓每個學生都得到充分的發(fā)展。所給的課后作業(yè)盡可能地讓所有的學生都能參與，并堅持學生作業(yè)合理負擔、嚴格控制學生課外作業(yè)量，故作如下設(shè)計，以能鞏固本節(jié)知識。基礎(chǔ)題1、如圖12，點、是雙曲線上的點，分別經(jīng)過、兩點向軸、圖12軸作垂線段，若則 2、如圖13，A