2019貴州中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練--二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

1、B (4,0)和原點O, P為二并與直線OA交于點C.OA相交于點E,求4PCE二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一線段及面積問題1.如圖，經(jīng)過點A (3,3)的拋物線y = ax2+bx與x軸交于點 次函數(shù)上一動點，過P作x軸垂線，垂足為D(x', 0)(x'>0),(1)求拋物線的表達式;(2)當點P在線段OA上方時，過P作x軸的平行線與線段周長的最大值及此時P點的坐標;(3)當PC = CO時，求P點坐標.解：(1) .A (3,3), B (4,0)兩點在拋物線 y = ax2+bx 上,'3=9a+3b0=16a+4b，解得拋物線的表達式為y = -x2+4x

2、;(2)如解圖，設(shè)點P的坐標為(x, -x2+4x),第1題解圖 點A坐標為(3, 3); ./AOB=45°, .OD=CD = x, . PC= PD CD= x2+4x x= x2+ 3x,.PE/x 軸,. PCE是等腰直角三角形，當PC取最大值時， PCE周長最大.PE與線段OA相交， 0a且在對稱軸左由PC= x2+3x= (x3)2+9可知，拋物線的對稱軸為直線 x=g,242側(cè)PC隨x的增大而增大， 當x=1時，PC最大，PC的最大值為一1 + 3 = 2, .PE=2, CE = 2",.PCE 的周長為 CP+PE+CE = 4+2/2,.PCE周長的最

3、大值為4 + 24，把 x= 1 代入 y= x2 + 4x,彳4 y = 1 + 4= 3, 點P的坐標為(1, 3); 2(3)設(shè)點P坐標為(x, -x +4x),則點C坐標為(x, x),如解圖，當點 P 在點 C 上方時，P1C1 = x?+4x x= x?+3x, OC1=V2x,P1COC1,一x2 + 3x=匹x,解得 x1 = 3石，x2=0（舍去）.把 x= 3 G 代入 y= x2 + 4x 得，y=-（3-石）2 +4（3-亞） = 1+2V2 , . P1（3-石，1 + 272）,當點 P 在點 C 下方時，P2C2 = x （x2 + 4x） = x2 3x, OC

4、2=6x,P2C2= OC2,x2 3x=也 x,解得xi = 3+短,X2 = 0(舍去)，把 x= 3+ V2 代入 y= x2-.y= x +4x+5= (x 5)(x+ 1)= (x 2) +9, . M(2, 9), B(5, 0),由B, C兩點的坐標易求得直線BC的解析式為：y= x+ 5,當乂= 2 時，y= 2+5=3,則 N(2, 3),則 MN = 93 = 6, + 4x,得丫= -(3+ 72)2+4(3+ 72)=1 272 ,32(3+應(yīng)，1-2 72).綜上所述，P點坐標為(3后，1 + 2無)或(3+72 , 12夜).2.如圖，拋物線y= ax2 + bx+

5、 c的圖象與x軸分別交于A, B兩點，與y軸交于點C,其 中點A(1, 0)、C(0, 5)、D(1, 8)在拋物線上，M為拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式；(2)求4MCB的面積；(3)在拋物線上是否存在點 P,使4PAB的面積等于4MCB的面積？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.第2題圖解：(1) /A(-1, 0), C(0, 5), D(1, 8)三點在拋物線 y= ax2+bx+c上,工0 = a - b ca = -15 = c ,解得Jb =4 ,9=a + b +cS = 52拋物線的解析式為y= x+4x+5;(2)如解圖，過點M作MN /y軸交

6、BC于點N,.cc、c1. S；amcb = Smcn + $ mnb= ?MN OB.1、 ”則 &mcb = 2>6>5= 15;(3)在拋物線上存在點P,使4PAB的面積等于4MCB的面積.- A(-1, 0), B(5, 0),. AB = 6, S PAB = Sa MCB,.1s、，, ”- 2 >6 x|yp|= 15,- .|yp| = 5,即 yp = i5.2當 yp = 5 時，- x+4x+5=5,解得 xi=0, X2=4;第3題圖解：(1)將點A(1, 0), C(0, 2)代入拋物線y= ：x2+bx+ c中得,1, c，3-z-b+c=

7、0b=52，解得2lc=2I c= 21 o 3拋物線的斛析式為y= 2x +/x+2；(2)令 y= 2x2+|x+2= 0,點B的坐標為(4, 0),在 RtzXBOC 中，BC = aJoc2+OB2=722 + 42 =275,OC 25 .3 5 ,、35 ,、3(3)存在，點P坐標為(2, 2)或(2, 2)或(2, 4).【解法提示】由拋物線v= 2x2+2x+2得對稱軸為直線x= |,3點D的坐標為(2, 0).CD = oC2+OD2 =22+ (3) 2 =5.3.點P在對稱軸x= 2上，且4PCD是以CD為腰的等腰三角形,5當點D為頂點時，有DP = CD = 2, 此時

8、點P的坐標為(2, 5)或(2, 5)；當點C為頂點時，如解圖，連接 CP,則CP=CD,過點C作CGLDP于點G,則DG = PG,第3題解圖v DG = 2, .PG=2, PD=4,3. 點P的坐標為(2，4).綜上，存在點P使4PCD是以CD為腰的等腰三角形，點P的坐標為3 5353 八(2, 2)或仿2)或(2，4).類型三直角三角形的存在性問題4.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ c(aw 0)對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過A(1, 0), C(0, 3)兩點，與x軸的另一個交點為B.(1)若直線y= mx+ n經(jīng)過B, C兩點，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x=

9、1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標;(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x= 1上的一個動點，求使4BPC為直角三角形的點P的坐標.第4題圖 b ,-2a=Ta=T解：(1)由題意得a+b+c=0,解得b= 2, c= 3c=3拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.對稱軸為直線x= 1,拋物線經(jīng)過A(1, 0), .B( 3, 0).把 B(3, 0), C(0, 3)分別代入 y= mx+ n得3m+n = 0m=1彳，解得彳 ，n=3n=3直線BC的解析式為y=x+3；(2)如解圖，連接MA,第4題解圖v MA=MB,MA+MC = MB + MC.使MA + M

10、C最小的點M應(yīng)為直線BC與對稱軸x= - 1的交點.設(shè)直線BC與對稱軸 x= 1的交點為M ,把x= 1代入直線y= x+ 3,得V=2.-M(-1, 2);(3)設(shè) P(1, t), vB(-3, 0), C(0, 3), . .BC2=18,PB2=(1 + 3)2 + t2 = 4 + t2,PC2= (- 1)2+ (t- 3)2 = t2-6t+ 10.若 B 為直角頂點，則 BC2+PB2=PC2,即 18+4 + t2=t26t+10, 解得t= - 2;若 C 為直角頂點，則 BC2+PC2=PB2,即 18+t26t+10= 4 + t2, 解得t= 4;若p為直角頂點，則p

11、b2+pc2=bc2,即：4+t2+t26t+10= 18,解得 t1 = 3+217 4= 3 2.綜上所述，滿足條件的點P 共有四個，分別為：Pi(-1, -2),P2(-1,4),P3(-1,3+Vi7),3/萬P4(-1, -).5.如圖，拋物線y =ax2+bx+c與x軸交于點A (-3,0), B (1,0),與y軸交于點C (0, 3),頂點為D.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)如圖，在x軸上找一點E,使得4CDE的周長最小，求點E的坐標；(3)如圖，F(xiàn)為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點 P,使得4AFP為等腰直 角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明

12、理由.圖圖第5題圖解：(1) /A(-3, 0), B (1,0), C(0, 3)在拋物線上,0 =9a -3b c a = -1.J0=a+b+c 解得b=2,3 = cc = 3 .拋物線的解析式為y= x22x+3,. y= x2 2x+3= -(x +12+4, 點D的坐標為(-1,4);(2)如解圖，作點C關(guān)于x軸的對稱點M,則M(0, 3),連接DM, DM與x軸的交點為E,連接CE,止匕時4CDE的周長最小,設(shè)直線DM的解析式為y= kx+ b(k刃)，將D(-1, 4), M(0, 3)代入y= kx+ b,'-k +b =4 b = -3 = -7b = -3 直線

13、DM的解析式為y= 7x 3,令、=0,則 y= 7x 3 = 0,-3解得x= 7,3點E的坐標為（一7, 0）;（3）存在.由(1)知，OA=OC=3, ZAOC = 90；.zCAB = 45；如解圖,當/AFP = 90時,即/AFiPi = 90 °,點Pi既在x軸上,又在拋物線上，則點Pi與點B重合，點Pi的坐標為（1, 0）;y+F0第5題解圖A 0當/FAP = 90時,即/F2AP2=90則/P2A0 = 45°,設(shè)AP2與y軸的交點為點N,. OA=ON = 3,則 N(0, 3),直線AP2的解析式為y= x3,聯(lián)立拋物線與直線AP2的解析式，得方程組

14、y = -x -32_.一，j =x 2x + 3x =2y = -5"r /x = -3c或y =0 -A(-3, 0), . P2(2, 5);當/APF = 90時，即/AP3F3=90；點P3既在x軸上，又在拋物線上，則點P3與點B 重合，點P3的坐標為(1, 0).綜上所述，拋物線上存在點P,使得4AFP為等腰直角三角形，其坐標為P(1, 0)或(2, 5).類型四特殊四邊形的存在性問題6.如圖，拋物線y=ax2+bx+ c(aw0)與y軸交于點C(0, 4),與x軸交于點A和點B, 其中點A的坐標為( 2, 0),拋物線的對稱軸為直線 x= 1與拋物線交于點D,與直線 B

15、C交于點E.第6題圖(1)求拋物線的解析式；(2)若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F,使四邊形ABFC的面積為17?若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；(3)平行于DE的一條直線l與直線BC相交于點P,與拋物線相交于點Q,若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 P的坐標.解：(1)二點A(2, 0)與點B關(guān)于直線x=1對稱，B(4, 0),'4a-2b+c= 0a=-2將點A, B, C的坐標代入函數(shù)解析式，得1 16a+ 4b+c=0,解得 b=1 , 1c= 4L c=4拋物線的解析式為y= 2x2 + x+4；(2)不存在點F,使四邊形A

16、BFC的面積為17,理由如下：.B(4, 0), C(0, 4),BC的解析式為y= x+4,如解圖，過點F作x軸垂線，交BC于G,1 2設(shè) F 點的坐標為(m, 2m +m+4),則 G(m, m+4),.FG = ( 2m + m+4) (m+4)= 2m +2m,二 S 四邊形 ABFC= & ABC + Sa BCF1 1=2AB yC + 2FG (xb - xc)= 1X6X4+ 2 X4( - 1m2 + 2m)= 17,2整理得m 4m+5 = 0,.b24ac= 16 4X1X5=-4<0.方程無解,. F點不存在；9- 2(3)當 x=1 時，一x2 + x+

17、4=萬，即 D(1,當 x= 1 時，x+ 4=3,即 E(1, 3),93.DE = 5 3 = 2.1 2設(shè) Q 點坐標為(m, 2m+m+4),則 P(m, m+4).口 1 2.，1 2 八，|PQ|= 1( 2m +m+4)(m+4)|=| 2m +2m|.由 PQ/DE, PQ=DE 彳#| 2m2+2m|=3,.12312 , 一 3 2m + 2m = 2或一 2m + 2m = 2解得 m1 = 1(PQ 與 DE 重合，舍去)，m2=3, m3=2 + <7, m4 = 2J7. P 點坐標為(3, 1)或(2+g, 2S)或(2 由，2 + V7).11 27.如圖

18、，一次函數(shù)v= 2x+1的圖象與x軸父于點A,與y軸父于點B,二次函數(shù)y=2x1+ bx+ c的圖象與一次函數(shù)v= 2x+1的圖象父于B、C兩點，與x軸父于D、E兩點且D點坐標為（1, 0）.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若拋物線上存在點P,使Sabdc = S”bc,求出P點坐標(不與已知點重合)；(3)在x軸上存在點N,平面內(nèi)存在點M,使得B、N、C、M為頂點構(gòu)成矩形，請直 接寫出M點坐標.1解：(1)將 x=0 代入 y= 2x+ 1 中，得：y= 1,.B(0, 1),1 2將 B(0, 1), D(1, 0)代入 y= qx2+bx+ c得:c=1b3M，解得2,-+b+c = 0

19、|c-12二次函數(shù)的解析式為y=2x2-2x+ 1;(2)如解圖，過點D作DF /y軸交AC于點F,過點P作PG/ y軸交AC于點G, 33將x= 1代入直線BC的解析式得：y=2,即F(1 , 2),設(shè)點 P(x, 1x2-3x+ 1),1則 G(x, 2x+ 1),“，1,1 2 3， 1 2 c , .GP=|2x+1 £x 2x+1)|=| 2x +2x|. PBC的面積=ADBC的面積，. DF = GP,即 |2x22x| = 3,當2x22x=3時，解得 x=2+S或 x = 2 47, 廠 7+g ,、 廠 7-V7 點P的坐標為(2十47, 1)或(2 寸7, -)

20、,123當2x2x= 2時，解得x= 3或x=1(舍去)，點P的坐標為(4, 1),綜上所述，點P的坐標為(3,7- 72 ) ；第7題解圖12+4 0+x2=2，0+3 1+y92 = 2，解得 x= 2,y= 2,(3)點 M 的坐標為(9, 2), (3, 2), (3, 4)或(1, 4).【解法提示】如解圖 所示：當/CBN = 90 1M,則BN的解析式為y= 2x+1,1 -y=2x+i將直線BC的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得：13，y=2x1 點N的坐標為(2 0),-2、+ 1x=0x=4解得4 ，或V ,y=1y=設(shè)點M的坐標為(x, y), 點C的坐標為(4, 3),將y

21、= 0代入直線BN的解析式得：2x+ 1 = 0,1解得x=2，9 點M的坐標為(2，2);第7題解圖如解圖所示：當/CNM = 90M,設(shè)CN的解析式為y= -2x+ n,將點C的坐標代入得：8+n = 3,解得n=11, .CN的解析式為y= 2x+ 11,將丫= 0代入得2x+ 11 = 0,11斛行x=2,11.二點N的坐標為（萬，0）,設(shè)點M的坐標為（x, y）,四邊形BMNC為矩形,11。+2 4+x2 =2-,-3解得 x=2，y= 2,3點M的坐標為（2，2）;第7題解圖如解圖所示：當/BNC = 90時，過點C作CFx軸，垂足為F,第7題解圖設(shè) ON = a,貝U NF=4

22、a,. zBNO+/OBN = 90 °, /BNO+/ CNF = 90 ； .zOBN=/CNF,又. /BON=/CFN, . BONANFC,ON OB 口口 a1 .cf = nf，即3=4解得：a=1 或 a=3,當a= 1時，點N的坐標為(1, 0),設(shè)點M的坐標為(x, y),四邊形BNCM為矩形，0+4 1+x 1+3 0+y2 = 2，2 = 2，解得 x=3, y=4,.二點M的坐標為(3, 4);當a= 3時，點N的坐標為(3, 0 ),設(shè)點M的坐標為(x, y),四邊形BNCM為矩形，0+4 3+x 1+3 0+y. -22 ， 22 ，解得 x= 1, y

23、=4,點M的坐標為(1, 4),綜上所述，點M的坐標為(9 2), (|, 2), (3, 4)或(1, 4).類型五相似三角形的存在性問題8.如圖，拋物線y=x2+bx+ c經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的坐分別為(一1, 0)、(0, 3).(1)求拋物線的解析式；(2)點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一個交點，點D為y軸上一點，且DC = DE,求點D的坐標；(3)在(2)的條件下，直線DE上是否存在點P,使彳導(dǎo)以C、D、P為頂點的三角形 與ADOC相似？如果存在，請直接寫出點 P的坐標；如果不存在，說明理由.第8題圖解：(1)二.拋物線 y=x2+bx+ c經(jīng)過點 A(1, 0)

24、、B(0, 3),7 b+c= 0b= 2，解得i , c= - 3c= 3拋物線的解析式為y=x22x 3;(2)令 y=0,貝U x2-2x+ 3=0,解得 xi= 1 , X2 = 3, 點C的坐標為(3, 0),.2_2. y= x 2x3=(x 1) 4,.二點E的坐標為(1, 4),設(shè)點D的坐標為(0, m),如解圖，過點E作EF，y軸于點F,DC2 = OD2+OC2=m2 + 32,DE2= DF2+ EF2= (m+4)2+ I；DC = DE, .DC2=DE2,即 m2+32=(m+4)2+12,解得m= 1, 點D的坐標為(0, 1);第8題解圖(3)存在點P使得以C、

25、D、P為頂點的三角形與zDOC相似,11其坐標為(3, 0)、(3, 2)、(3, 8)、(3, - 10).【解法提示】點 C(3, 0), D(0, 1), E(1, 4), .CO=DF = 3, DO = EF=1,根據(jù)勾股定理得,CD = oCoD2=弋32+12 = 痂,CO=DF在 ACOD 和4DFE 中， / COD= / DFE = 90°,LDO = EF.-.CODADFE(SAS),Z EDF= ZDCO,又./DCO+/CDO=90； ./ CDE=180° 90 =90°,.CDXDE,OC與CD是對應(yīng)邊時，.DOCAPDC,.OC

26、OD 3 _ 1, DC= DP?即痂=DP，解得dp="£ o如解圖，過點P作PGLy軸于點G,. EFLy 軸，.DGPszXDFE,Vib.DG GP DP DG PG _3_ .DF= = DE，即 3 = 1 =痂,1解得 DG = 1, PG = W，當點P在點D的左邊時，OG = DG DO=1 1 = 0,點 Pi(-5, o),當點P在點D的右邊時，OG=DO + DG=1+1 = 2,點 P2( 3, -2);OC與DP是對應(yīng)邊時，,.DOCACDP,.QC DO 日衛(wèi)_，. DP- CD，即 DP-痂，第8題解圖解得DP = 3痂，如解圖，過點P作PG

27、，y軸于點G,-EF±y, .DGPs/XDFE,.DG PG DP DG PG 3 10"DF = EF = DE5 即可二彳二四解得 DG = 9, PG = 3,當點P在點D的左邊時，OG=DG OD=91 = 8,點P3的坐標是（一3, 8）,當點P在點D的右邊時，OG = OD + DG=1 + 9= 10,點P4的坐標是（3, 10）,11綜上所述，滿足條件的點P共有4個，其坐標分別為（ 3,。）、（3, 2）、（3, 8）、（3, 10）.9.如圖，拋物線y= x2+bx+ c經(jīng)過A（1, 0）, B（4, 0）兩點，與y軸相交于點C,連接BC.點P為拋物線上

28、一動點，過點P作x軸的垂線l,交直線BC于點G,交x軸于點 E.圖圖第9題圖（1）求拋物線的表達式;(2)當P在y軸右邊的拋物線上運動時，過點 C作CF，直線1,垂足為F.當點P運動到何處時，以P， C， F 為頂點的三角形與 OBC 相似？并求出此時點P 的坐標；(3)如圖，當點P在直線BC上方的拋物線上運動時，連接 PC, PB.請問4PBC的面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S,并求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由解：(1)由于拋物線y= x2+bx+ c經(jīng)過點A(1, 0)和B(4, 0),2.拋物線的表達式為 y= (x+ 1)(x 4)= x +3x+ 4;(2)對于拋

29、物線y= x2 + 3x+ 4,令 x= 0,貝 y=4,. C(0, 4),.B(4, 0),. OC=OB = 4,2設(shè) P 點的坐標為(t，t2 3t 4)，22貝UCF=t, PF = | t +3t+4 4|= |t +3t|,如果以P, C, F為頂點的三角形與AOBC相似，則CF = PF,即 t=| t2 + 3t|,當1= t2 + 3t 時，解得 ti = 0(舍去)，t2=2,22此時，一t +3t + 4= 2 +3X 2+4=6, .P的坐標為(2, 6);當一t= t2 + 3t 時，解得 t3 = 0(舍去)，t4=4,22此時，一t +3t + 4= 4 +3X

30、 4+4=0, .P的坐標為(4, 0). .P點的坐標為(2, 6)或(4, 0);(3) 4PBC的面積S能取得最大值.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+ m(kw0),代入點B(4, 0)和點4k + m= 0k=- 1C(0, 4)得：彳，解得S ,m=4m=4直線BC的解析式為y= x+4.設(shè)P點坐標為(n, n2+3n + 4),丁點G在直線BC上，- G(n, n+ 4),丁點P在直線BC上方拋物線上運動，. PG= n2+3n+4(n + 4)= n2+4n, S pbc = S pgc+ S pgb11-= 2PGOE + ?PGBE1 -= 'PGXOB2 /2,、，二

31、 ,X( n +4n)X4= -2(n-2)2+8,v-2<0, 0<n<4,當n=2時，$pbc有最大值為8,止匕時P點的坐標為(2, 6).類型六 坐標系中探究直線與圓的位置關(guān)系10.如圖,已知拋物線經(jīng)過 A (1,0), B (6,0),與y軸交于點C (0,-3),頂點為M.(1)求出拋物線的解析式及點 M的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上找一點 R,使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點 R的坐標；(3)以AB為直徑作。N交拋物線于點P(點P在對稱軸的左側(cè))，求證：直線MP是ON的切線.(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1k-6 ),第10題圖點C在拋物線上

32、,1 -3 =a(0 -1 <0 -6 ),解得 a =,2112 7-y =(x 1 (x 6 戶x + x3,22221 2 71( 725y= -x +-x3=一一 x - i + 222、 2 J 8 725頂點D的坐標為(-,-5)；2 8(2)解：如解圖，連接BC,與對稱軸相交于點R,連接AR,.B, A關(guān)于對稱軸對稱,BC的值即為CR+AR的最小值,A (1,0),B (6,0), C (0, -3),第10題解圖. CR+AR 的最小值為 BC = Job2 +OC2 = V62 +32 = 3v15 ,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b (k網(wǎng)),將 B (6,0)、C (0, -3)兩點代入 y=kx+b (k#0),6k+b=0Jb = 3，解得k4, b = 31直線BC的解析式為y=-x3,2- 272,b二.拋物線的對稱軸為直