數(shù)學(xué)分析求極限的方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求極限的方法具體方法利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來求極限定理1：若極限和都存在，則函數(shù)， 當(dāng)時(shí)也存在且 又若，則在時(shí)也存在，且有利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如、等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握飲因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。例1：求解：原式=用兩個(gè)重要的極限來求函數(shù)的極限利用來求極限的擴(kuò)展形為：令，當(dāng)或時(shí)，則有或例2： 解：令t=.則sinx=sin( t)=sint, 且當(dāng)時(shí) 故 例3：求解：原式=利用來求極限的另一種形式為.事實(shí)

2、上，令所以例4: 求的極限解：原式=利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。利用等價(jià)無窮小量代換來求極限所謂等價(jià)無窮小量即稱與是時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作定理2：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有 若則 若則證明：可類似證明，在此就不在詳細(xì)證明了！ 由該定理就可利用等價(jià)無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例5：求的極限解：由 而；（）；（）故有= 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有arctanx，(x).另注：在利用等價(jià)無

3、窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中，若因有tanx，而推出 = 則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 利迫斂性來求極限定理3：設(shè)f(x)= g(x)=A,且在某內(nèi)有f(x)h(x)g(x),則h(x)=A例6：求x的極限解：1x1-x. 且 由迫斂性知 x=1 做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個(gè)函數(shù)必須要收斂于同一個(gè)極限。利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括：如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則及若且f(u)在點(diǎn)a連續(xù)，則例7：求的極限解：由于及函數(shù)在處連續(xù)，

4、故=。利用洛比達(dá)法則求函數(shù)的極限在前面的敘述中，我們已經(jīng)提到了利用等價(jià)無窮小量來求函數(shù)的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮小（大）量的比較的求極限的方法。我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛比達(dá)法則。下面就給出不定式極限的求法。(1) 對(duì)于型不定式極限，可根據(jù)以下定理來求出函數(shù)的極限定理4：若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：=0。在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 =A。（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）則=A。注：此定理的證明可利用柯西中值定理，在此，筆者就不一一贅述了。例8：求解：容易檢驗(yàn)f(x)

5、=1+與g(x)=在的鄰域里滿足定理的條件和，又因= -故由洛比達(dá)法則求得，=在此類題目中，如果仍是型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限是否存在。當(dāng)然，這是和在的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。例9：求解：利用 （），則得原式=在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例，例10：求解：這是型不定式極限，可直接運(yùn)用洛比達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令當(dāng)時(shí)有，于是有=(2)型不定式極限若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計(jì)算出其極限。定理5：若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：=在點(diǎn)的某空心鄰域

6、內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且=A，（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）。則=A。此定理可用柯西中值定理來證明，在此，筆者就不一一贅述了。例11：求解：由定理4得，注1：若不存在，并不能說明不存在。注2：不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則來求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛比達(dá)法則的其它條件。下面這個(gè)簡單的極限 =1 雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達(dá)法則：=就會(huì)因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。(3)其它類型不定式極限不定式極限還有，等類型。這些類型經(jīng)過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。例12：求解：這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極

7、限，并用洛比達(dá)法則得到=例13：求解：這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=其指數(shù)部分的極限是型的不定式極限，可先求得=從而得=例14: 求（k為常數(shù)）解：這是一個(gè)型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，=然后得到 =（）當(dāng)=0時(shí)上面的結(jié)果仍成立。例15: 求解：這是一個(gè)型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限（型） =1于是有=利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對(duì)于求解某些函數(shù)的極限有簡化求解過程的作用。 例16：求解：本題可用洛比達(dá)法則來求解，但是運(yùn)算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子， （取n=4）cosx=1-+()=1-+cosx-=-()因而求得=利用微分中值定理和積分中值定理求極限例17：求的極限 解：由微分中值定理得， （介于與之間）原式=例18：求的極限解：由微分中值定理得， （介于與之間）原式=利用定積分求極限例19：求解：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形：不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)在區(qū)間上的一個(gè)積分和。（這里所取的是等分分割， （）， 所以當(dāng)然，也可把J看作 在上的定積分，同樣有總結(jié)以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選