全國(guó)高考圓錐曲線試題及解析

1、、選擇題全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編9:圓錐曲線.（2013年高考江西卷（理）過點(diǎn)（J2,0）引直線l與曲線=Ji +X2相交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)AAOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于A. y =EB BC CD 立3B3D.3.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純2WOR版）雙曲線 -y2 = 1的頂點(diǎn)到4其漸近線的距離等了A. 25B. 45P 2.5C. 5D. 土15.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WOR版）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3,0）,離心率等于 2,在雙曲線C的方程是A. 45=122匚1B. 452

2、XC.22匕二15.（2013年高考新課標(biāo)1 （理）已知雙曲線2C： X2a線方程為1A. y = x4b. y-1X3.（2013 年2C : yC2 :一二2 -sin -北卷（理sin2 - tan2 -A.實(shí)軸長(zhǎng)相等【答案】D=1的B.虛軸長(zhǎng)相等C.（2013年高考四川卷（理）拋物線D. 227 = 1（a 0,b0）的離心率為b2,則c的漸近2y =X2焦距相等d y=： x2X，則雙曲線g : 一2cos2 y =1 與-sin2 -D.離心率相等2y =4x的焦點(diǎn)到雙曲線2y 1 =1的漸近線的距離是39A. 1B. -3C. 1D. . 3【答案】B7 . （2013年普通高等

3、學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD）如圖,F1,F2是橢圓2Ci ：L + y2 =1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是Ci, C2在第二、四象PM的公共點(diǎn).若四邊形4AF1BF2為矩形，則C2的離心率是A. 2B. . 3C. 32【答案】D228 . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知雙曲線 與一與=1040）a b2的兩條漸近線與拋物線 y =2px（p 0）的準(zhǔn)線分別交于 A B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2, 4AOB勺面積為J3,則p =（）A. 1B. 3C. 2D. 32【答案】C 229 . （2013年普通高等學(xué)校招

4、生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué) （理）WOR版含答案（已校對(duì)）橢圓C :工十以=143的左、右頂點(diǎn)分別為 A,A2,點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是 -2,-1,那么直線PA,斜率的取值范圍是A.#1IL2410. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WOR版含答案（已校對(duì)）已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M （-2,2 ）,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若MAUMB = 0 ,則kA. 12B 2B.2c. .2D. 211. （2013年高考北京卷（理）若雙曲線b2=1的離心率為J3,則其漸近線方程為A. y=2xB. y=二.2xC.D. y . Wx212.

5、（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)(理)12y =x試題（含答案）已知拋物線C1:2p （p0）13.15.的焦點(diǎn)與雙曲線C2:行于C2的一條漸近線A. 162 x 2.不-、二13的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M .若C1在點(diǎn)M處的切線平，則p =B.823C.34.3D.3（2013年高考新課標(biāo)1 （理）已知橢圓交橢圓于A, B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為22A.二 E=145 3622x y .B136 27(2013C:y2方程為A. y2C. y222E.左L:21 2a b(1,1)，則= 1（a Ab 0）的右焦點(diǎn)為F（3,0），過點(diǎn)F的直線E的方程為x y .C.匚二

6、127 18D.2人182=19年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)（理）= 2px（p 0）的焦點(diǎn)為F ,點(diǎn)M在C上，|MF| = 5,若以=4x或=4x或（純MFWOR詼含答案）設(shè)拋物線為直徑的圓過點(diǎn)（0,2），則C的2y =8x2.一y = 16x【答案】C（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷22 cB. y =2x 或 y = 8x2_.2,-D. y =2x或 y =16x（含答案）已知A B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) M作直線2AB的垂線，垂足為N .若MN = ?AN NB ,其中九為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是A.圓B,橢圓C.拋物線D.雙曲線【答案】C2216. （20

7、13年普通局等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知圓G：（x-2） +（y-3） =1,-22圓C2：（x3） +（y 4） =9, M ,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn) 為*軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM|+|PN的最小值為（）A. 5,2 -4 B. ,17 -1C. 6-2,. 2D. ,17【答案】A二、填空題17. （2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純 WOR皈含附加題）雙曲線22匚匕=1的兩條漸近線的方程為 .1693【答案】y=_3x42218. （2013年高考江西卷（理）拋物線x2 =2py（p 0）的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線 上Z=1相交于33

8、A, B兩點(diǎn)，若AABF為等邊三角形，則P =【答案】6x2 y219. （2013年局考湖南卷（理）設(shè)后下2是雙曲線C :二今=1但0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)， a b若PF1 +|PF2 =6a,且APFiF2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為 .7r-20. （2013年高考上海卷（理）設(shè)AB是橢圓F的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且/CBA =，若AB=4, BC = & ,4則r的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 4.6321. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題償WOR版）已知直線y = a交拋物線y = x2于A, B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn) C,使得N ABC為直角，則a的取值

9、范圍為.【答案】1,二）22. （ 2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純 WOR版含附加題）拋物線2y =x在x =1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈 （包含三角形內(nèi)部與邊界）.若點(diǎn)P（x, y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x + 2y的取值范圍是 【答案】2,1一 2 一23. （2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純 WOR版含附加題）在平面直22角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3+22 = l（a 0,b 0）,右焦點(diǎn)為F ,右準(zhǔn)線為l ,短軸的一 a b個(gè)端點(diǎn)為B ,設(shè)原點(diǎn)到直線 BF的距離為d1, F至ij l的距離為d

10、2,若d2 = J6dl,則橢圓C的離心率為2224. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題償WOR版）橢圓： +當(dāng)=1（a b 0）a b的左.右焦點(diǎn)分別為F1,F2，焦距為2c,若直線y = J3（ x + c）與橢圓F的一個(gè)交點(diǎn)M滿足/MF1F2 =2/MF2Fi,則該橢圓的離心率等于 【答案】,3-122525. （2013年高考陜西卷（理）雙曲線 土-工=1的離心率為-，則m等于9.16 m4【答案】92226 .（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WOR版）已知橢圓C：與+ *=1（abA0）a b的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn)

11、，連接A F B ,F若一 一一 一 “一 4 一 一.、AB =10, AF =6,cos/ABF =，則 C 的離心率 e=527. （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 （含答案）拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是 【答案】x = -228. （2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純 WOR版含附加題）在平面直1角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A（a,a）,P是函數(shù)y = -（ x 0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P, A之間的最短距x離為2 ；2 ,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為 .【答案】1或出029. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)(理)試題(純 WOR版)設(shè)F為拋物

12、線C : y2 = 4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)P( 1,0)的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A,B ,點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若| FQ |= 2 ,則直線的 斜率等于.【答案】1三、解答題30. (2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 (含答案)本題共有2個(gè)小題，第1小題?黃分4分，第2小題滿分9 分.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1( -1, 0)、F2(1, 0),短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 B1、B2(1)若AF1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2 ,過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且FP _lFQ ,求直線l的方 程.解(1)(2)22【答案】解(1)設(shè)橢圓C的方程為 與+4

13、=1(a Ab A0). a b 一a = 2b 9 49 1根據(jù)題意知22,解得a2 =4, b2 =1a2-b2=13322故橢圓C的方程為人+L=1.41332(2)容易求得橢圓C的方程為 人十y2 =1.2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x =1,不符合題意；y =k(x-1)2x 2.萬7門當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y = k(x -1).得(2k2 1)x2 -4k2x 2(k2 -1)=0.設(shè) P(x1, y1), Q(x2, y2),則4k22(k2 -1) -x1 + x2 =2 x x2 =2, FP=(x +1, y1)，F(xiàn)Q =(x2+1,yz)2k 12k

14、1因?yàn)镋P _LFQ,，所以FF FQ =0,即2,(x11)(x21)y1y2=x1x2(x1x2) 1 k(x1-1)(x2-1)= (k2 1)x1x27k2-1)(x1x2) k2 17k2 -12k2 1解得k2 =1,即k = 77故直線l的方程為x + J7y 一1=0或*一，7-1=0.2231. (2013年高考四川卷(理)已知橢圓C： 22+4=1,(a Ab 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0), F2(1,0), a b 一 4 1且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(-,-).3 3(I)求橢圓C的離心率；(n )設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且

15、2|AQ|2|AM |2 | AN |2求點(diǎn)Q的軌跡方程解：2a = PFiPF2511所以，a又由已知，c =1,所以橢圓C的離心率2.22(11)由(1)知橢圓C的方程為 亍+y2=1.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y). 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1黑(0,-1 )兩點(diǎn)，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為1 0,2 - |(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y = kx + 2.因?yàn)镸,N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2)，則 222222 222 222AM| =(1+k2)x12, AN =(1 + k2)x22.又 AQ| = x2+(

16、y 2)= (1 +k2)x2.,211/口由2- =2- +2 ,得AQ AM AN1 k2 x2 - 1 k2 x121 k2 x22，即2x12- 2x1x222x x22x 2將丫=4+2代入一 + y =1中，得22k2 1 x2 8kx 6 = 0.-2_ 2_23由色=8k _4父 2k2 +1 產(chǎn)60,得 k2 32由可知x1x2 =8k2, x1x2 = 2,2k2 1 2k2 1代入中并化簡(jiǎn)，得x2182-10k -3因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線丫=卜*+2上，所以女y - 2，一 r/八一2八24 y，代入中并化簡(jiǎn)，得10(y2) 3x2=18.x2323,6由及k 一，可知0x 1,

17、進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“c 1C2型點(diǎn)”；221 求證：圓X2 +y2 =內(nèi)的點(diǎn)都不是“C 1-C2型點(diǎn)”._ _ 5【答案】：（1）C 1的左焦點(diǎn)為 F（4,0），過F的直線x=J3與G交于（北,匚），與。交于2（一百，土（J3 + 1），故。的左焦點(diǎn)為“c 1-C2型點(diǎn)”，且直線可以為x = -J3；（2）直線y = kx與C2有交點(diǎn)，則y = kx，、一則必須| k | . 1；y 二(|k|1)|x|=1,若方程組有解|y|=|x| 1直線y = kx與C2有交點(diǎn)，則y = kx22 ，一 21 ,=(1-2k2)x2 =2,若方程組有解，則必須k2 -x2-2y2=22故直線y=kx至多與

18、曲線 G和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“c 1-C2型點(diǎn)”.1（3）顯然過圓x2 +y2 =內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線。有交點(diǎn)，則斜率必存在； 2根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)（t,t + 1）（t之0）,則l : y = (t 1) = k(x -t) = kx - y (1 t - kt) =0直線l與圓x2+y2=1內(nèi)部有交點(diǎn)，故里WUc22、k2 121 o化簡(jiǎn)得,(1+t -tk) 2(k2 -1).由得，2(k2 -1) (1 t -tk)2 ：J(k2 1)= k2 1-(k +1)1,即式不成立；221當(dāng)k =一時(shí)，式也不成立21 綜上，直線l若與圓x2 +

19、y2 =內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線 O和O有交點(diǎn)，2一 O 1即圓x2 +y2 =內(nèi)的點(diǎn)都不是“C 1-C2型點(diǎn)”.234. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)(理)試題(純WOR版)如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段 OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為 A,A2,.Ag 和 B1,B2,.B9,連結(jié) OBi,過 A做 x 軸的垂線與 OBi 交于點(diǎn) P(i w N ,1 i 9).(1)求證：點(diǎn)P(i W N ,1 i 9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點(diǎn)C做直線與拋物線 E交于不同的兩點(diǎn) M ,

20、N ,若AOCM與AOCN的面積比為4:1,求直線的 方程.【答案】解：(I)依題意，過AiON ,1 Wi W9)且與x軸垂直的直線方程為 x = i; Bi(10,i),二直線OBi的方程為丫=吊x /日1 22 c設(shè)P坐標(biāo)為(x, y),由 i得：y = x ,即x =10y,v x1010*二R(i UN ,1 0,直線與拋物線 E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) M , N“x1 x2 = 10k設(shè)：M (xi,yi)N(x2,y2),則 i x1 x2 - -100SOCM =4S#CN , x1 4 x2義.x1 x2 ： 0, x1 - -4x2i y = kx 103分別帶入r 9，解得k

21、 = x2 =10y23直線的萬程為 y = ,x+10，即 3x2y+20 = 0或3x+2y 20 = 0235. (2013年局考湖南卷(理)過拋物線E :x =2py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為 1水2的兩條不同的直線112，且k +k2 =2, 11與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為 1 .(I)若k1A0,k2 A0,證明；FMVFN b 0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2 : x2+y2 = 4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相 b垂直的兩條直線，其中11交圓C2于兩點(diǎn)，12交橢圓C1于另一點(diǎn)D(1)求橢

22、圓C1的方程；(2) 求AABD面積取最大值時(shí)直線11的方程.2 X 9 【答案】解：(I)由已知得到 b=1,且2a=4-a=2,所以橢圓的方程是 十y2=1；4(n)因?yàn)橹本€li _l 12 ,且都過點(diǎn)P(0, -1),所以設(shè)直線li : y= kx-1 = kx y1 卻直線112 : y = x -1 = x+ky+k 所以圓心（0, 0）到直線 11：y=kx 1= kxy1 = 0 的距離為 k12222 3 4k2d =-,所以直線I1被圓x + y =4所截的弦AB = 2。4 d =,;,1k2、1 k2x ky k = 0由 x2 o = k2x2 +4x2 +8kx =

23、0,所以+ y2 =1、48kxd xp 二k 4DP 1= J（114）W. k （k 4）8. k2 1k2 4,所以1= _|AB|DP 21 2.3 4k2 8 . k2 11二 一一 22、,1 k2k 48.4k2 34 8.4k2 32二 2k 4 4k 3 13232:32_ 32一二16 萬4k 313 、.4?/=3= 2 13 13,4k2 3 ，4k2 34k2 3當(dāng)“k2 +3 = , 13 u k2 = 5= k = 叵時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l1 : y = 0x 1,4k2 322237. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)(理)試題(含答案)如題(21)

24、圖，橢圓的中心為原點(diǎn) O,長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e =，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于 A, A兩點(diǎn)，| AA = 4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P,過P, P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.若PQ .L PQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程題(21)圖【解析】（）由題意知點(diǎn)月（一32）在楠園必則Y ） 2-t 2 47 = 1.從而 + = J。- g 由 =/ T4 力= 8 , 2 I 行., b1jc- y2從而/ =7=16.故遵捕例的標(biāo)準(zhǔn)方程為一 + 2_ = L1-16 S（II ）由捅閥胡對(duì)稱性，可設(shè)0（%0）,乂設(shè)M（，j）是楠

25、回上任.意 一點(diǎn).則/ Q|QA/ =（l_/+/=/_乜工斗4+8二：（i2/r：十 8 （工 4T 4 L設(shè)尸由題意，是橢網(wǎng)上到0的跖離及小的止。因此,上式當(dāng)工=耳時(shí) 取最小11,又因hw（-4,4）,所以上式當(dāng)主=2%時(shí)取最小值，從而=2%,且 的wy.因?yàn)槭?,產(chǎn)Q,且產(chǎn)（彳所以聲歹=（$一知認(rèn)（對(duì)一如一%）二0.1/r2即（陽一小1一尸：=0-由橢圓方程及玉=2/得彳M8； I-今=0,解得巧二土天吟二土從而例，=8- =（ ?JJ故這桿的刈有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為22x y WOR版）設(shè)橢圓E：=十上至=1的a 1 -a38. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題

26、（純焦點(diǎn)在x軸上（I）若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程；（n）設(shè)Fi,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸與點(diǎn)Q,并且FiP _L F1Q ,證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)p在某定直線上oooo oo 5【答案】解：(i)：a 1a,2c =1,a =1-a +c = a =,橢圓萬程為: 8(n )設(shè) Fi(_c,0),F2(c,0),P(x, y),Q(0,m),則 F2 P = (x-c, y),QFz = (c,-m).由 1 -a2 .0= a . (0,1)= x (0,1), y (0,1).m(c - x) = ycc(x+ c) + my = 0

27、2二(x -c)(x c)= y 二= c2.聯(lián)立2x-2a2x2a解得2cF1P = (x +c, y), F1Q = (c, m)由F? P/QF2, F1P _L F1Q得:22x = (y -1) . x (0,1), y (0,1). x =1 - y2x22y2.12222 - Jx -y 1 1-x y所以動(dòng)點(diǎn)P過定直線x+y-1=0.(x+1)2+y2 =1,圓 N ： (x 1)2 +y2 =9,動(dòng)圓 P與 M 外切39. (2013年高考新課標(biāo)1 (理)已知圓M并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C.(I )求C的方程；(n) l是與圓P ,圓M都相切的一條直線,l與曲線C

28、交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.【答案】由已知得圓 M的圓心為M (-1,0),半徑r1 =1，圓N的圓心為N(1,0),半彳至r2=3. 設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x, y),半徑為R.(I) .圓 P 與圓 M 外切且與圓 N 內(nèi)切，|PM|+|PN|= (R + r1)十(r2 R) = r1+r2=4,由橢圓的定義可知，曲線C是以M,N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為 J3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),22其方程為x y =1(x = -2).43(n)對(duì)于曲線 C 上任意一點(diǎn) P(X,y),由于 |PM|-|PN|= 2R 2w2,，RW 2,當(dāng)且僅當(dāng)圓 P的圓心為(2,0)時(shí)

29、,R=2.當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x2)2+y2 = 4,當(dāng)l的傾斜角為900時(shí)，則l與y軸重合，可得|AB|= 2v3.當(dāng)l的傾斜角不為 900時(shí)，由ri wr知l不平行x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為 Q,則|QP | =,可求得 |QM | r1Q(-4,0), .設(shè) l : y = k(x + 4)，由 l 于圓 M 相切得!3k | =i，解得 k =Y2. 1k2- 4.22-x2y2_2 一 一 一當(dāng)k =時(shí)，將y = Jx +J2代入 一 +=1(x=2)并整理得7x2+8x 8 = 0 ,解得 4443x1,2 =二4 二 6_27, |AB|= Ji +k2 |x1 -x2

30、| = 18當(dāng)k =- UN時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|= 18 ,綜上,|AB|= 18或 |AB|= 273. 7 2240. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）設(shè)橢圓3+I2=i（aAb0）的左a b焦點(diǎn)為F,離心率為 暫，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為4m.（I ）求橢圓的方程；（n）設(shè)A B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為 k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn).若一 K , T不，AC DB +AD CB =8 ,求 k 的值.【答案】xy3141. (2013年局考江西卷(理)如圖，橢圓C：-y +7=1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)P(1,),離心率

31、e=一,直線l的方 a2 b222程為x=4.(1)求橢圓C的方程；(2) AB是經(jīng)過右焦點(diǎn) F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA, PB, PM的斜率分別為k1,k2,k3.問：是否存在常數(shù) 九，使得匕+卜2 =區(qū)3.?若存在求九的值；若不存在，說明理由則直線R4的斜率為；# J.*7”,直線”的斜率為：=2乂-32(“jT)* 2(/-I)所以=用含冷冷守附故存在常數(shù)Z = 2符合題意.319【答案】解：(1)由P(1,)在橢圓上得，)+=12a2 4b2依題設(shè)知a =2c,則b2 =3c2代入解得c2 =1,a2 =4,b2 =3.22故橢圓C的方程為土+L=1

32、43(2)方法一：由題意可設(shè) AB的斜率為k,則直線AB的方程為y = k(x1)d222222代入橢圓方程3x +4y =12并整理，得(4k +3)x 8kx+4(k -3) = 0,設(shè) A(Xi,yi), B(x2,y2),則有228k4(k -3)x x? =2, x1x2 =24k2 3 4k2 3在方程中令x=4得，M的坐標(biāo)為(4,3k).3k-3從而k1二x1 -1x2 T及二4 -1二k2注意到A, F , B共線，則有k = kAF = kBF ,即有y1= y2= k .x1 7x2 733所以 k1k222 =yy (- -)x _1 x2 7x _1x2 T 2 x1x

33、2 -2= 2k-3x1 x2 -22 x1 x2 - (xx2) 1一一一3代入得k1 k2 -2k -22-22 4k2 32.2k.1,4(k2-3) 8k24k2 3 - 4k2 3.1 ，一一又k3 =k ,所以ki +k2 =2k3.故存在常數(shù) 九=2符合題意.2方法二：設(shè)B(xo,yo)(xo =1),則直線FB的方程為：y =0-(x1),Xo -1令x = 4，求得M (4,當(dāng)-), xo -1從而直線PM的斜率為k3 =2y0 -x0 +1 2(xo -1)y = -y-(x-1)聯(lián)立，得 A(5x二8,3),x2 y22xo -5 2xo -5J =143則直線PA的斜率

34、為：k1 =2y0-2x0+5，直線pb的斜率為：k2二2yT2( xo -1)2(xo-1)所以k1k22yo-2x0 5 2y0 -3 _2yx。12(xo -1)2(xo -1) - xo -1故存在常數(shù) 九=2符合題意.42. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)(理)卷(純WOR版)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，3.2 其焦點(diǎn)F (0,c)(c 0)到直線l ： x-y-2 =0的距離為 己一.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB，其中A,B為切點(diǎn).(I)求拋物線C的方程；(n )當(dāng)點(diǎn)P(%, y0 )為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;(m)當(dāng)點(diǎn)P在直線

35、l上移動(dòng)時(shí)，求AF BF的最小值._ _ _ _ .、一 c0 c2【答案】(I)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy,由一產(chǎn)一=壬結(jié)合CA0,解得c = 1.,22所以拋物線C的方程為x2 =4y.21 21(n )拋物線C的方程為x =4丫，即丫 = 一x,求導(dǎo)得y = x 4222xx設(shè)A(K,y1 ), B x2,y2 (其中y1 =L,y2 =3),則切線pa,pb的斜率分別為442Xi,X2,2所以切線PA的方程為y _ y1 =(x ),即y =x _2十y1,即x1x _2y _2y1 = 0 222同理可得切線 PB的方程為x2x-2y_2y2=0因?yàn)榍芯€ PA, PB 均

36、過點(diǎn) P(x0, y0 )，所以 xx0 2y0 2y1 =0 , x2x0 2y0 2y2 =0所以(x1, y1 )(x2, y2 )為方程xx2y 2y = 0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x2y 2y0 =0 .(出)由拋物線定義可知 AF =y1+1, BF =y2+1,所以 AF BF|=(y1+1/丫2+1 )=y1y2+(y1+丫2)+1xx2y2 y0=02222，消去 x 整理得 y +(2y0x0 )y + y0 =0x =4y2_2由一兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2=x0-2y0,y1y2= y0所以 AF，BF = y1y2+(y1+y2 )+1 =y02+

37、%2 2y0+1又點(diǎn)P(xO, y )在直線l上，所以x0 = y0 +2 ,2 .2.2.- 1 )所以 y0 +x _2y0+1=2y +2y+5= 2. y+ 一 I 2)BF取得最小值，且最小值為9 .21 ,1所以當(dāng)y0=1時(shí)，AF243. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)(理)(純WOR版含答案)平面直角坐標(biāo)系xOy22中，過橢圓M :與+鄉(xiāng)=1(ab0)的右焦點(diǎn)F作直x+y73=0交M于A,B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)， a b且OP的斜率為1.2(I)求M的方程；(n) C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的對(duì)角線CD_LAB,求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】

38、(E )及用片學(xué)，勇。網(wǎng)，)則由此可解因?yàn)?必+以= 2%*8工，所以。，=2t, +又由題意如，時(shí)的右焦點(diǎn)為(71。)，故/一爐=工因此爐*，所以M的方程為Ui. o JA + y-= 0, (IE由3尸 解得，4 75X .3 或，5 Iy*由)意砥設(shè)百線CD的方程為尸*(Wn ),過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1, C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A, B , C , D .記？= m , ABDM和&ABN的面積分別為S1和S2. n(I)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S = 7-S2，求的值；(II)當(dāng)兒變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l ,使得S1 =號(hào)?并說明理由.第21題

39、圖【答案】解：(I) S1 = 1 S2 - m n = 1 m - nm ,1 nm -1 n解得：九=J2 +1(舍去小于i的根)2(II)設(shè)橢圓C1:與 a2 x =1 a m , C2:a+ 冬=1,直線 l : ky = x nky = x22x y=122a m22. 2a m k 2 一2- y =1二 a m_ amyA=_a2m2k2同理可得，yBan、a2 n2k2又丁 ABDM 和AABN的的高相等S1 .S2BD Vb - NdNbNaAB Na 7bNa - yB如果存在非零實(shí)數(shù)k使得 & =62,則有(九1 )yA =5+1 )yB ,即:-2 -122 2, 2a

40、 n k,解得k2.234n ,35I ；當(dāng)1 九W1 + J2時(shí)，k2 w 0,不存在這1的直線l .二當(dāng)九1 + J2時(shí)，k2 0,存在這樣的直線2x 245. (2013年局考北東卷(理)已知 A B、C是橢圓 W + y2 = 1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(I)當(dāng)點(diǎn)B是 W勺右頂點(diǎn)，且四邊形OAB菱形時(shí)，求此菱形的面積；(II)當(dāng)點(diǎn)B不是 W勺頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形 OAB%否可能為菱形，并說明理由2【答案】解：(1)橢圓w 2+ y2=1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗倪呅蜲ABa菱形，所以AC與OB41o、3相互垂直平分.所以可設(shè)A(1, m ),代入橢圓萬程得 一+ m2 = 1,即m = 宮一.所以菱形OABC勺面421 1_積是一|OB | | AC| = - 2 2|m|=3.2 2(II)假設(shè)四邊形 OAB8菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是 W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y = kx m(k = 0,m = 0).1x2 4v2 = 4 , 一 一由 v 消去y并整理得 y = kx m.2 、 22一(1 4k )x 8kmx 4m -4 = 0.設(shè) A(x1,y1)，C(x2, y2),則 x1 +x224 km1