立體幾何典型例題精選(含答案)

1、.下載可編輯立體幾何專題復(fù)習(xí)熱點(diǎn)一：直線與平面所成的角例1.(2014,廣二模理18)如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EF/.3.平面ABCD,EF1,FBFC,BFC90,AE(1)求證：AB平面BCF;(2)求直線AE與平面BDE所成角的正切值.變式1:(2013湖北8校聯(lián)考)如左圖，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB2,DC1,BCO,ACnBD=O,四邊形ACCA和四邊形BDDB均為矩形.(1)證明：OOL底面ABCD(2)若/CBA=60。，求二面角C-OB-D的余弦值.3. 2014江西19如圖1-6,四棱錐P-ABC珅,ABC時(shí)矩形，平面PAD

2、L平面ABCD(1)求證：ABLPD(2)若ZBPC=90,PB=，2,PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面bpc-.33在ABE ABG4利用余弦定理分別可得 cosZ BAE= 5-7, BG= 2. 143在 BFG中，cos / BFG=gF+bFbG2BF-GF,3I.13分一一兀 .一所以，/ BFG=,即二面角B - 兀AD - E的大小是.方法二：以D為原點(diǎn)，分別以射線DE, DC為x, y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系 D - xyz ,如圖所示.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：以0 ,0,0) ,E(1,0,0) ,Q0,2, 0) ,A(0, 2,也

3、)，B(1,設(shè)平面 ADE勺法向量為 m (x1, y1, Z1),平面 ABD勺法向量為 可算得 AD= (0, 2,木),AE= (1 , 2, g, DB= (111分14分1,0).n=(x2, y2, Z2).1,0).mr AD= 0,由 一mr AE= 0,n - Ab= 0, 由n , DBB= 0,-2y1 y 2z1 = 0,即N , 可取m (0 , 1,曲.Xi 2yi y2zi = 0,即-2y2-V2z2 = 0, 可取 n=(i, i,/).X2 + y2= 0,9分11分于是 |cos rq| m n|3Jim - I n| 一/X2 2 .13分由題意可知，所

4、求二面角是銳角，故二面角B-AD-E的大小是14分變式4:（2014全國(guó)卷）19.解：方法一：（1）證明：因?yàn)锳QL平面ABCA1D?平面AAGC,故平面，平面ABC又BCLAC所以BCL平面AACC.2分連接AC,因?yàn)閭?cè)面AACC為菱形，故AGXAC由三垂線定理得ACLAB4分（注意：這個(gè)定理我們不能用）（2）BCL平面AACC,BC?平面BCCB,故平面AACC平面BCCB.作AE,CC,E為垂足，則AE,平面BCCB.6分又直線AA/平面BCCB,因而AE為直線AA與平面BCCB的距離，即AE=3/3.因?yàn)锳C為/ACC的平分線，所以AD=AE=木.8分作DUABF為垂足，連接AF.由三

5、垂線定理得AFLAB故/AFD為二面角A-AB-C的平面角.10分由AD=AA2A1D=1,得D為AC中點(diǎn),DF=乎,AQtan/AFD=DF=15,12分,1所以cos/AFA4.13分所以二面角A-AB-C的大小為arccos1.14分4方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.由題設(shè)知AD與z軸平行，z軸在平面AAGC內(nèi).證明：設(shè)A(a,0,c).由題設(shè)有aAA=(a4,0,c),c).由|AA|=2,得7(a2)2+c2=2,即a24a+c2=0.又ACBA=a24a+c2=0,所以AGA1B.4分(2)設(shè)平面BCCBi

6、的法向量mr(x,y,z),則mCBmLEBB1,即mrCB=0,m-BB=0.因?yàn)镃B=(0,1,0),Bb=AA=(a2,0,c),所以y=0且(a2)x+cz=0.令x=c,則z=2a,所以mi=(c,0,2-a),故點(diǎn)A到平面BCCB的距離為品-ACA-m2c八|CA.|cosm,CA|=-=f22=c.6分|m#+(2a)又依題設(shè)，A到平面BCCBi的距離為所以c=，3,代入，解得a=3(舍去)或a=1,于是AA=(1,0,木).8分設(shè)平面ABA的法向量n=(p,q,r),則n1AA,nAB即n-AA=0,n-AB=0,p+/3,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為o(0,0,0),c(10,5/3),

7、B(0,-73,0),A(0,-V3,28),建立空間直角坐標(biāo)系如圖0,0),M(0,ruuu一(1)設(shè)n(x,y,z)是平面MBC勺法向量，則BC=(1,J3,0)uuuu_BM(0-3,、.3)uuurBC得xJ3y0；由nuuuuBM、.3y、3zuuu-1,1),BA(0,0,2V3),則距離uurrBAnrn2155MBDOyCuuuuCM(1,0,uuuCA(1,3,2,3).ur設(shè)平面ACM的法向量為n1(x,y,z),由irn1irn1uuurCMuuu得CA.3z、3y023zyz,取1r(J3,1,1).又平面BCD勺法向量為(0,0,1)，則cosurrn1，n.解得0u

8、rrn1urn1設(shè)所求二面角為，則sin12分變式5:解析：由于BCM是梯形，則MK與CB相交于E.A、E確定的直線為ml過(guò)C作CFLm于F,連結(jié)MF因?yàn)镸CL平面ABCDCFm,故M口m./MFC二面角Mkm-C的平面角.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則3113CMa,BKa.在ecm,由BK/CMM彳#EB-a,CF-a,故tanMFC442、5西.因4此所求角的余弦值為 cos MFC4 .2121變式6:解析：平面ABCEJ平面ABC1D1，平面AB1c與平面A1B1c1D1的交線m為過(guò)點(diǎn)81且平行于AC的直線.直線m就是二平面AB。與AiBiCiDi所成二面角的棱.又平面ABiC與平面AA1，平

9、面AiBiCiDi,過(guò)Ai作AHUm于H,連結(jié)AH.則AHA1為二面角AmAi的平面角.可求得tanAHAi.高考試題精選1. （2014四川卷）解：(1)如圖所示，取BD的中點(diǎn)Q連接AQCO由側(cè)視圖及俯視圖知，ABDBCM正三角形,所以AOLBD,OCLBD因?yàn)锳QOC平面AOC且ACTOC=Q所以BD1平面ACC又因?yàn)锳C?平面ACC所以BDLAC取BC的中點(diǎn)H,連接NHPH又MN,H分別為線段AQABBC的中點(diǎn)，所以MIN/BDNH/AQ因?yàn)锳CLBD所以NHLBD因?yàn)镸NLNP所以NPLBD因?yàn)镹HNP?平面NHP且NMNP=N,所以BDL平面NHP又因?yàn)镠P?平面NHP所以BDLHP

10、又OCLBDHP?平面BCDOC?平面BCD所以HP/OC因?yàn)镠為BO勺中點(diǎn)，所以P為BC的中點(diǎn).5分(2)方法一：如圖所示，作NQLAC于Q,連接MQ由(1)知，NP/AC所以NQLNP因?yàn)镸NLNP所以/MN二面角A-NP-M的一個(gè)平面角.由(1)知，ABDBCD邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以AOOC=43.由俯視圖可知，ACL平面BCD因?yàn)镺C?平面BCD所以AdOC因此在等腰直角AOC3,AC=乖.作BFRLAC于R因?yàn)樵贏BO,AB=BC所以R為AC的中點(diǎn),所以BR=aW_Ac=2.因?yàn)樵谄矫鍭BCrt,NQLAGBMAO所以NQ/BR又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以Q為AR的中點(diǎn),BR10所以

11、NQ=y=.同理，可得MQ= -0故MNQ;等腰三角形,所以在等腰 MNQKcos / MNRMN BD萬(wàn)彳 101 1 *NQ NQ 5 -13分故二面角A - NP-M的余弦值是14分方法二：由俯視圖及(1)可知，AOL平面BCD因?yàn)镺C O日平面BCD所以又OCL OB所以直線OA OBAOL OC AOL OBOC兩兩垂直.如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OB OC OA勺方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz.則 A(0 , 0,用,B(1 , 0, 0) , C(0,依 0), D-1, 0, 0).因?yàn)镸, N分別為線段 AD AB的中點(diǎn)，又由(1)知，P

12、為線段BC的中點(diǎn)， .1所以M-20,BAB= (1 ,0,-V3), BC=(-1,小0)MN= (10), NP= 0,乎3 2設(shè)平面ABC勺一個(gè)法向量 m = (X1,y1,Z1)，nA旦m - AB= 0由得nBC m - BC= 0(x1, y1, z1) - 即(xi, y1, z。 -0,從而X1-V3Z1= 0,X1+ 3y1= 0.取 zi=1,則 X1=q3, y1= 1,所以=(43, 1設(shè)平面MNP勺一個(gè)法向量n2= (x2y2Z2),由,n2MN n2NP,n2 MN= 0n2 - NP= 0(X2(X2y2= 1, X2= 0,所以y2y20,0,3-20)=03

13、一2從而 =0,X2= 0 ,33士-y2 十2= 0.22n2=(0, 1,1).11分設(shè)二面角A -np- m的大小為 e ,貝 U cos 0 = .| m| | n2|1,1) ( 0, 1, 1)V5x也10八.,13分5故二面角aNP-M的余弦值是T014分AOC= 1OB = 7.3r2. (2014湖南卷)解：如圖（a）,因?yàn)樗倪呅蜛CCA為矩形，所以CC，AC同理DDLBD因?yàn)镃C/DD,所以CCLBD而ASBD=Q因此CC，底面ABCD由題設(shè)知，OO/GC.故OO,底面ABCD4分（2）方法一：如圖（a）,過(guò)O作OH，OB于H,連接HC.由知，OOL底面ABCD所以O(shè)O,底

14、面A1BGD,于是OOLAG.又因?yàn)樗睦庵鵄BCDABOD的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此AGXBiD,從而AC，平面BDEBi,所以A1COB,于是OB，平面OHG進(jìn)而OB，CH故/CHO是二面角C-OD的平面角.不妨設(shè)AB=2.因?yàn)?CBA=60,所以O(shè)B=小,一，OO-OB而OG=1,于是 GH= OC2+OH = 1/1+519故 cos/CHO = 0H= 2 CH3Bi192 5719 .即二面角C- OB D的余弦值為2部.方法二：因?yàn)樗睦庵?ABCD ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD1菱形，因此ACL BD又OOL底面ABCD從而OB OC OO兩兩

15、垂直.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB OC OO所在直線分別為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,不妨設(shè) AB= 2.因?yàn)? CBA= 60 ,所以 OB=小于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為Q0, 0, 0） , B（、/3, 0OC= 1,2), C(0,1, 2).易知，m=（01 1, 0）是平面BDDB的一個(gè)法向量.設(shè) n2=(x, V，z）是平面OBC的一個(gè)法向量，則n2 OB= 0取z =-4, 設(shè)二面角C-n2 , OC= 0, 則 x=2, y=243,所以亮=(2, 2木,一木).即 *x+2z = 0，y+2z= 0.cos 0 = |cos故二面角C-OB，OB-d的大小為e

16、 ,易知e是銳角，于是_ n1 n22 3 2 157尸=4= 19.D的余弦值為21957.在RtOOB中，易知OH=0=2OB3. （2014江西卷）19.解：（1）證明：因?yàn)锳BCD；矩形，所以ABLAD又平面PAD_平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB,平面PAD故ABPD（2）過(guò)P作AD的垂線，垂足為Q過(guò)O作BC的垂線，垂足為G連接PG故POL平面ABCDBCL平面POGBCPG2_22_JRr-m2,故四棱錐P- ABCD勺體設(shè) AB= m| 則 OP= PG O仕RtABPLH4,PG=3,G浣3,BG=3.積為V=3*小，mryj3-m=8-6m2.因?yàn)?m)8 61m =吊8m2 61