立體幾何專題有答案

1、立體幾何答案翰林學(xué)校宗克志26.12012高考遼寧理18(本小題滿分12分）如圖，直三棱柱 ABC A/B/C/ , BAC 900,AB AC AA/,點(diǎn)M,N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。(I )證明：MN /平面 A/ACC/；(n)若二面角A/ MN C為直二面角，求的值。【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計(jì)算， 考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，是容易題.【解析】(1)連結(jié)AB',AC',由已知 BAC =90 ,AB = AC三棱柱ABC-ABC '為直三棱柱，所以M為AB'中點(diǎn).又因?yàn)镹為BC'中點(diǎn)所以MN AC',又M

2、N 平面AACC'AC'平面AACC',因此MN /平面AACC '6分(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線 AB,AC,AA'為x軸，y軸，z 軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz ,如圖所示設(shè) AA'=1,則 AB=AC=,于是A 0,0,0 ,B ,0,0 ,C 0, ,0 ,A' 0,0,1 ,B' ,0,1 ,C' 0, ,1 ,1 、 1r所以 M ,0, ,N , ,1 ,設(shè) m= x1,y1,z1 是平面 AMN 的2 22 2法向量，ur uuuurmgA'M =0, 由 ur uuuumgMN =0r設(shè)口=

3、乂2,丫2,41 c 二 x1- 4=0 22,1八 _ y + _ 乙=0 22ur m= 1,-1,是平面MNC的法向量,r uuur由 ngNC=0由 r uuuu 信ngMN =0-2 x2+ 2 y2-Z2=01 八 -y2+-z2=022r n= -3,-1,因?yàn)锳'-MN-C為直二面角，所以u(píng)r rmgi=0,即-3+ -1-12=0,解得=J212分借助空間直角坐標(biāo)系求平【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、也可通過(guò)面面平行運(yùn)算求解能力，難度適中。第一小題可以通過(guò)線線平

4、行來(lái)證明線面平行,來(lái)證明。27.12012高考湖北理19(本小題滿分12分)如圖1,ACB45°,BC3,過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作ADBC,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿八口將ABD折起，使BDC900(如圖2所示).(I)當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大；(n)當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得ENBM,并求EN與平面BMN所成角的大小.圖2第19題圖【答案】(I)解法1:在如圖1所示的ABC中，設(shè)BDx(0x3),則CD3x.由ADBC,ACB45°知，ADC為等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起

5、前ADBC知，折起后(如圖2),ADDC,ADBD,且BDIDCD,所以AD 平面BCD .又11Va BCD11、1AD S bcd (3 x) x(333231 2x (3 x) (3 x) 21x) 2x(3 x)(312x)BDC90°,所以Sbcd-BDCDx(3x),于是221233當(dāng)且僅當(dāng)2x3x,即x1時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)x1,即BD1時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大.解法2:同解法1 ,得Va bcd1-11132-ADSBCD-(3x)-x(3x)(x6x9x).3326令 f (x) 1(x36216x9x)，由f(x)2(x1)(x3)°，且0x3,解得x

6、1當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0;當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值.故當(dāng)BD1時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大.(n)解法1：以D為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由(I)知，當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí)，BD1,ADCD2.于是可得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(-,1,0),2UULUl且BM(1,1,1).LUIT1uuruuuu設(shè)N(0,0),則EN(-,1,0).因?yàn)镋NBM等價(jià)于ENBM0,即2(2,所以當(dāng)1DN 2 （即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí),EN BM .設(shè)平面BM

7、N的一個(gè)法向量為n （x,y,z）,由nnuur BN, ULUU BM ,LUIT 及BN1(1q,。)，2x,可取 n (1,2, 1). x.設(shè)EN與平面BMN所成角的大小為UJIT，則由ENJ0），n (1,2, 1),可得sincos(90°UJT n EN LJJT |n| |EN |2 1I60°.MBEx圖azAC yAMC.NE第19題解答圖故EN與平面BMN所成角的大小為60°.解法2:由（I）知，當(dāng)三棱錐 A BCD的體積最大時(shí)， BD 1, AD CD 2.如圖b,取CD的中點(diǎn)F ,連結(jié)MF , BF , EF ,則MF / AD .由（I

8、 ）知 AD 平面BCD ,所以MF 平面BCD .如圖c,延長(zhǎng)FE至P點(diǎn)使得FP DB ,連BP , DP ,則四邊形DBPF為正方形,所以DP BF .取DF的中點(diǎn)N ,連結(jié)EN ,又E為FP的中點(diǎn)，則 EN / DP,所以EN BF .因?yàn)镸F 平面BCD，又EN 面BCD ,所以MF EN .又MF I BF F ,所以EN 面BMF .又BM 面BMF ,所以EN BM .因?yàn)镋N BM當(dāng)且僅當(dāng)EN BF ,而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn) N是唯一的.1即當(dāng)DN 一（即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)），EN BM .2連接MNME ,由計(jì)算得NB NM EB EM21,111,0)(1,1

9、,1)一10,故一，N(0,-,0).222所以NMB與EMB是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取BM的中點(diǎn)G,連接EG,NG,則BM平面EGN.在平面EGN中，過(guò)點(diǎn)E作EHGN于H,則EH平面BMN.故ENH是EN與平面BMN所成的角.在EGN中，易得EGGNNEY2,所以EGN是正三角形，2故ENH60°,即EN與平面BMN所成角的大小為60o.31.12012高考福建理18】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABiCD中AA=AD=1,E為CD中點(diǎn).(I)求證：B1E±AD1;(n)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)巳使得DP/平面B1AR若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)

10、；若不存在，說(shuō)明理由.(出)若二面角 A-BiEA的大小為30° ,求AB的長(zhǎng).【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角的概念與求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解答：(I)長(zhǎng)方體ABCDAB1clD1中，AA1AD1得：AD1ad,adAB,ADIA1B1A1AD面ABCDB1E面ABQDB1EAD1(n)取AA的中點(diǎn)為P,AB1中點(diǎn)為Q,連接PQPQ/2DEPD / /QE PD /B1E于點(diǎn)H ,連接AH-11在AA1B1中，PQ/-A1B1,DE/-A1B122面B1

11、AE,11此時(shí)APAA1一22(出)設(shè)ADIAD1O,連接AO,過(guò)點(diǎn)O作OHAO面AB1cD,OHB1EAHB1E得：AHO是二面角A BiE Ai的平面角AHO 30在Rt AOH中,AHO30 , AOH90 , AH6OH 2在矩形 A1B1CD 中，CD x,AD J2S BOE2x 12 x 1 二 x 1 二個(gè) 422222228得：AB232.12012高考北京理16】(本小題共14分)如圖 1,在 RtAABC 中，/ C=90BC=3 , AC=6 ,D, E分別是AC , AB上的點(diǎn)，且DE/BC,DE=2,將ADE沿DE折起到ADE的位置，使A1CXCD,如圖2.(I)求

12、證：A1CL平面BCDE;(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由【答案】解:(1) Q CD DE , AE DEDE平面A1CD,又QAC平面A1CD,ACDE又ACCD,AC平面BCDEo(2)如圖建系C xyz,則D2,0,0,A0,0,273,B0,3,0,E2,2,0uuurab0,3,2百Lum,A1E2,zA設(shè)平面A BE法向量為y，zA1 (0,0,2 3)xuuirr_3,則AiBn0.3y23z0,zTy則uuurrA1En02xy0xy2r_n1,2,召又M1,0,V3uu

13、uu_.CM1,0,J3uuurr_CMn1342cosuuuur-_|CM|n|1431322.22CM與平面ABE所成角的大小45。(3)設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P ,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，貝U a0, 3uuur則A1PuuurDP設(shè)平面ADP法向量為uun1x1貝U ay12X12 . 3z1 0 ay1 0z1x137Tay1612 a%uun1假設(shè)平面ADP與平面A1BE垂直，uur貝Un1n0,，3a123a0,6a12,a2-0a3，不存在線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面ABE垂直。:33.12012高考浙江理20(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為25的菱形

14、，且/BAD=120°,且FAL平面ABCD,PA=2而，M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).(I)證明：MN/平面ABCD;(II)過(guò)點(diǎn)A作AQPC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.*【命題立意】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力?！敬鸢浮浚↖）如圖連接BD.M,N分別為PB,PD的中點(diǎn),在PBD中，MN/BD.又MN平面ABCD,.MN/平面ABCD;（n）如圖建系:A(0,00),P(0,0,2金）,M（3，0)N(3,0,0),C(石3,0).,c(第20題圖)設(shè)Q(x,uuuV,z),則CQ(x3,z)u

15、uuCP(3,uuurCQuurCPq(V373,3uuiruuuuuruuuOQCPr對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為n(auuuuAMuuir0),AN=(3,00).uuuuAM則uurANrnrn33a-b223a0立3130r同理對(duì)于平面AMN得其法向量為v(木,記所求二面角AMNQ的平面角大小為，所求二面角 AMNQ的平面角的余弦值為10BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。H ，(>(1)證明在側(cè)棱 AA1上存在一點(diǎn)E,使得OEL平面 (2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。35.12012高考江西理19(本題滿分12分)在三麥柱ABC-A1B1C

16、1中，已知AB=AC=AA1=J5BB1C1C,并求出AE的長(zhǎng);解：(1)證明：連接AO在VAOA1中，作OEAA1于點(diǎn)E,因?yàn)锳A1/BB1,得OEBB1,因?yàn)锳O得AO所以O(shè)E又AO得AEBy(2)如圖所示，分別以O(shè)A,OB,OA1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),C(0,-2,0),A1(0.0,2),B(0,2,0)uuur由（1）可知ae1uuir42gAA得點(diǎn)e的坐標(biāo)為（w，o，m），由（1）可知平面BB1C1C的法向量是4 2r(,0,),設(shè)平面A1B1C的法向量n(x,y,z),5 5ruur,nAB0x2y0由ruur，得，令y1,得xnA1c0

17、yz0r2,z1,即n(2,1,1)uuur所以cosOE,nuurrOEnuurur|OE|n|.3010即平面平面AB1C與平面BB1C1C夾角的余弦值是.3010【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用以及空間想象的能力.高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問(wèn)題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問(wèn)，第3種考查多出現(xiàn)在第2問(wèn)；對(duì)于角度問(wèn)題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法37.12012高考上海理19（6+6=12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底

18、面ABCD是矩形，PA底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)，已知AB2,AD（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小。242,PA2,求:解（1）因?yàn)镕A，底面ABCD,所以PAXCD,又ADLCD,所以CD，平面FAD,從而CDXPD.3分因?yàn)镻D=V22(22)223,CD=2,所以三角形PCD的面積為：22V32/3.6分(2)解法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，上B(2,0,0)二C(2,26,0),E(1J5,1),AE(1,«2,1),BC(0,2<li,0).8分設(shè)AE與BC的夾角為cosAE BC 4 | AE|BC| 2 2 2由此可知，異面直

19、線BC與AE所成的角的大小是712分解法二取PB中點(diǎn)F,連接EF、AF,則PK/Ia-dEF/BC,從而/AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AE所成的角8分在AEF中，由ef=V2、af=J2、ae=2知AEF是等腰直角三角形，所以/AEF=4.因此異面直線BC與AE所成的角的大小是不12分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時(shí)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題源于必修2立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯(cuò)角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題.38.12012高考全國(guó)卷理

20、18】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA，底面ABCD,AC=2J2,PA=2,E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（I）證明：PC,平面BED;（n）設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度，并加以證明和求解。解：設(shè)ACIBDO,以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則uuu2) , BE/ 22、(,a,)，33A魚(yú)0,0),C(72,0,

21、0),P(亞0,2),設(shè)B(0,a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)。22uuir(I)證明：由pe2ECE(,0,一)，所以PC(2V2,0,33uuuruuruuurJ22uuur uuuuuur uuu uurPC BD (2V2,0, 2) (0,2a,0) 0。所以 PC BE , PCBD(0,2a,0),所以PCBE(272,0,2)(弓，a,g)0,uuurBD，所以PC千面BED；ruuuuuu_(n)設(shè)平面PAB的法向量為n(x,y,z),又AP(0,0,2),AB巫a,0),由ruuuruuur21rnAP0,nAB0得n(1,X,0),設(shè)平面PBC的法向量為m(

22、x,y,z),又auuruuu.LTuurLTuurUT2_BC(V2,a,0),CP(2衣,0,2)，由mBC0,mCP0,得m(1,V2)，由a,itr于一面角apbC為90。，所以mn0，解信aJ2。uuurur_所以PD(J2,J2,2),平面PBC的法向量為m(1,1,J2),所以PD與平面PBCuuuiruur所成角的正弦值為uuuDmuT1,所以PD與平面PBC所成角為一.|PD|m|2PDPBC6【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來(lái)看，整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問(wèn)題，那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)E的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn)，這樣的解決對(duì)

23、于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是比較有點(diǎn)難度的，因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問(wèn)題為好。DAB 60o, FC 平39.12012高考山東理18(18)(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB/CD,面 ABCD,AE BD,CB CD CFF(I)求證：BD平面AED;(n)求二面角FBDC的余弦值.【答案】(I)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，ABPCD,DAB60°,所以ADCBCD120。.又CBCD,所以CDB30o因此ADB90°,ADBD,又AEBD,且AEIADA,AE,AD平面AED,所以BD平面AED.(n)解法一：由(I)知ADBD

24、，所以ACBC,又FC平面ABCD,線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB 1,則,F(0,0,1)，因此CA,CB,CF兩兩垂直.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CB,CF所在的直C(0,0,0),B(0,1,0),D(g,2,0),uur5ouuir因此BD(岑,1,0),BF(0,1,1).設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m(x,y,z),uuiruur則mBD0,mBF0,所以x私島，取z1,則m(73,1,1).又平面BDC的法向量可以取為n(0,0,1),所以 cos m ,n所以二面角F BDm n1_.5|m |n | V55，C的余弦值為害.解法取BD的中點(diǎn)G,連結(jié)CG,F

25、G,由于CBCD,所以CGBD.又FC平面ABCD,BD平面ABCD,所以FCBD.由于FCICGC,FC,CG平面FCG,所以BD平面FCG，故BDFG.所以FGC為二面角FBDC的平面角.在等腰三角形BCD中，由于BCD1200,因此CG2CB,又CBCF,所以CFgG2CF275cg,故cosFGCm，5因此二面角FBDC的余弦值為55.40.12012高考湖南理18(本小題滿分12分)如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PAa平面ABCDAB=4,BC=3AD=5/DABhABC=90,E是CD的中點(diǎn).(I)證明：CD1平面PAE;(n)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABC所成

26、的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】解法1(I如圖(1),連接AG由AB=4,BC3,ABC90o,得AC5.又AD5,E是CD的中點(diǎn)，所以CDAE.QPA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD±平面PAE.(n)過(guò)點(diǎn)B作BGCD,分別與AE,AD相交于F,G,連接PF.由(I)CDL平面PAE知，BG，平面PAE于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA為直線PB與平面ABCD所成白角.AB4,AG2,BGAF,由題意，知PBABPF,一.PA.BF因?yàn)閟inPBA,sinB

27、PF,所以PABF.PBPB由DABABC90o知，AD/BC,又BG/CD,所以四邊形BCDG是平行四邊形,故GDBC3.于是在RtABAG中，ABBG于是PABF8-55AG2.4,AG2,BGAF,所以2AB2AG2256IBG162.58.551又梯形ABCD的面積為S-(53)416,所以四棱錐PABCD的體積為118、5128.5VSPA1633515解法2：如圖（2）,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PAh,則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).uuruuuruuu(I)易知CD(4,2,0),AE(2,4,0),AP(0,0,h).因?yàn)閡uuruuruuuruuuCDAE8800,CDAP0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.uuruur（n）由題設(shè)和（I）知，CD,AP分別是平面PAE,平面ABCD的法向量，而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD