函數(shù)奇偶性的六類經(jīng)典題型

1、WORD整理版專業(yè)學(xué)習(xí)參考資料奇偶性類型一：判斷奇偶性 例1判斷下列函數(shù)奇偶性1 1 y =H（1） 八 1 2 （八。且"1）：； 一一，(3) '1 + sin z- cosx = 7：(4) . .二二 I. .L .:（5）_ : 一解：（1）工eK且ihO奇函數(shù)12（2）xeR ,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱/（一琦二磔-齊+、）二國(guó)=）=ig（x+/i+P-rl = -/（x>二/。）奇函數(shù)（3）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱/H） = /tt = -/« = 0 .既奇又偶（4）考慮特殊情況驗(yàn)證：開7T1 = -了二一2二1 ；2y無(wú)意義；.（5）xeR且"0,關(guān)于原

2、點(diǎn)對(duì)稱非奇非偶2r 1/（»為偶函數(shù)+1一9=7類型二：根據(jù)奇偶性求解析式1 .函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且 x>0時(shí)，f（x）=y/x+ 1,則當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=解析：:Kx）為奇函數(shù)，x>0時(shí)，f（x）=jx+1,，當(dāng) x<0 時(shí)，一x>0,f(x)=-f(-x)=- (x +1),即 x<0 時(shí)，f(x)=(aJ x+ 1) = yj x 1.答案：一尸-12 .求函數(shù) 產(chǎn)/的解析式(1)二丁。)為R上奇函數(shù)，時(shí)，J二不smx + 1, 解：工0時(shí),/(X)= -/(-X)= -1一里> -sm(-) + l= -x2 -sin

3、x-1"Q-(0) ，/(0)=00 一而 x+1x > 0x = 0<0(2) y=/為R上偶函數(shù),心。時(shí)，/=9-smx + 1解：工 C 0 時(shí),幽=y(-x)=H)1-sin(-力 +1 = X1+血 r+1x2 -sin x+1 i之 0K + 沏 x + 1 無(wú) <Q類型三：根據(jù)奇偶性求參數(shù)1 .若函數(shù)f(x)= xln (x+4a+x2 )為偶函數(shù)，則 a=【解題指南】f(x)= xln (x+ a x2 )為偶函數(shù)，即 y = ln(x+Ja + x2)是奇函數(shù),利用 f (x) + f (x) = 0確定 a 的值.【解析】由題知y =ln(x+J

4、a十x2)是奇函數(shù),所以 ln(x + Ja +x2) +ln(-x + Ja +x2) =ln(a +x2 -x2) = Ina = 0 ,解得 a=1.答案：1.2 .函數(shù)f(x) = (x土1隼土a4奇函數(shù)，則a=.x 解析：由題意知，g(x)= (x+1)(x+a)為偶函數(shù)，a= 1.答案：13 .已知f(x) = 3ax2+bx5a+ b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)?6a 1, a,則a+ b=()1A.7B. 1C. 1D. 7解析：選A因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以6a1 + a=0,所以a=7.又f(x)為偶函數(shù)，所以 3a( x)2 bx5a+ b= 3ax2+ bx 5a+

5、 b,解得 b=0,所以 a+b=；.24 .右函數(shù)f(x) = x |x+a|為偶函數(shù)，則頭數(shù) a=.(特殊值法) 解析：由題意知，函數(shù) f(x) = x2|x+ a內(nèi)偶函數(shù)，則f(l) = f(-l), .1 |1 + a|=1 | 1 + a|> a= 0.答案：0x2 + x,5 .已知函數(shù)f(x) = i 2+bxx< 0, x>0為奇函數(shù)，則a+ b =.(待定系數(shù)法)解析：當(dāng)x>0時(shí)，x<0 ,由題意得f( x)= f(x),所以 x2 x= ax2 bx,從而 a= 1, b= 1, a + b=0.答案：06 .(i)y =/(x)=1+，一1,

6、期為何值時(shí)，/uO為奇函數(shù); (2)y =/(力=工+值)&為何值時(shí)，/工)為偶函數(shù)。“ /)”答案：(1)m 1 洶，1 + (加1)口(川-1)口* + 1=1 +=白” 一 1 1一白由二1+上二£1/-1 爐-1(恒等定理)加二2時(shí)，/二/奇函數(shù)二-二 S-J 二二二1'二 '. Isin a cos-coso:- tin x = sin a- cosx +cos a sin 2sm0 (恒等定理)1匚二 11 , 汽 &=fcr+-一、-2x b f (x) x 17.已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 2+a是奇函數(shù)。(h) 解析:(i)求a，b的值；(

7、特殊值法)22若對(duì)任意的t u R，不等式f(t -2t) f (2t -k) <0恒成立，求k的取值范圍;簡(jiǎn)解：取特殊值法因?yàn)閒 (x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0,xb -1,1 -2-=0= b=1. f(x) = -x-r即 a , 2a 21 -2又由 f (1) = - f(-1)知 a +41 -2x f(x)二一XTi(n)由(i)知2 2為減函數(shù)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：1-12= a = 2.a 12x + 1 ,易知f(x)在(-°°,收)上22f (t2 -2t)f(2t2 -k) ： 0等價(jià)于 f(t22t)<f(2t2k) =

8、f(k2t2), 因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t2 -2t >k -2t21x c 24 12k ： 0= k .即對(duì)一切tuR有：3t 2tkA。，從而判別式3類型四：范圍問(wèn)題1.已知f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，f(x)=x2 + 2x,若f(2 a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. ( 8, 1)U(2, +8)B. (1,2)C. (-2,1)D.(巴2) U (1 ,)解析：選C 3僅)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x) = x，2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由 f(2a2)>

9、;f(a),得 2 a2>a,解得一2vav1.2.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在(0, +00)上遞增，且 f I- ,!= 0,則滿足f(x)>0的x的集合為解析:由奇函數(shù)y= f(x)在(0, + 8)上遞增，且fy=f(x)在(00, 0)上遞增，且f - U0,1 ,、 1 一. f(x)>0 時(shí)，x>？或2<x<0.即滿足f(x)>0的x的集合為1 f 12<x<0或x>2答案:1- 1cx 2<x<0或x>23.已知函數(shù) g(x)是 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x<0時(shí)，g(x) = ln(1 x),函

10、數(shù) f(x)=x3, x< 0,2，若 f(2x2)>f(x),則實(shí)數(shù)g(x > x>0, A.(巴 1)U (2, i)C. (1,2)解析：選D 設(shè)x>0,則x<0.x<0 時(shí)，g(x) = ln(1 x),. g(-x)= - ln(1 +x).x的取值范圍是()B.(巴2) U (1 , +8 )D. (-2,1)又飛僅)是奇函數(shù),. g(x) = ln(1 +x)(x>0),x , x< 0,. f(x)= 1其圖象如圖所示.由圖象知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).Jn(1 + x ) x>0.f(2-x2)>f(x),

11、 -2-x2>x,即一2<x<1.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(一2,1).4.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)xC(0, +8時(shí)，f(x)=log2x,則不等式f(x)v1的解集 是.10<x<2,或 x< 一2解析：當(dāng)x<。時(shí)，-x> 0, - f(x) = f( x)= log 2( x), lOg2x, x>0, f(x)= <0, x= 0, 1-log 2( 一 x), x<0.f(x)<-t x=0，或0<- 15.已知f(x)x>0, 1二 tlog 2x< - 1x<0,或f-10g 2(

12、 x)< 一 1是奇函數(shù)，且當(dāng)xv 0時(shí),-1-, C0vxv2或 x< 2.f(x) = x2 + 3x+ 2.若當(dāng) xC1, 3時(shí)，nwf(x)wm 恒成立，則mn的最小值為()a.4C.4解析：選A.設(shè)x>0,則xv 0,B. 21» 4所以 f(x)= f(x) = (-x)2+3(-x)+2 = - x2+ 3x-2.3一11 一所以在1 , 3上，當(dāng) x=萬(wàn)時(shí)，f(x)max=4；當(dāng) x= 3 時(shí)，f(x)min= - 2.所以 m>4且 nW2. 故 m n>*6.已知f(x)是定義在2,2上的奇函數(shù)，且當(dāng) xC (0,2時(shí)，f(x) =

13、2x1,又已知函數(shù) g(x) = x2 2x+m.如果對(duì)于任意的 6 2,2,者B存在x2/ 2,2,使得g(x2)=f(x1)，那么實(shí)數(shù)m的 取值范圍是.解析 由題意知，當(dāng)xC 2,2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?3,3.因?yàn)閷?duì)任意的xe2,2,者B存在x2C 2,2,使得 g(x2)=f(x1)，所以此時(shí) g(x2)的值域要包含3,3.又因?yàn)?g(x)max=g(-2),g(x)min=g(1),所以 g(1)w 3且 g( 2)>3,解得5<m<-2.類型五：奇偶性+周期性1.f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，滿足 f(x+ 2) = f(x),當(dāng) xC (0,1)時(shí)，f(x)

14、=2x2,則 f(log1 6) 2的值等于().A.4 B.7 C.1D.13222解析：f( log 1 6) 2=-f(- log 16)=- f(log 26)=-f(log26 2)=(210g26 2 2) = 1-2；1 ，=2,故選c.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意 xCR,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且xC0,4時(shí)，f(x) = 4-x,則 f(2 011)的值為.解析：f(4) = 0,. f(x+8)=f(x), .T=8,f(2 011) = f(3)=4-3= 1.類型六：求值1.已知函數(shù)f(x)是定義在(一2,2)上的奇函數(shù)，當(dāng)xC (0,2)時(shí)

15、,f(x) = 2x - 1,則f og23加值為A. - 2 B. -3 C. 2 D.32-1解析：當(dāng) xC(2,0)時(shí),xC(0,2),又當(dāng) xC(0,2)時(shí),f(x) = 2x 1, . f(x) = 2 x1, 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(一2,2)上的奇函數(shù)，f(x) = f(x) =2 x1, xC (2,0)時(shí)，1111log 2 1f(x) = 1- -. - 2<log2-<0,f(log2-) = 1- 2=2.故選 A.2x33答案：A2 .已知f(x)為奇函數(shù)，g(x) = f(x)+9, g(2)=3,則f(2) =.解析：根據(jù)已知 g(-2) = f(

16、-2)+ 9,即 3=f(2) + 9,即 f(2)=6.答案：63 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x) = x+ ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(ln 6)的 值為.由 f(x)是奇函數(shù)得 f(ln 6) = - f(ln 6) = -(-ln 6) e 1n 6= In 6-6.1 答案：ln 6-16M和最小值N,則M+N的值為4 .已知函數(shù)f(x) =x -sin x *1 j wr )存在最大值 x 11 25.設(shè)函數(shù) f (x) =xln(ex +1) x2+3,xW-t,t(t >0),若函數(shù) f (x)的最大值是 M,最小值 2是 m,則 M +m=.分析：本題是一道自編題，學(xué)生不假思索就會(huì)想到對(duì)f(x)求導(dǎo).事實(shí)上，理科學(xué)生，求導(dǎo)得xf'(x) =ln(ex +1) +若彳-x ,無(wú)法找到極值點(diǎn)，而文科學(xué)生不會(huì)對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo).因1 C此，須從考祭函數(shù)f (x)的性質(zhì)下手，事實(shí)上，令 g(x)=xln(ex +1)- x2 ,易求得2g(_x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)的最大值與最小值之和是0,從而f(x)的最