探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

1、四川省郫都區(qū)第一中學(xué) 楊先蓉組合組合2復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)組合數(shù)計(jì)算公式組合數(shù)計(jì)算公式!) 1()2)(1() 1 (mmnnnnAACnmmnmn)!( !)2(mnmnCmn 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)個(gè)元元組合組合mnC例 在歌手大獎(jiǎng)賽的文化素質(zhì)測試中，選手需從5個(gè)試題中任意選3題，問（1）有幾種不同的選題方法？（2）若有一道題是必答題，有幾種不同的選題方法？310710CC ；練習(xí)：計(jì)算兩個(gè)組合數(shù)問題問題1：為何上面兩個(gè)不同的組合數(shù)其結(jié)果相為何上面兩個(gè)不同的組合數(shù)其結(jié)果相同？怎樣對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行解釋？同？怎樣對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行解釋？ 從從1010個(gè)元素中取出個(gè)元素

2、中取出7 7個(gè)元素后，還剩下個(gè)元素后，還剩下3 3個(gè)元素，就是說，從個(gè)元素，就是說，從1010個(gè)元素中每次取個(gè)元素中每次取出出7 7個(gè)元素的一個(gè)組合，與剩下的個(gè)元素的一個(gè)組合，與剩下的(10-7)(10-7)個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的。因此，從個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的。因此，從1010個(gè)元素中取個(gè)元素中取7 7個(gè)元素的組合，與從這個(gè)元素的組合，與從這1010個(gè)個(gè)元素中取出元素中取出(10-7)(10-7)個(gè)元素的組合是相等的個(gè)元素的組合是相等的)(31071010710CCC即：問題問題2：上述情況加以推廣可得組合數(shù)怎樣的性質(zhì)？上述情況加以推廣可得組合數(shù)怎樣的性質(zhì)？ 一般地，從一般地，從n n個(gè)

3、不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)個(gè)元素后，剩下元素后，剩下n n m m個(gè)元素因?yàn)閺膫€(gè)元素因?yàn)閺膎 n個(gè)個(gè)不同元素中取出不同元素中取出m m個(gè)元素的每一個(gè)組合，個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的與剩下的n n m m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從對(duì)應(yīng)，所以從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這素的組合數(shù)，等于從這n n個(gè)元素中取出個(gè)元素中取出n n m m個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù) 組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)1：mnnmnCC說明：說明：2、 為了使性質(zhì)為了使性質(zhì)1在在mn時(shí)也能成立，規(guī)定時(shí)也能成立，規(guī)定10nC1 1、為簡化計(jì)算，當(dāng)、

4、為簡化計(jì)算，當(dāng)m 時(shí)，通常將計(jì)算時(shí)，通常將計(jì)算 改為計(jì)算改為計(jì)算 2nmnCmnnC3xynnCC 、xyxyn 或或證明證明組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2引例引例一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和個(gè)白球和1個(gè)黑球個(gè)黑球從口袋里取出從口袋里取出3個(gè)球，共有多少種取法？個(gè)球，共有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個(gè)球，使其中含有一個(gè)黑球，個(gè)球，使其中含有一個(gè)黑球，有多少種取法？有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？多少種取法？372738CCC從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)上面的發(fā)現(xiàn)對(duì)上面的

5、發(fā)現(xiàn)(等式等式)作怎樣解釋？作怎樣解釋？1211,1nmna aanmC 一一般般地地，從從這這個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取出出個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)是是， 11aa這這些些組組合合可可分分成成兩兩類類：一一類類含含有有 ，一一類類不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的組組合合是是從從這這 個(gè)個(gè)元元素素中中取取出出個(gè)個(gè)元元素素組組成成的的，共共有有個(gè)個(gè) 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的組組合合是是從從這這 個(gè)個(gè)元元素素中中取取出出個(gè)個(gè)元元素素與與組組成成的的，共共有有個(gè)個(gè)； 由由分分類類計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)原原理理，得得 11mnmnmnCCC組合數(shù)性質(zhì)

6、組合數(shù)性質(zhì)2組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2：證明證明說明：說明：1、公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差、公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù)數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù) 2、此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算在今、此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算在今后學(xué)習(xí)后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用要應(yīng)用 例例 計(jì)算計(jì)算例例 證明證明111111mmmmnnnnCCCC、1112nnnnnnn mn mCCCC 、課堂練習(xí)課本24頁1、2、3、4小小 結(jié)結(jié) 通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們要進(jìn)一通過這一節(jié)課的