一元函數(shù)微分學(xué)[1]

1、第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（1，2） 陳建軍 主編第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念（1、2）教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會用導(dǎo)數(shù)描述一些實(shí)際問題的變化率。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念，會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)描述一些實(shí)際問題的變化率。教學(xué)形式：多媒體教室里的講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、引入新課微分學(xué)是微積分的重要組成部分,它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分。在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，當(dāng)研究運(yùn)動的各種形式時，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，如物體運(yùn)動的速度、電流、線密度、化學(xué)反應(yīng)速度以及生物繁殖率等，而當(dāng)物體沿曲線運(yùn)動時，還需要考慮速度的方向，即曲

2、線的切線問題。所有這些在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率。二、新授課1導(dǎo)數(shù)概念實(shí)例 （1）、變速直線運(yùn)動的瞬時速度問題 設(shè)動點(diǎn)作變速直線運(yùn)動，其經(jīng)過的路程是時間的函數(shù)，即，求它在時刻的瞬時速度。 如右圖所示，假定在某一瞬時,動點(diǎn)的位置是，而經(jīng)過極短的時間間隔后,即在瞬時,動點(diǎn)的位置到達(dá)，于是動點(diǎn)在時間間隔內(nèi)所走過的路程是：，動點(diǎn)在這段時間內(nèi)的平均速度為 由于時間間隔較短，它可以大致說明動點(diǎn)在時刻的速度，且時間間隔取得越小，這段時間內(nèi)的平均速度愈接近時刻瞬時速度。若令趨于零，則極限值 精確地反映了動點(diǎn)在時刻的瞬時速度 。 （2）、切線問題割線的極限位置切線位置（附：Flash說明）如圖，如果割線M

3、N繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。 極限位置即 設(shè)。割線MN的斜率為 ，切線MT的斜率為 。 2導(dǎo)數(shù)的定義 上面討論的兩個實(shí)例，雖然是不同的具體問題，但是它們在計(jì)算時都?xì)w結(jié)為如下的 極限： 其中是函數(shù)的增量與自變量的增量之比，表示函數(shù)的平均變化率。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在取得增量時，相應(yīng)地函數(shù)取得的增量。若極限存在，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為：即 其他形式； 。 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明： 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

4、。 對于任意都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)值。這個函數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記作，或。 即 或。注意：1）.。 2）.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)。 3由定義求導(dǎo)數(shù) 步驟：(1)求增量； (2)算比值； (3)求極值。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)具有固定的步驟，可以利用的語句計(jì)算，步驟如下:1 定義函數(shù)2 根據(jù)定義求導(dǎo)例1 設(shè)圓的面積為,半徑為,求面積關(guān)于半徑的變化率。解（1）: 1 面積關(guān)于半徑函數(shù)關(guān)系為 ；2 圓半徑的增量，則圓面積的增量為；3 圓面積的平均變化率為；4 面積對半徑的變化率為解（2）:用求解例2 求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。 解（1）：。即。解（2）用求解課堂練習(xí) P45 第

5、5題例3根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求的導(dǎo)數(shù)，其中為正整數(shù) 。解（1）：由二項(xiàng)式定理，得于是 即,解（2）：利用的語句計(jì)算的導(dǎo)數(shù)。 因此 . 一般地，對冪函數(shù)，有利用這一公式，可以求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例如，當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為 ,即 . 當(dāng)時 ，的導(dǎo)數(shù)為 ,即 課堂練習(xí) P45 第6（1）、（3）、（5）題利用導(dǎo)數(shù)的定義還能夠比較容易地求出 ：三、本節(jié)小結(jié)：導(dǎo)數(shù)定義，和幾個常見的導(dǎo)數(shù)公式四、課外作業(yè)：P45習(xí)題31 第3題3將一個物體鉛直上拋，經(jīng)過時間（單位：）后，物體上升高度為（單位：），求下列各值： （1）物體在到這段時間內(nèi)的平均速度； （2）物體在時的瞬時速度； （3）物體在到這段時間內(nèi)的平均速度； （4）物

6、體在時的瞬時速度；第4題4設(shè)，試按導(dǎo)數(shù)定義求。第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（3,4）第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念（3,4）教學(xué)目的：掌握可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系，求導(dǎo)舉例教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系教學(xué)形式：多媒體教室里的講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、回顧上次課內(nèi)容1各種增量比值（變化率）模型：2導(dǎo)數(shù)的定義：3傳統(tǒng)方式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：4用的語句求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：5一些已經(jīng)求出來的基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。二、新授課1左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)定義2： 由于導(dǎo)數(shù)為，則和分別稱為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，分別記為 。2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理一 函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在且相等

7、。證明 略。1、 函數(shù)連續(xù)，若則稱點(diǎn)為函數(shù)的角點(diǎn)，函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)。 .例題1 判斷函數(shù) , 在點(diǎn)處是否可導(dǎo) ( 如右圖 ) 。解 由于，所以 因?yàn)樽?、右極限不等，故極限 不存在，即函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。從幾何直觀上看，它的圖像在點(diǎn)處沒有切線。再例如， 在處不可導(dǎo)，為的角點(diǎn)。 定理二凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。 證設(shè)函數(shù)在的點(diǎn)處可導(dǎo)， 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。 注意：該定理的逆定理不成立，即若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處未必可導(dǎo)，即連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例 2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但，稱函數(shù)在點(diǎn)有無窮導(dǎo)數(shù)。(不可導(dǎo))例如， ，在處不可導(dǎo)。 3、設(shè)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都不存在(指

8、擺動不定)，則點(diǎn)不可導(dǎo)。例如， 在處不可導(dǎo)。 4、若，且在點(diǎn)的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)符號相反，則稱點(diǎn)為函數(shù)的尖點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn))。 例2討論函數(shù)，在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。 解是有界函數(shù)，。 在處連續(xù)。 但在處有， 當(dāng)時，在-1和1之間振蕩而極限不存在， 在處不可導(dǎo)。 證明 略。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1、幾何意義 表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即，(為傾角) 切線方程為； 法線方程為.例3求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。 解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為 所求切線方程為，即。法線方程為，即。 三、本節(jié)小結(jié)：連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增量比的極限； 2、

9、； 3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率； 4、函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)； 5、求導(dǎo)數(shù)最基本的方法：由定義求導(dǎo)數(shù)。 6、判斷可導(dǎo)性 外獨(dú)立完成的作業(yè)：推導(dǎo)一遍基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。第三章 一元函數(shù)微分學(xué)(5,6）第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1、2）教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本公式。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則。教學(xué)形式：多媒體演示、講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、 引入新課復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，熟悉已經(jīng)求過的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的關(guān)系。二、新授課1、可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理三 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有

10、：（1）若，則，為常數(shù)；（2）若，則，推廣：；（3）若，則。證明（1）： 對于自變量，取得其改變量，從而函數(shù)取得改變量證(3)設(shè)， 在處可導(dǎo)。 推論 (1)； (2)； (3).例1 求的導(dǎo)數(shù)。課堂練習(xí)一： （1）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；例2 求的導(dǎo)數(shù)。課堂練習(xí)二： （2）設(shè)函數(shù)，則 ； 例3求的導(dǎo)數(shù)。 解 即 同理可得 例4求的導(dǎo)數(shù)。 解同理可得課堂練習(xí)三：（3）設(shè) ，則 ；三、本節(jié)小結(jié)：1、可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理三 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有：（1）若，則，為常數(shù)；（2）若，則，推廣：；（3）若，則2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、課外作業(yè)：P50第

11、2題（1）、（2）、（3）第三章 一元函數(shù)微分學(xué)(7,8）第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（3、4）教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式，用Mathematica軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：會用Mathematica軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)形式：多媒體演示、講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程二、 引入新課復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，熟悉已經(jīng)求過的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 經(jīng)過求導(dǎo)法則所得到的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：二、新授課1、利用求導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程中，會遇到大量的運(yùn)算，需要特別仔細(xì)。但是，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟卻是有規(guī)律的，特別符合計(jì)算機(jī)運(yùn)算的要求。利用求導(dǎo)數(shù)的格式為 函

12、數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)變量 例 利用 求解前面的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。注：Loga=lna.2、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可的導(dǎo)，且有 即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 證任取，給以增量 由的單調(diào)性可知， 于是有，連續(xù)， ，又知 即例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且， 在內(nèi)有 同理可得；我們也可以更快地用Mathematica軟件求得此二函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)， 且，在內(nèi)有特別地我們也可以更快地用Mathematica軟件求得此二函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、本節(jié)小結(jié)：1、用Mathematica軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)變

13、量 2、反函數(shù)求導(dǎo)方法四、課外作業(yè)：用傳統(tǒng)方式求 arctanx、及arccotx的導(dǎo)數(shù)。第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（9,10）第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（5、6）教學(xué)目的：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的概念。熟練復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)教學(xué)形式：多媒體講授、演示教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、 引入新課默寫公式二、新授課1、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函 數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，或記為證由在點(diǎn)可導(dǎo)，故則。推廣設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例1 求的導(dǎo)數(shù)。解 函數(shù)可以看作由函數(shù)和復(fù)合而成。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得 我們用Mathematica軟件求此函數(shù)的

14、導(dǎo)數(shù)課堂練習(xí)：P50 2求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù): （為常數(shù)） （2） （4）（5） 例2 求的導(dǎo)數(shù)。解 由復(fù)合而成，所以 。用Mathematica軟件求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程熟悉后，可不必寫出中間變量，直接按照復(fù)合的次序，由外到里，層層求導(dǎo)。例3 求 的導(dǎo)數(shù)。解 例4 求 的導(dǎo)數(shù)。用Mathematica求得上面兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6 用Mathematica求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值。解：求導(dǎo)函數(shù)DCosx-Sinx,x -Cosx-SinxIn2:=%/.xPi/6 課堂練習(xí)7利用求下列各函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:（1），求（2），求三、本節(jié)小結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)，而

15、則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或 利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決。 注意：初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)。 例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 四、課外作業(yè)：P502、（11） （12）（13） 7、利用求下列各函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:（1），求（2），求第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（11，12）第三節(jié) 隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1，2）教學(xué)目的：會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)形式：多媒體講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、引入新課變量與之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系有不同的表達(dá)方式。例如：，直接給出自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)

16、系，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為顯函數(shù)。還有另一種表達(dá)方式，如，其中因變量不一定能用自變量直接表達(dá)出來。這種函數(shù)被稱為由方程所確定的隱函數(shù)。在實(shí)際問題中，有時需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、新授課1隱函數(shù)求導(dǎo)法則若 中是的函數(shù)，從方程出發(fā)求。 （1）將兩端對求導(dǎo)。求導(dǎo)過程中視為的函數(shù)； （2）求導(dǎo)后得到一個關(guān)于的方程，解此方程則得的表達(dá)式，在此表達(dá)式中允許含有。例1 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 將兩端對 求導(dǎo)數(shù)： , , 故 。例2 求曲線上點(diǎn)處的切線方程。解 方程兩端對求導(dǎo)數(shù)，得 解出，得 則所求切線方程為 即 2. 利用求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由求導(dǎo)和解方程兩個步驟組成，因而，在中可使用和

17、語句，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 方程兩邊求導(dǎo)，得 In1:= Dx 2+4yx 2=4,x Out1=2x+8y x y x =0從求導(dǎo)結(jié)果中解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) In2:=Solve % ,yx Out 2=yx -x 4y x 或者將兩個步驟合并為 In3:=Solve D x 2+4yx 2=4 ,x , yx Out 3=yx -x 4y x 注意 在Mathematica 中D y x , x 與 yx 意義是一樣的，都表示函數(shù)y=y (x )的一階導(dǎo)數(shù)。例4 求方程y ex+lny=10 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 In1:= Dy x E x

18、 +Log y x =10 ,x Out1= x y x + x yx +y(x )y (x )=0 In2:=Solve % ,yx Out 2=yx - x y x 21+ x y x 即 y=- x y2 1+ x y 課堂練習(xí)：P543利用求由下列方程所確定的各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2） 3、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y 與自變量x 不是直接由y=f (x )表示，而是通過一個變量t 來表示，即x=(t) y=t .其中t 為參數(shù)，上式稱為函數(shù)的參數(shù)方程。下面求由參數(shù)方程確定的y 對x 的導(dǎo)數(shù)y。設(shè)x=(t) 有連續(xù)的反函數(shù)t=-1(x )，又t 與t 存在，且，則t0，則y

19、 為復(fù)合函數(shù) y=t =-1(x )利用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得 例1 已知圓的參數(shù)方程為x=a cost y=a sint , 求dydx。解 4利用Mathematica參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)步驟是：先求y=y (t )和x=x (t )的導(dǎo)數(shù)，再求它們的商。因而，利用Mathematica求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用 Dy , t/ Dx , t例2 求參數(shù)方程x=2t 2 y=3t 3 .，所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 In1:= D3t 3 ,t /D2t 2 ,t 例3 求參數(shù)方程x=t 1-sint y=tcost ,的導(dǎo)數(shù)。解 In1: = D

20、t Cos t ,t /D t 1-Sint ,t Out1= Cos t-tSint 1-t Cos t -Sint 例4 求參數(shù)方程x= cost y= sin3t ,的導(dǎo)數(shù)。解 In1:= DSin3t ,t /DCost ,t Out1= -Cos3t csc t 可以用ParametricPlot 命令繪制參數(shù)方程所確定函數(shù)的圖形。 In2: =ParametricPlot Cost ，Sin3t ， t ,0,2Pi 例7不計(jì)空氣的阻力。以初速度，發(fā)射角發(fā)射炮彈，其運(yùn)動方程為求 (1)炮彈在時刻的運(yùn)動方向； (2)炮彈在時刻的速度大小。 解(1)在時刻的運(yùn)動方向即軌跡在時刻的切線方

21、向，可由切線的斜率來反映。 (2)炮彈在時刻沿x，y軸方向的分速度為 在時刻炮彈的速度為 課堂練習(xí)：5求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2） 三、本節(jié)小結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)法則：直接對方程兩邊求導(dǎo)； 參數(shù)方程求導(dǎo)：實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則； 四、課外作業(yè)：P543利用求由下列方程所確定的各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （3） （4） 6曲線上對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程和法線方程。第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（13，14）第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)（1、2）教學(xué)目的：了解高階導(dǎo)數(shù)概念，會求二階導(dǎo)數(shù)及簡單函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：能熟練地用D 語句求各種形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)；教學(xué)形式：多媒體教室的講授教學(xué)時間

22、：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、引入新課問題：變速直線運(yùn)動的加速度。 設(shè)，則瞬時速度為 加速度是速度對時間的變化率 二、新授課1定義如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即 存在，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)。 記作或. 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，。 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，。 一般的，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，記作 或 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 相應(yīng)地，稱為零階導(dǎo)數(shù)；稱為一階導(dǎo)數(shù)。 2高階導(dǎo)數(shù)求法舉例 （1）、由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)。 例1 求函數(shù)的y= x sinx的 二階導(dǎo)數(shù)。 解 y= x sinx+ x cosx= x (sinx+cosx ) y=

23、 x sinx+cosx + x cosx-sinx =2 x cosx 例2設(shè)，求。 解 若為自然數(shù)，則 ，. 注意：求n階導(dǎo)數(shù)時，求出1-3或4階后，不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)。(數(shù)學(xué)歸納法證明) 例3設(shè)，求。 解 例4設(shè)，求。 解 同理可得 例5設(shè)(a，b為常數(shù))，求。 解 （2.）高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： 設(shè)函數(shù)和具有階導(dǎo)數(shù)，則 1) 2) 3、利用求高階導(dǎo)數(shù) 在中，求n (n2)階導(dǎo)數(shù)的語句格式為D 函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)變量，n 例1 求函數(shù)f x =sinx的十階導(dǎo)數(shù)。解 In1:= DSinx,x,10 Out1= -Sinx解方程，得 Sin 10x=-sinx 。例

24、2 求y=1+x 2arctanx 的二階導(dǎo)數(shù)。解 In2:= D(1+x 2)Arc T an x ,x ,2 例3 求 的六階導(dǎo)數(shù)。解 例4 求y=2x 2+lnx 的三階導(dǎo)數(shù)。解 In4:= D2x2+Log x ,x ,3 三、本節(jié)小結(jié)：1、高階導(dǎo)數(shù)的定義； 2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 3、n階導(dǎo)數(shù)的求法； 4、利用求高階導(dǎo)數(shù)四、課外作業(yè)：P564求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）第三章 一元函數(shù)微分學(xué)（15，16）第五節(jié) 函數(shù)的微分（1、2）教學(xué)目的：掌握微分概念，理解微分的幾何意義，能熟練地用Dt 語句求微分。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：微分概念，能熟練地用Dt 語句求微分。教學(xué)形式：多媒體講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)年級：各專業(yè)一年級教學(xué)過程一、引入新課問題的提出 實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。 設(shè)邊長由變到，正方形面積， (1)的線性函數(shù)，且為的主要部分； (2)的高階無窮小，當(dāng)很小時可忽略。 再例如，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的改變量為時，求函數(shù)的改變量。 當(dāng)很小時，(2)是的高階無窮小， 問題：這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有？它是什么？如何求？ 二、新授課1