高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)25《解三角形應(yīng)用舉例》(教師版)

1、課時(shí)作業(yè)25解三角形應(yīng)用舉例1如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(D)A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：由條件及圖可知，ACBA40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.2如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，

2、則燈塔A與B的距離為(B)Aa km Ba kmCa km D2a km解析：由題圖可知，ACB120°，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22·a·a·3a2，解得ABa(km)3如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(D)A5 B15C5 D15解析：在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理

3、得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.4如圖所示，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面上取一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D80 m，于B處測(cè)得水深BE200 m，于C處測(cè)得水深CF110 m，則DEF的余弦值為(A)A BC D解析：如圖所示，作DMAC交BE于N，交CF于M，則DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.5地面上有兩座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫椋诟咚淄數(shù)难鼋菫?，且在兩塔底連線的中點(diǎn)O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛?/p>

4、角，則兩塔的高度分別為(B)A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：設(shè)高塔高H m，矮塔高h(yuǎn) m，在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫?則tan，tan，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有.因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫椋蓆an，tan，得.聯(lián)立解得H90，h40.即兩座塔的高度分別為40 m,90 m.6如圖所示，一座建筑物AB的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔

5、頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為(B)A30 m B60 mC30 m D40 m解析：在RtABM中，AM20(m).過點(diǎn)A作ANCD于點(diǎn)N，如圖所示易知MANAMB15°，所以MAC30°15°45°.又AMC180°15°60°105°，所以ACM30°.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40×sin60°60(m)，故通信塔CD的高為60 m.7如圖，某工程中要將一長(zhǎng)為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30&#

6、176;的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng)100m.解析：設(shè)坡底需加長(zhǎng)x m，由正弦定理得，解得x100.8如圖，為了測(cè)量?jī)勺椒迳螾，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長(zhǎng)度為300 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得PAB90°，PAQPBAPBQ60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為900_m.解析：由已知，得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°，AQB30°，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQB，PQPA在RtPAB中，APAB·tan60°900，故PQ900，P，Q兩點(diǎn)間的距離為

7、900 m.9我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”里記載了這樣一個(gè)題目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何”這道題講的是有一塊三角形的沙田，三邊長(zhǎng)分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計(jì)算，則該沙田的面積為21_平方千米解析：設(shè)在ABC中，a13里，b14里，c15里，cosC，sinC，故ABC的面積為×13×14××5002×21(平方千米)10海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海

8、里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí)解析：設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120°.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22×10×9x×cos120°，整理，得36x29x100，解得x或x(舍)所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí)11為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行

9、氣象觀測(cè)如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60°.在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC(已知聲音的傳播速度為340米/秒)解：(1)由題意，設(shè)ACx，因?yàn)樵贏地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒，所以BCx×340x40，在ABC內(nèi)，由余弦定理得BC2CA2BA22BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.答：A，C兩地的距離為420米(2)

10、在RtACH中，AC420，CAH30°.所以CHAC·tanCAH140米答：該儀器的垂直彈射高度CH為140米12如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20 km和50 km.某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離解：(1)依題意，有PAPCx，PBx1.5×8x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在P

11、AC中，AC50，cosPAC.因?yàn)閏osPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于點(diǎn)D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD31×4(km)故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為4 km.13如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為(A)A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：在ACD中，由余弦定理得：cosD.在ABC中，由余弦定理得：cosB.因?yàn)锽D180°，所以cosBcosD0，即0，解得

12、AC7.14某人為測(cè)出所住小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形，測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示，則該圖所示的小區(qū)的面積是km2.解析：如圖，連接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90°，CAB30°，DACDCA15°，ADC150°，即AD，故S四邊形ABCDSABCSADC×1××2×(km2)15如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且BAC135°.若山高AD10

13、0 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為22.6_m/s(精確到0.1)解析：因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以BAD60°，CAD45°.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC14v.在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC，所以(14v)2(100)220022×100×200×cos135°，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.16某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S.故當(dāng)t時(shí)，Smin10，v30.即小艇以