高中必修三統(tǒng)計知識點整理

1、 高中數(shù)學(xué)必修3知識點總結(jié)第二章 統(tǒng)計2.1.1 簡單隨機(jī)抽樣1簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性一樣（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。2簡單隨機(jī)抽樣常用的方法： （1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差圍；概率保證程度。3抽簽法: （1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號； （2）準(zhǔn)

2、備抽簽的工具，實施抽簽 （3）對樣本中的每一個個體進(jìn)行測量或調(diào)查 例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。4隨機(jī)數(shù)表法： 例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣1系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分

3、布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣1分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：1先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2先以分層變量將

4、總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）以保證各層部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3分層的比例問題： （1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。 （2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，

5、此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。例1 某大學(xué)為了支援我國西部教育事業(yè)，決定從2007應(yīng)屆畢業(yè)生報名的18名志愿者中，選取6人組成志愿小組.請用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法設(shè)計抽樣方案.解 抽簽法：第一步：將18名志愿者編號，編號為1，2，3，18.第二步：將18個分別寫在18外形完全一樣的紙條上，并揉成團(tuán)，制成號簽；第三步：將18個號簽放入一個不透明的盒子里，充分?jǐn)噭?；第四步：從盒子中逐個抽取6個號簽，并記錄上面的編號；第五步：所得對應(yīng)的志

6、愿者，就是志愿小組的成員.隨機(jī)數(shù)表法：第一步：將18名志愿者編號，編號為01，02，03，18.第二步：在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)作為開始，按任意方向讀數(shù)，比如第8行第29列的數(shù)7開始，向右讀；第三步：從數(shù)7開始，向右讀，每次取兩位，凡不在0118中的數(shù)，或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次可得到12，07，15，13，02，09.第四步：找出以上對應(yīng)的志愿者，就是志愿小組的成員.例2 某工廠有1 003名工人，從中抽取10人參加體檢，試用系統(tǒng)抽樣進(jìn)行具體實施.解 （1）將每個人隨機(jī)編一個號由0001至1003.（2）利用隨機(jī)數(shù)法找到3個號將這3名工人剔除. (3)將剩余的1 000名工人重新隨機(jī)編

7、號由0001至1000.（4）分段，取間隔k=100將總體均分為10段，每段含100個工人.（5）從第一段即為0001號到0100號中隨機(jī)抽取一個號l.（6）按編號將l，100+l，200+l,，900+l共10個選出，這10個所對應(yīng)的工人組成樣本.例3 （14分）某一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為32523，從3萬人中抽取一個300人 的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置與水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程.解 應(yīng)采取分層抽樣的方法.過程如下：（1）將3萬人分為五層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.（2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.30

8、0=60（人）；300=40（人）；300=100（人）；300=40（人）；300=60（人），因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人.（3）將300人組到一起即得到一個樣本.2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1、本均值：2、樣本標(biāo)準(zhǔn)差：3用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。4（1）如果把一組數(shù)據(jù)中

9、的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變.（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍.（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理.例1 為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機(jī)抽取了8個進(jìn)行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)（單位：1 000 km）輪胎A96，112,97,108,100,103,86,98輪胎B108，101，94，105，96，93，97，106（1）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)，中位數(shù)；（2）分別計算A，B兩種輪胎行

10、駛的最遠(yuǎn)里程的極差、標(biāo)準(zhǔn)差；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為哪種型號的輪胎性能更加穩(wěn)定？解 （1）A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為：=100,中位數(shù)為： =99；B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為：=100,中位數(shù)為：=99.(2)A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：112-86=26，標(biāo)準(zhǔn)差為：s=7.43；B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：108-93=15，標(biāo)準(zhǔn)差為：s= =5.43.（3）由于A和B的最遠(yuǎn)行駛里程的平均數(shù)一樣，而B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差和標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以B輪胎性能更加穩(wěn)定.例2（14分）某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30 min抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)

11、如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：110，115，90，85，75，115，110.（1）這種抽樣方法是哪一種？（2）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；（3）將兩組數(shù)據(jù)比較，說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定.解 （1）因為間隔時間一樣，故是系統(tǒng)抽樣.（2）莖葉圖如下：（3）甲車間：平均值：=（102+101+99+98+103+98+99）=100，方差：s12=（102-100）2+（101-100）2+（99-100）23.428 6.乙車間：平均值：=（110+115+90+85+75+115+110）=100，方差：s22=（110-100)2+（115-100)2+（110

12、-100)2228.571 4.=，s12s22,甲車間產(chǎn)品穩(wěn)定.2.3.2兩個變量的線性相關(guān)1、概念: （1）回歸直線方程 （2）回歸系數(shù)2最小二乘法3直線回歸方程的應(yīng)用 （1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系 （2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進(jìn)行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。 （3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。4應(yīng)用直線回歸的注意事項 （1）

13、做回歸分析要有實際意義； （2）回歸分析前,最好先作出散點圖； （3）回歸直線不要外延。5. 回歸直線方程的推導(dǎo) 設(shè)x與y是具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于樣本的一組觀測值的n個點的坐標(biāo)分別是：，下面給出回歸方程的推導(dǎo)。 設(shè)所求的回歸方程為，其中是待確定的參數(shù)，那么：，（），樣本中各個點的偏差是 ，（）顯然，上面的各個偏差的符號有正、有負(fù)，如果將他們相加會相互抵消一部分，因此他們的和不能代表n個點與回歸直線在整體上的接近程度，而是采用n個偏差的平方和來表示n個點與相應(yīng)直線（回歸直線）在整體上的接近程度。即求出當(dāng)取最小值時的的值，就求出了回歸方程。 （一） 先證明兩個在變形中用到的公式：公式

14、（1） 其中 因為所以公式（） 因為所以（二）推導(dǎo)：將的表達(dá)式的各項先展開，再合并、變形 -展開 -以a，b為同類項，合并 -以a，b的次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)整理 -將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為平均數(shù) -配方法 -展開 -整理-用公式（一）、（二）變形 -配方 在上式中，共有四項，后兩項與a，b無關(guān)，為常數(shù)；前兩項是兩個非負(fù)數(shù)的和，因此要使得區(qū)的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項的值都為0。所以 或 -用公式（一）、（二）變形得 （三）總結(jié)規(guī)律：上述推倒過程是圍繞著待定參數(shù)a，b進(jìn)行的，只含有的部分是常數(shù)或系數(shù)，用到的方法有（1）配方法，有兩次配方，分別是a的二次三項式和b的二次三項式；（2）變形時，用到公式（一）、（二）和整體思想

15、；（3）用平方的非負(fù)性求最小值。(4)實際計算時，通常是分步計算：先求出，再分別計算， 或，的值，最后就可以計算出a，b的值。6相關(guān)系數(shù)r統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)的強弱，當(dāng)不全為零，yi也不全為零時，則兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式是：r就叫做變量y與x的相關(guān)系數(shù)（簡稱相關(guān)系數(shù)）說明：（1）對于相關(guān)系數(shù)r，首先值得注意的是它的符號，當(dāng)r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時，表示兩個變量x，y負(fù)相關(guān)；（2）另外注意r的大小，如果，那么正相關(guān)很強；如果，那么負(fù)相關(guān)很強；如果或，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱例1測得某國10對父子身高（單位：英寸）如下：父親身高（）60626465666768707274兒子身高（）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）對變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗；（2）如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子身高解：（1），所以，所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系（2）設(shè)回歸直線方程為，則， 故所求的回歸直線方程為（3）當(dāng)英寸時，所以當(dāng)父親身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸點評：回歸直線是對兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的定量描述，利用回歸直線，可以對一些實際問題進(jìn)行分析、預(yù)測，