運籌學課程04-靈敏度分析

1、NEUQNEUQ2022-3-91靈敏度分析又稱靈敏度分析又稱“后驗分析后驗分析”，它是對已經(jīng)得到的最優(yōu)，它是對已經(jīng)得到的最優(yōu)方案改變某些條件來檢驗最優(yōu)解的方案改變某些條件來檢驗最優(yōu)解的“穩(wěn)定性穩(wěn)定性”以及目標以及目標函數(shù)最優(yōu)值隨各種條件變化的函數(shù)最優(yōu)值隨各種條件變化的“敏感性敏感性”；換言之，假；換言之，假定對于已知線性規(guī)劃問題已求得的最優(yōu)解是獲得的最大定對于已知線性規(guī)劃問題已求得的最優(yōu)解是獲得的最大利潤的生產(chǎn)計劃安排，現(xiàn)在如果在生產(chǎn)過程中成本系數(shù)利潤的生產(chǎn)計劃安排，現(xiàn)在如果在生產(chǎn)過程中成本系數(shù)向量向量C C，約束常數(shù)向量，約束常數(shù)向量b, b,約束系數(shù)約束系數(shù)A A以及其他條件發(fā)生變以及其

2、他條件發(fā)生變化或波動，這些變化限制在什么范圍內，在原來得到的化或波動，這些變化限制在什么范圍內，在原來得到的最優(yōu)安排仍為最優(yōu)，而不需要改變工作計劃？最優(yōu)安排仍為最優(yōu)，而不需要改變工作計劃？解決這些問題的理論和方法就是靈敏度分析解決這些問題的理論和方法就是靈敏度分析靈敏度越小，解的穩(wěn)定性越好靈敏度越小，解的穩(wěn)定性越好NEUQNEUQ2022-3-92靈敏度分析包括以下幾個方面的內容靈敏度分析包括以下幾個方面的內容分析成本系數(shù)向量分析成本系數(shù)向量C C的變化對解和目標函數(shù)值的的變化對解和目標函數(shù)值的影響影響分析約束常數(shù)向量分析約束常數(shù)向量b b的變化對解的影響，以及通的變化對解的影響，以及通過對偶

3、最優(yōu)解研究過對偶最優(yōu)解研究b b的變化對目標函數(shù)值的影響的變化對目標函數(shù)值的影響分析系數(shù)矩陣分析系數(shù)矩陣A A中元素變化對解和目標值的影響中元素變化對解和目標值的影響增加新變化量時最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化增加新變化量時最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化增加新的約束條件后對最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響增加新的約束條件后對最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響NEUQNEUQ2022-3-93單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）0maxXbAXCXz線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題0, 00maxsssXXbIXAXXCXz化為標準型化為標準型NEUQNEUQ2022-3-94單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣

4、描述（回顧）),(),(NBNBCCCXXXNBAbNXBXbXXNBNBNB),(NEUQNEUQ2022-3-95初始單純形表初始單純形表00NBjjssNBCCzcINBbXXXX非基變量非基變量基變量基變量初始基變量初始基變量單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）NEUQNEUQ2022-3-96111110BCNBCCzcBNBIbBXCXXXBBNjjBBsNB基變量基變量非基變量非基變量當前檢驗數(shù)當前檢驗數(shù)當前基解當前基解設若干步迭代后，基變量為設若干步迭代后，基變量為 ,在初始單純形在初始單純形表中的系數(shù)矩陣為表中的系數(shù)矩陣為B，而，而A中去掉中去掉B的若

5、干列組成矩的若干列組成矩陣陣N，則迭代后的單純形表為：，則迭代后的單純形表為： BXBX單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）NEUQNEUQ2022-3-97單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）0011BCNBCCBBN001BBCCICCBBBBBX檢驗數(shù)檢驗數(shù)0011BCABCCBB因此因此NEUQNEUQ2022-3-98一、目標函數(shù)系數(shù)一、目標函數(shù)系數(shù)C C（價值系統(tǒng)）（價值系統(tǒng)）變化變化 c cj j 變動可能由于市場價格的波動，或生產(chǎn)成本的變動變動可能由于市場價格的波動，或生產(chǎn)成本的變動 c cj j 的靈敏度分析是在保證最優(yōu)解的基變

6、量不變的情況下，的靈敏度分析是在保證最優(yōu)解的基變量不變的情況下，分析分析c cj j 允許的變動范圍允許的變動范圍 c cj j c cj j 的變化會引起檢驗數(shù)的變化，有兩種情況的變化會引起檢驗數(shù)的變化，有兩種情況 非基變量價值系數(shù)變化，不影響其它檢驗數(shù)非基變量價值系數(shù)變化，不影響其它檢驗數(shù) 基變量價值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗數(shù)基變量價值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗數(shù)NEUQNEUQ2022-3-99此表仍為最優(yōu)，此表仍為最優(yōu)，此時最優(yōu)解不變但最優(yōu)值改變此時最優(yōu)解不變但最優(yōu)值改變此表不是最優(yōu)單純形表此表不是最優(yōu)單純形表檢驗數(shù)和最優(yōu)值改變檢驗數(shù)和最優(yōu)值改變，用單純形法繼續(xù)迭代用單純形法

7、繼續(xù)迭代不變但01bBCC當變?yōu)闀r，01NBCCBN若01NBCCBN若 XB XN常數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1b00NEUQNEUQ2022-3-9101 1、非基變量對應的價值系數(shù)的靈敏度分析、非基變量對應的價值系數(shù)的靈敏度分析 則最優(yōu)解不變；否則，將最優(yōu)單純形表的檢驗數(shù)則最優(yōu)解不變；否則，將最優(yōu)單純形表的檢驗數(shù) k k 用用 k k取代，繼續(xù)單純形法的表格計算取代，繼續(xù)單純形法的表格計算。 kkcc1mkkkiikkkiccc ac0kkkc kc設設變化為變化為只要只要即即1kkkkicccc 結結論論 ：若若是是非非基基變變

8、量量的的系系數(shù)數(shù)，則則當當 的的改改變變量量在在范范圍圍內內時時，最最優(yōu)優(yōu)解解不不變變NEUQNEUQ2022-3-911 例：最優(yōu)單純形表例：最優(yōu)單純形表 從表中看到從表中看到3 3= = c c3 3+c c3 3-(-(c c2 2a a1313+ +c c1 1a a23 23 ) ) 可得到可得到c c3 3 9/5 9/5 時，原最優(yōu)解不變。時，原最優(yōu)解不變。CI-2-3-400CBXBbX1X2X3X4X5-3 X22/501-1/5 -2/51/5-2 X111/5107/5-1/5 -2/5j00-9/5 -8/5 -1/5CI-2-3-4+c300CBXBbX1X2X3X4

9、X5-3 X22/501-1/5-2/51/5-2 X111/5107/5-1/5-2/5j00-9/5+c3-8/5-1/5NEUQNEUQ2022-3-9122 2、基變量對應的價值系數(shù)的靈敏度分析、基變量對應的價值系數(shù)的靈敏度分析由于基變量對應的價值系數(shù)在由于基變量對應的價值系數(shù)在 中出現(xiàn)，因此它會影響所中出現(xiàn)，因此它會影響所有非基變量的檢驗數(shù)。設有非基變量的檢驗數(shù)。設 中一個基變量的中一個基變量的 發(fā)生變發(fā)生變化，變化量為化，變化量為 。 100000jjj (), , , mjjiijkkjijjjjjjkjkkjkjkkjkkjkjkjzzc ac aczzczacaacacaaa

10、要要滿滿足足則則有有當當有有當當有有kckcBCBCNEUQNEUQ2022-3-91300jj, maxminkjkkjjjkjkjacaaa 為為保保證證所所有有非非基基變變量量檢檢驗驗數(shù)數(shù)仍仍滿滿足足最最優(yōu)優(yōu)條條件件 有有200max|,min|,kkkjjkjkkjkjkjcccajNcajNaa 結結論論 ：若若 是是基基變變量量的的系系數(shù)數(shù)，則則當當 的的改改變變量量在在范范圍圍內內時時，最最優(yōu)優(yōu)解解不不變變NEUQNEUQ2022-3-914C i 2 3 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2

11、1/2 1 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 j 0 0 -1.5 -1/8 0 Ci 2 3+C C2 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3+C C2 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 j 0 0 -1.5 -C C2/2 -1/8+C C2/8 0 從表中看到從表中看到j=cj-(c1a1j+c5 a5j+(c2+c2)a2j) j=3,4可得到可得到 -3-3c c2 211時，原最優(yōu)解不變。時，原最優(yōu)解不變。NEUQNEUQ2022-3-915設設 XB=B 1b 是最

12、優(yōu)解，則有是最優(yōu)解，則有XB=B 1b 0b 的變化的變化不會不會影響檢驗數(shù)影響檢驗數(shù)b 的變化量的變化量 b 可能導致原最優(yōu)解變?yōu)榉强尚薪饪赡軐е略顑?yōu)解變?yōu)榉强尚薪舛?、右邊項二、右邊?b b 發(fā)生變化的靈敏度分析發(fā)生變化的靈敏度分析NEUQNEUQ2022-3-916 最優(yōu)單純形表：最優(yōu)單純形表：00，設bb 不變01NBCCBNbBCZbBCZBB11bBbB11：若01bB單純形表保持最優(yōu)，1*0XB b最優(yōu)解（， ），bBCZB1*最優(yōu)值：若01bBbBbB11在原最優(yōu)單純形表中，bBCZbBCZBB11，用用對偶單純形法對偶單純形法迭代求出最優(yōu)解迭代求出最優(yōu)解1B求 XB XN常

13、數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1bNEUQNEUQ2022-3-9170.maxXbAXtsCXz對問題0.maxXbXAXtsCXzS標準型bBXBNXBXSNB111最優(yōu)單純形表的最優(yōu)單純形表的s.ts.t中中松弛變量的系數(shù)松弛變量的系數(shù)的求法：1BNEUQNEUQ2022-3-918變化時，原最優(yōu)基不變在什么范圍內變，則其余不問題：設iiiibbbb,miibbbbb1bb 001imibbbbmmmimmimiB1222111111，bB1)(1bbBbBbB11mmmimmimi12221111100ibimiiiiibbb211

14、21mbbB bb 記記12mbbb 1122iiiimmiibbbbbb 0 XB XN常數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1b12mbbb NEUQNEUQ2022-3-91901bBbi在什么范圍內變化時，問題：bB11122iiiimmiibbbbbb 01122000iiiimmiibbbbbb 1122iiiimiimbbbbbb 0ki若,kikibb 0ki若,kikibb min|0kikikibb max|0kkikib 滿足的改變量結論：當iibbmax|0kkikib 原問題的最優(yōu)基不變列的第iB1bB1min|0kik

15、ikibb 01bBNEUQNEUQ2022-3-920121121.iimimBibbB bs tb其中：是的第 列，是最優(yōu)單純形表中的常數(shù)項滿足的改變量結論：當iibb原問題的最優(yōu)基不變max|0kkikib min|0kikikibb NEUQNEUQ2022-3-9211220b、若若勞勞動動力力擁擁有有量量 增增加加了了個個，求求最最優(yōu)優(yōu)生生產(chǎn)產(chǎn)方方案案例：某工廠準備生產(chǎn)例：某工廠準備生產(chǎn)A A、B B、C C三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動力和材料，有關數(shù)據(jù)如下：力和材料，有關數(shù)據(jù)如下： 原料原料 產(chǎn)品產(chǎn)品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售

16、價（元）售價（元）314最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表111Bbb問問題題 、勞勞動動力力擁擁有有量量 的的改改變變量量在在什什么么范范圍圍內內變變化化時時，仍仍然然不不生生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品品2700305ZX最優(yōu)值），（最優(yōu)解X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2022-3-9220|min111kkkbb0|max11kkkb21bb1B0|min11kkkb150|max11kkkb212b111b153060B結結論論：當當勞勞動動力力的的擁擁有有量量在在至至之之間間時時，仍仍然然不不生生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品品1515

17、1b即最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5111bbB問問題題 、勞勞動動力力擁擁有有量量 的的改改變變量量在在什什么么范范圍圍內內變變化化時時，仍仍然然不不生生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品品NEUQNEUQ2022-3-923最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表bB15/ 25/ 13/ 13/ 113/351:BZ C B b35 33 41/,31X1X2X3X4X5X1101-25/301/3X450-5-51-2Z=300-3-10-130050010ZX最優(yōu)值），（最優(yōu)解結論：最優(yōu)生產(chǎn)方案：結論：最優(yōu)生產(chǎn)方案：10

18、10個個A A，其余不生產(chǎn)，其余不生產(chǎn)1220b、若若勞勞動動力力擁擁有有量量 增增加加了了個個，求求最最優(yōu)優(yōu)生生產(chǎn)產(chǎn)方方案案1B 原料原料 產(chǎn)品產(chǎn)品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）3143065X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/513/3531Z=NEUQNEUQ2022-3-924三、新增三、新增決策變量決策變量的靈敏度分析的靈敏度分析研究：增加新變量時最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化NEUQNEUQ2022-3-925資源的合理利用問題：資源的合理利用問題：資源單位消費產(chǎn)品mAAA

19、21nBBB21mnmmnnaaaaaaaaa212222111211資源限制mbbb21單位利潤nccc21nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121110,21nxxx的總利潤最大？利用現(xiàn)有資源，使獲得排生產(chǎn)計劃，才能充分下表，問如何安件產(chǎn)品可獲得的利潤如資源的數(shù)量限制以及每所消費的資源數(shù)、每種種資源，已知每件產(chǎn)品，耗種產(chǎn)品，要消，周期內生產(chǎn)某廠計劃在下一個生產(chǎn)mnAAABBB2121), 2 , 1njBxjj（的產(chǎn)量表示產(chǎn)品解：設新問題：工廠研制了一種新產(chǎn)品，估計單位利新問題：工廠研制了一種新產(chǎn)品，

20、估計單位利 潤為潤為c cn+1n+1，問是否投入生產(chǎn)，若投入生產(chǎn)，問是否投入生產(chǎn)，若投入生產(chǎn)，求最優(yōu)生產(chǎn)方案求最優(yōu)生產(chǎn)方案1112111nmnnnncaaaB111nnxc111nnxa112nnxa11nnmxa1NEUQNEUQ2022-3-926nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mBcccC,210,21nxxx對問題：對問題：mPPPB,21設最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表nmmPPPN,21，mBxxxX,21nmmNcccC,21nmmNxxxX,21mbbbb,21mnmmnnaaaa

21、aaaaaA212222111211nPPP,21增加一個新變量xn+1 XB XN常數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1bNEUQNEUQ2022-3-927nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121110,21nxxx對問題：對問題：mPPPB,21設 XB XN常數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1b最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表bb BB 基增加一個新變量增加一個新變量x xn+1n+1111nnxc111

22、nnxa112nnxa11nnmxaBBXX BBCC 11,nnmPPPNN， 11,NNmnnXXxx x 11, ,NNmnnCCcc c 1nP1nPN，1,nNxX1,nNcC1nxNBCCNBCCBNBN11NBNB11NBCCBN11,nNcC11,nBPNBC1,nNcC111,nBBPBCNBC1111,nBnBNPBCcNBCC111nBnPBCcNB111nPNB，111nPBNB，11nPBNEUQNEUQ2022-3-928112211maxnnnnxcxcxcxczmnmnnmnmmnnnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa1122112

23、1122222121111112121110,121nnxxxx對新問題：對新問題： XB XN常數(shù)項常數(shù)項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ：CBB-1b最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表1nx111nBnPBCc11nPB，此時01NBCCBN01bB：若0111nBnPBCc此表達到最優(yōu)此表達到最優(yōu)為非基變量1nx：若0111nBnPBCc此表未達到最優(yōu)此表未達到最優(yōu)為入基變量，1nx用單純形法迭代用單純形法迭代至找到最優(yōu)解至找到最優(yōu)解0*1nx新產(chǎn)品不投產(chǎn)NEUQNEUQ2022-3-929例：某工廠準備生產(chǎn)例：某工廠準備生產(chǎn)A A、B B、C C三種產(chǎn)品，他們都消耗

24、三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動力和材料，有關數(shù)據(jù)如下：勞動力和材料，有關數(shù)據(jù)如下： 產(chǎn)品產(chǎn)品原料原料ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）314最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表: :2700305ZX），最優(yōu)值，（最優(yōu)解最優(yōu)生產(chǎn)方案：最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個個A，0個個B，3個個C問題問題1、若工廠開發(fā)出第四種產(chǎn)品、若工廠開發(fā)出第四種產(chǎn)品D，預計售價，預計售價2元，元， 生產(chǎn)每個生產(chǎn)每個D產(chǎn)品需要產(chǎn)品需要3個勞動力和個勞動力和3個單位材個單位材 料，問是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？料，問是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？2、若產(chǎn)品、若產(chǎn)品D的售價為的售價為3元，問如何調整生產(chǎn)方案？元，問如何調整生產(chǎn)方案？

25、633P 26c4 , 3BC0616PBCcB？X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2022-3-93033,6P26c616PBCcB 1/31/3323 41/52/53 5/ 2,6xD的產(chǎn)量為設產(chǎn)品525131311B問題問題1、若工廠開發(fā)出第四種產(chǎn)品、若工廠開發(fā)出第四種產(chǎn)品D，預計售價，預計售價2元，元， 生產(chǎn)每個生產(chǎn)每個D產(chǎn)品需要產(chǎn)品需要3個勞動力和個勞動力和3個單位材個單位材 料，問是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？料，問是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？0最優(yōu)基不變，X6是非基變量，在最優(yōu)解中取0即當新產(chǎn)品即當新產(chǎn)品D的售

26、價為的售價為2元時，不生產(chǎn)該產(chǎn)品。元時，不生產(chǎn)該產(chǎn)品。NEUQNEUQ2022-3-931X603/53/5最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表: :061PB335/ 25/ 13/ 13/ 15/ 302、若產(chǎn)品、若產(chǎn)品D的售價為的售價為3元，問如何調整生產(chǎn)方案？元，問如何調整生產(chǎn)方案？33,6P36c525131311B616PBCcB335/ 25/ 13/ 13/ 14335/ 3X1X2X3X4X5X6X151-1/301/3-1/30X6505/35/3-1/32/31Z=300-3-10-105 0 0 0 0,530XZ最優(yōu)解（ ，），最優(yōu)值最優(yōu)生產(chǎn)方案：最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個個A產(chǎn)品，產(chǎn)品

27、， 0個個B產(chǎn)品，產(chǎn)品， 0個個C產(chǎn)品，產(chǎn)品， 5個個D產(chǎn)品產(chǎn)品X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2022-3-932四、新增四、新增約束條件約束條件的靈敏度分析的靈敏度分析 1 1、將最優(yōu)解代入新的約束條件，若滿足，則最優(yōu)、將最優(yōu)解代入新的約束條件，若滿足，則最優(yōu) 解不變解不變2 2、若不滿足，則當前最優(yōu)解要發(fā)生變化；將新增約、若不滿足，則當前最優(yōu)解要發(fā)生變化；將新增約 束條件加入最優(yōu)單純形表

28、，并變換為標準型束條件加入最優(yōu)單純形表，并變換為標準型3 3、利用單純形法或對偶單純形法繼續(xù)迭代、利用單純形法或對偶單純形法繼續(xù)迭代 為什么可以利用對偶單純形法？為什么可以利用對偶單純形法？NEUQNEUQ2022-3-933例：某工廠準備生產(chǎn)例：某工廠準備生產(chǎn)A A、B B、C C三種產(chǎn)品，他們都消耗三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動力和材料，有關數(shù)據(jù)如下：勞動力和材料，有關數(shù)據(jù)如下： 原料原料 產(chǎn)品產(chǎn)品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）3142700305ZX最優(yōu)值），（最優(yōu)解最優(yōu)生產(chǎn)方案：最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個個A，0個個B，3個個C新問題：新問題：由于特殊原因，要求至由于特殊原因，要求至少生產(chǎn)少生產(chǎn)6個個C產(chǎn)品，求最產(chǎn)品，求最優(yōu)生產(chǎn)方案優(yōu)生產(chǎn)方案63x即最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表63*3x顯然63x約束方程：在最優(yōu)單純形表中增加663xx為基變量并取6xX1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/5300000-1001-6X6X6NEUQNEUQ2022-3-934X1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/53X6X6000X1X