基于FPGA的四階IIR數(shù)字濾波器

1、基于FPGA的四階IIR數(shù)字濾波器   摘要：采用FPGA實(shí)現(xiàn)四階IIR數(shù)字濾波器，通過兩個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)構(gòu)成數(shù)字橢圓低通濾波器。通帶內(nèi)波紋小于0.1dB，阻帶衰減大于32dB。關(guān)鍵詞：四階 IIR 橢圓濾波器 補(bǔ)碼陣列乘法器常用的數(shù)字濾波器有數(shù)字濾波器和數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器具有精確的線性相位特性，在信號(hào)處理方面應(yīng)用極為廣泛，而且可以采用事先設(shè)計(jì)調(diào)試好的數(shù)字濾波器 來完成設(shè)計(jì)，例如公司提供的針對(duì)系列可編程器件的，但是需要向公司購買或申請(qǐng)?jiān)囉冒?。另外，?duì)于相同的設(shè)計(jì)指標(biāo)，濾波器所要求的階數(shù)比濾波器高倍，成本較高，而且信號(hào)的延遲也較大。濾波器所要求的階數(shù)不僅比濾波器低，而且可以利

2、用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果，設(shè)計(jì)工作量相對(duì)較小，采用實(shí)現(xiàn)的濾波器同樣具有多種優(yōu)越性。濾波器主要有巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器幾種。給出了以上三種濾波器實(shí)現(xiàn)同樣性能指標(biāo)所需的階數(shù)及阻帶衰減的比較，如表所示。表1 三種濾波器的性能比較原  型階  數(shù)阻帶衰減/dB巴特沃斯615切比雪夫I型425橢圓函數(shù)327由表可見，橢圓濾波器給出的設(shè)計(jì)階數(shù)比前兩種低，而且頻率特性較好，過渡帶較窄，但是橢圓濾波器在通帶上的非線性相位響應(yīng)最明顯。本系統(tǒng)選用橢圓函數(shù)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。 原理分析數(shù)字濾波器實(shí)際上是一個(gè)采用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性非時(shí)變離散系統(tǒng)，它的設(shè)計(jì)步驟為：首先根據(jù)實(shí)際需要確

3、定其性能指標(biāo)，再求得系統(tǒng)函數(shù)（），最后采用有限精度算法實(shí)現(xiàn)。根據(jù)需要，本系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)為：模擬信號(hào)采樣頻率為，每周期最少采樣點(diǎn)，即模擬信號(hào)的通帶邊緣頻率為，阻帶邊緣頻率，通帶波動(dòng)不大于（通帶誤差不大于），阻帶衰減不小于。換算為數(shù)字域指標(biāo)為：，。系統(tǒng)函數(shù)（）的計(jì)算采用軟件比較方便，其中有兩個(gè)現(xiàn)成的函數(shù)可以使用：（，）函數(shù)用來計(jì)算數(shù)字橢圓濾波器的階次和截止頻率，而（，）函數(shù)可以求得直接型橢圓濾波器的各個(gè)系數(shù)。通過調(diào)用以上兩個(gè)函數(shù)計(jì)算得到的系統(tǒng)函數(shù)（）為：這是一個(gè)四階系統(tǒng)，計(jì)算出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖所示，可見滿足設(shè)計(jì)要求。如果采用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，需用的乘法器和延遲單元相對(duì)較多，而且分子和分母的系數(shù)相

4、差較大，需要較多的二進(jìn)制位數(shù)才能實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的精度要求。如果采用二階節(jié)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，一來各基本節(jié)的零點(diǎn)、極點(diǎn)可以很方便地單獨(dú)進(jìn)行調(diào)整，二來可以降低對(duì)二進(jìn)制數(shù)位數(shù)的要求。給出了一個(gè)直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)為級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的文件，利用該函數(shù)求得系統(tǒng)函數(shù)的級(jí)聯(lián)表達(dá)形式為：（）（）×（）（0.11-0.1041z -1+0.11z -2）/(1-1.58z -1+0.6469z -2)×(0.2464-0.426z -1+0.2464z -2)/(1-1.7753z -1+0.892z -2)由上式可以看出，每個(gè)二階節(jié)的分子、分母系數(shù)差異減少了。值得注意的是，在分配二階節(jié)的增益時(shí)，要保證每個(gè)節(jié)不會(huì)發(fā)生運(yùn)算

5、溢出，可以先用軟件分析計(jì)算來合理安排各節(jié)的增益。經(jīng)過計(jì)算，本文采用第一級(jí)分配.，第二級(jí)分配.,可以保證在要求的輸入范圍，沒有數(shù)據(jù)溢出發(fā)生。 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)將第一個(gè)二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)表示為差分方程:()()()()()()().()().().()可以看出，一個(gè)二階節(jié)的實(shí)現(xiàn)需要五次乘法運(yùn)算、四次加法運(yùn)算（采用二進(jìn)制補(bǔ)碼將減法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算）。兩個(gè)二階節(jié)共需要十次乘法運(yùn)算。雖然現(xiàn)在已有上千萬門的產(chǎn)品可供選用，但是一般應(yīng)用時(shí)全部采用硬件陣列乘法器畢竟不太合適，而如果采用串行乘法器進(jìn)行分時(shí)復(fù)用，其工作速度也不太理想。本文采用一個(gè)折中的方法實(shí)現(xiàn)，即乘加單元（）的乘法器采用陣列乘法器，而不使用串行乘法器，以提高

6、運(yùn)算速度。需要注意的是，的庫中乘法運(yùn)算為無符號(hào)數(shù)的陣列乘法，所以使用時(shí)需要先將兩個(gè)補(bǔ)碼乘數(shù)轉(zhuǎn)換為無符號(hào)數(shù)相乘后，再將乘積轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼乘積輸出。每個(gè)二階節(jié)完成一次運(yùn)算共需要個(gè)時(shí)鐘周期，而且需采用各自獨(dú)立的實(shí)現(xiàn)兩級(jí)流水線結(jié)構(gòu)，即每個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)過兩個(gè)二階節(jié)輸出只需要個(gè)時(shí)鐘周期。 系統(tǒng)原理框圖系統(tǒng)原理框圖如圖所示，模擬信號(hào)經(jīng)過轉(zhuǎn)換為的二進(jìn)制數(shù)后，送入四階低通濾波器，處理后輸出位二進(jìn)制數(shù)送得到雙極性的模擬電壓輸出。圖3 四階IIR濾波器的頂層原理圖    頂層模塊頂層模塊如圖所示。主要由一個(gè)時(shí)序控制模塊、兩個(gè)二階節(jié)模塊（和）構(gòu)成。模塊設(shè)計(jì)為位二進(jìn)制補(bǔ)碼輸入，最高位為補(bǔ)碼符號(hào)位，次

7、高位用于防止運(yùn)算時(shí)的溢出?？梢娫撃K實(shí)際可以輸入位二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)，但的輸出數(shù)據(jù)為位，輸入到模塊時(shí)，將和引腳均接地，即輸入為正極性電壓。輸入端為異步清零端，高電平有效。當(dāng)輸入時(shí)鐘為時(shí)，模塊產(chǎn)生一個(gè)頻率為的輸出時(shí)鐘提供給。輸出數(shù)據(jù)為位二進(jìn)制補(bǔ)碼。和模塊構(gòu)成級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 和模塊、模塊主要由兩個(gè)模塊構(gòu)成，一個(gè)是數(shù)據(jù)移位模塊，在時(shí)鐘作用下將差分方程的各、值延遲一個(gè)時(shí)鐘；另一個(gè)模塊是補(bǔ)碼乘加單元，用語言編寫，兩個(gè)乘數(shù)先取補(bǔ)后再進(jìn)行陣列乘法，在時(shí)鐘控制下完成一次乘加運(yùn)算，乘積取補(bǔ)后輸出，共需要個(gè)時(shí)鐘。差分方程的各系數(shù)如表所示，采用位定點(diǎn)純小數(shù)補(bǔ)碼表示。表2 二階差分方程的系數(shù)系  數(shù)a0a1a2b0b

8、1IIR101CH3E6H01CH194H35BHIIR203FH393H03FH1C6H31CH另外?熏模塊中的五個(gè)系數(shù)定義為常數(shù)，以節(jié)省硬件資源，并且采用舍入法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，盡量提高數(shù)據(jù)運(yùn)算精度。程序如下： (,: :,: ( );: ( ); ; ,:; : ( ); ,:( ); ,:( ); :( ); :, ); ,:( ); :( :“”（其余常數(shù)說明略） ;求補(bǔ)后送陣列乘法器 ' (') ; ' (') ;'''' ' (') ; ('); (');( );( );();();*;(

9、') (“”) ; (,) ' “”;('); (' ') ; () ()' ( )( );()（）； （ ）（ ）；（）（）； ； ； ； ； ；模塊的輸出數(shù)據(jù)采用將補(bǔ)碼最高符號(hào)位直接取反轉(zhuǎn)換為移碼后，就可以送到實(shí)現(xiàn)雙極性信號(hào)輸出。 系統(tǒng)性能測試系統(tǒng)性能的測試采用單極性方波周期信號(hào)作為輸入信號(hào)。信號(hào)的頻率為，在采樣頻率為時(shí)，每個(gè)周期采樣個(gè)點(diǎn)，換算成數(shù)字域頻率為，其二次諧波的數(shù)字頻率為。輸入到的信號(hào)電壓幅度為，則經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸出為。由于低通濾波器的阻帶截止頻率選在，衰減，由信號(hào)理論分析可知，周期方波信號(hào)沒有二次諧波，所以對(duì)三次諧波的衰減經(jīng)過濾波器

10、后輸出有直流分量的基波（頻率為）正弦信號(hào)。理論計(jì)算給出的方波周期信號(hào)基波幅度為：2E/(2×255)/輸入一個(gè)周期的數(shù)據(jù)，的計(jì)算值與的仿真值如表所示。表3 濾波后輸出的數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)255255255255255255255255255255計(jì)算值28.7-8.2-29.4-34.9-25.2-1.334.880.0130.5182.0仿真值321020999993100213680129179輸入數(shù)據(jù)0000000000計(jì)算值223.4260.2281.4286.9277.2253.2217.1172.0121.570.1仿真值21925527628227325021517112272由表可見，仿真輸出值為補(bǔ)碼，谷點(diǎn)輸出值換算成符號(hào)數(shù)為。軟件計(jì)算的滿度輸出值為，其基波幅度為.(.9).，與理論值的誤差為:(160.9-162.34)/162.34.四階濾波器實(shí)現(xiàn)的滿度輸出值為().，與理論值的誤差為：（156.5-162.34）/162.34.這是由于有限精度算法所引起的誤差，可以通過增加二進(jìn)制位數(shù)來提高系統(tǒng)的運(yùn)算精度。圖給出單極性方波信號(hào)的前三個(gè)周期經(jīng)