用立體幾何軟件輔助中學(xué)立體幾何教學(xué)

1、編號(hào)：08005110206南陽師范學(xué)院2012屆畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目：用立體幾何軟件輔助中學(xué)立體幾何教學(xué)完成人：李亞威班級(jí)：2008-02學(xué)制：4年專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：王峰完成日期： 2012-03-31目錄摘要(1)O 引言 (1)1 立體幾何軟件的優(yōu)點(diǎn) (2)1.1 一種可以進(jìn)行形象化教學(xué)的工具 (2)1.2 一種可以進(jìn)行立體幾何數(shù)值計(jì)算的工具 (2)1.3 一種可以進(jìn)行提高學(xué)生空間想象能力和空間作圖能力的工具 (2)2用立體幾何軟件的功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) (2)2.1用立體幾何軟件的動(dòng)態(tài)作圖功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) (2)2.2用立體幾何軟件的軌跡生成功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

2、 (4)2.3 用立體幾何軟件的測(cè)量功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) (7)2.4 用立體幾何軟件的其他功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) (9)3 小結(jié) (9)參考文獻(xiàn) (10)Abstract (10)用立體幾何軟件輔助中學(xué)立體幾何教學(xué)作 者：李亞威 指導(dǎo)教師：王 峰摘 要 ： 介紹了立體幾何軟件的優(yōu)點(diǎn)，從立體幾何軟件的動(dòng)態(tài)作圖功能、軌跡生成功 能、測(cè)量功能和其它功能四個(gè)方面討論了利用其輔助中學(xué)立體幾何教學(xué)的問題關(guān)鍵詞： 立體幾何軟件；立體幾何；計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)0 引言隨著高科技信息技術(shù)的發(fā)展，教學(xué)軟件也逐步走進(jìn)高中課堂教學(xué)當(dāng)中. 立體幾何軟件是一種針對(duì)高中數(shù)學(xué)中的立體幾何這一章節(jié)而設(shè)計(jì)的軟件. 對(duì)于高中生來說，立體

3、幾何即是重點(diǎn)也是難點(diǎn)而立體幾何圖軟件的開發(fā) 針對(duì)立體幾何學(xué)科的特點(diǎn) , 將抽象的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系生動(dòng)形象地展示出來 . 它 從根本上改變了數(shù)學(xué)教學(xué)立體幾何這一章節(jié)的方式，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀 念和空間想象能力 1 智能教育軟件立體幾何軟件的開發(fā)和應(yīng)用，能夠使廣大教師減輕 不必要的勞動(dòng)，提高教學(xué)效率和質(zhì)量，把更多時(shí)間和精力投入創(chuàng)造性的工 作能夠提高廣大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)和信息技術(shù)的興趣，減輕他們的 負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)他們的空間想象和邏輯思維能力，發(fā)展他們觀察實(shí)驗(yàn)探索創(chuàng)新 的品質(zhì)立體幾何軟件使得教學(xué)手段，教學(xué)方法，教學(xué)觀念與形式，課堂 教學(xué)結(jié)構(gòu)以至數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論都發(fā)生了變革在國(guó)外，數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)課程整合已

4、經(jīng)引起了越來越多的關(guān)注，成為 21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育發(fā)展趨勢(shì)在國(guó)內(nèi)，由教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心 主持的“ Z+Z智能教育平臺(tái)用于國(guó)家數(shù)學(xué)課程改革的實(shí)驗(yàn)研究”課題已經(jīng)圓 滿結(jié)束，涌現(xiàn)出許多研究成果 2-10 但是在整合過程中 , 他們顯示出一些優(yōu) 勢(shì)，同時(shí)也暴露出了一些問題，還有許多教師，對(duì)于如何運(yùn)用軟件很好的 組織教學(xué)，也缺乏一定的經(jīng)驗(yàn)本文將主要介紹立體幾何軟件的優(yōu)點(diǎn)和從立體幾何軟件的動(dòng)態(tài)作圖功 能、軌跡生成功能、測(cè)量功能和其它功能四個(gè)方面討論了利用其輔助中學(xué) 立體幾何教學(xué)的問題1 立體幾何軟件的優(yōu)點(diǎn)1.1 一種可以進(jìn)行形象化教學(xué)的工具 立體幾何是研究空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算及其應(yīng)用的學(xué)科，

5、并要 抽象地研究空間圖形所顯示的幾何性質(zhì)因此，在立體幾何教學(xué)中要讓學(xué) 生明確抽象的幾何性質(zhì)、掌握識(shí)圖、計(jì)算、證明等方法，必須首先使學(xué)生 形象化地認(rèn)識(shí)空間幾何圖形可充分利用立體幾何軟件的繪圖功能，對(duì)立 體幾何中的公理、定義進(jìn)行文字與直觀圖形的動(dòng)態(tài)顯示，加深對(duì)抽象概念 的理解在使用這類軟件中，注意把傳統(tǒng)教學(xué)方法與軟件運(yùn)行相結(jié)合，尤 其是在復(fù)習(xí)課中要綜述各種概念內(nèi)容，使用軟件可以省時(shí)間、高效率地簡(jiǎn) 介概念，加上用循環(huán)模式控制間隔時(shí)間，使其更適合課堂教學(xué)要求 2 1.2 一種可以進(jìn)行立體幾何數(shù)值計(jì)算的工具 在立體幾何的數(shù)值計(jì)算中，加強(qiáng)柱、錐、臺(tái)、球體的有關(guān)公式的記憶， 提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的計(jì)算能力通

6、過運(yùn)行立體幾何軟件，能使圖形、 公式、應(yīng)用公式的計(jì)算同時(shí)在屏幕上呈現(xiàn)由學(xué)生單獨(dú)練習(xí)使用，特別是 教師或?qū)W生可以按照自己的設(shè)想，不斷改變輸入的參數(shù)，觀察使用公式的 代數(shù)解題的結(jié)果，是否與自己筆算結(jié)果相同這不僅可以加深學(xué)生對(duì)立體 幾何公式的記憶，而且培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)地探求解題方法的思維，訓(xùn)練了學(xué)生 分析解題的綜合能力，同時(shí)這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣有一定的積 極作用，并且也加強(qiáng)了學(xué)生自學(xué)、自習(xí)的適應(yīng)能力1.3 一種可以進(jìn)行提高學(xué)生空間想象能力和空間作圖能力的工具 立體幾何的圖形是在平面上繪制三維空間的幾何體立體幾何的直觀 圖有較強(qiáng)的立體感, 對(duì)于較復(fù)雜的空間幾何關(guān)系可由直觀圖明確、清晰地 表達(dá)出來

7、而立體幾何軟件可以讓圖形轉(zhuǎn)起來，我們可以從各個(gè)角度去看. 因此立體幾何軟件能提高學(xué)生空間想象能力和空間作圖能力2 用立體幾何軟件的功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2.1 用立體幾何軟件的動(dòng)態(tài)作圖功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 動(dòng)態(tài)作圖功能使使用者可以根據(jù)給定的條件或給定的方程做出圖形. 即通過鼠標(biāo)拖動(dòng)可以平移、旋轉(zhuǎn)圖形，改變它的形狀，并仍保持原來圖形 的幾何關(guān)系不變通過作圖可以很直觀地概括出圖形的幾何關(guān)系通常我 第 2頁（共 10 頁）們使用的尺規(guī)作圖，尺度不易掌握，修改起來也很麻煩，更重要的是你無 法使圖形動(dòng)起來.最多就是把畫有圖形的紙轉(zhuǎn)動(dòng)一下，或者簡(jiǎn)單折疊一下， 這就掩蓋了很多重要的幾何原理，尤其是在立體幾何中

8、，很多圖形不是那 么容易畫出，而且立體坐標(biāo)系的建立就是一個(gè)難題.但立體幾何軟件不僅 能夠輕松地作出漂亮、實(shí)用的圖形，而且為了醒目，還可以畫出粗細(xì)不等、 顏色各異的曲線，并給圖形內(nèi)部涂上各種不同的顏色、畫上不同風(fēng)格的線 條等等.那么，我們先看一下下面的例子.首先作出一個(gè)三棱柱.選擇“菜單一棱柱一三棱柱”，軟件自動(dòng)作出一個(gè)三棱柱（如圖1）.用鼠標(biāo)拖動(dòng)前四個(gè)點(diǎn)即點(diǎn)A, B, C, A1可以改變棱柱的形狀和位置.用 鼠標(biāo)選中工作區(qū)中坐標(biāo)系O前小方框?qū)ⅰ?quot;”去掉隱藏坐標(biāo)系，再選一下出 現(xiàn)“"”時(shí)顯示坐標(biāo)系.作線段 A1C A1B C1B我們可以看到如果沿著面 A1C1B A1B（切開

9、可以將棱柱分成三部分.為了便于觀察，我們利用軟件將 三部分分別從棱柱中“拿”出來.同時(shí)選中點(diǎn) B1、A1、C1、B選菜單“作圖 -特殊圖形-克隆子幾何體”軟件自動(dòng)作出一個(gè)你所選中子幾何體副本.我 們可以看到“拿”出的小子幾何體是一個(gè)小棱錐 B1 /B，,由點(diǎn)控制，拖動(dòng)點(diǎn)可以改變它所在的位置.同樣方法“拿”出其他兩個(gè)也 都為小三棱錐（為了便于觀察隱藏點(diǎn)）（如圖2）.此時(shí)拖動(dòng)點(diǎn)改變棱柱的形 狀.同時(shí)小棱錐也隨之改變.為了便于觀察可以選擇合適的面進(jìn)行填充： 選中面的所有頂點(diǎn)，然后選擇菜單“作圖一填充多邊形”，選擇自己喜歡 的顏色進(jìn)行填充.比如我們可以依次填充面 Al /B /C /,面Al ZB 7

10、第3頁（共10頁）23C1 / 面 A1BC 面 A1BCI（如圖 2）第4頁（共10頁）第#頁（共10頁）圖2棱柱分離通過這個(gè)案例，我們可以感覺到立體幾何軟件的動(dòng)態(tài)作圖功能對(duì)于學(xué) 習(xí)立體幾何是非常有幫助的，不但直觀形象生動(dòng)，而且也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美. 2.2 用立體幾何軟件的軌跡生成功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)某些條件的點(diǎn)的軌跡是什么？我們往往無法精確回答這樣的問題，或 者回答得不圓滿.使用立體幾何軟件，我們可以把條件直接輸入，然后讓 符合條件點(diǎn)動(dòng)起來形成完整的軌跡.這樣學(xué)生不但可以直觀形象的看到.而 且容易理解.下面就以“在圓柱面上怎樣取得一條最短的曲線，并且過底 面一點(diǎn)及另一底面與之相對(duì)的端點(diǎn)？”為

11、例來說明這個(gè)功能是怎樣輔助課 堂教學(xué)的.而我們知道圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，又因?yàn)檫^兩點(diǎn)線段 最短，所以該矩形的對(duì)角線就是最小的了，對(duì)角線在圓柱上對(duì)應(yīng)為圓螺線， 因此問題就解決了.下面就是課件的制作過程.第一步：隱藏坐標(biāo)系.坐標(biāo)系對(duì)我們作圖并沒有影響，因此把它隱藏起來，單擊工作區(qū)中的“0殆坐標(biāo)系0-5 ”，使其前小框中的消失，變?yōu)椤?，這樣就把坐標(biāo)系隱藏了（其它任何對(duì)象可以同樣的方法來隱藏）.對(duì)鎳的用性SP ' pF* Ct 5 ：5?庠曲康J6 h L?W_4J%®:OI31妙超 T - D o D - 6-slr 產(chǎn)& famtll口確宇 （ 帝消 |i!0h型：

12、忻g c 4-H-1 tdggsmw 鼠亞fewI13.衛(wèi)口!au.Q£2Ba.2 - i 1 3 1 T = 一一 于壯匕二&黑血fx：圖3輸入?yún)?shù)方程*t*朗JK性坐存|邑坐折g y. t.l用玲卑理:血號(hào)B.1 淖；=鮎I圖4“點(diǎn)”的輸入第二步：作圓螺線.已知圓螺線的參數(shù)方程可以寫成：x=a*cos（s）,y=a*sin（s） ，z=s（a為常數(shù)，s為參數(shù)），因此單擊菜單命令“作圖一直線、 射線、向量、線段和曲線一參數(shù)曲線”，在彈出的對(duì)話框的“曲線方程” 中相應(yīng)輸入圓螺線的參數(shù)方程（如圖3），然后單擊“確認(rèn)輸入”.因?yàn)閍 是常數(shù)，所以給它一個(gè)定值，單擊“參數(shù)值”欄中的

13、a,然后在其下面的輸 入框中輸入3.再修改參數(shù)的范圍，在“參數(shù)范圍”欄選擇 s,接著輸入范 圍0, 10完成了圓螺線的方程輸入，“確定”退出，作圖區(qū)中則出現(xiàn)一條 曲線，正是圓螺線.第三步：在圓螺線上取點(diǎn).因?yàn)闆]有在任意曲線上取點(diǎn)的命令，因而 要另圖它法，取一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程相同，那么該點(diǎn)肯定是在曲線 上.單擊菜單命令“作圖一自由點(diǎn)一坐標(biāo)點(diǎn)”，彈出坐標(biāo)點(diǎn)輸入對(duì)話框.在 “坐標(biāo)”欄輸入a*cos（t），然后單擊“ x坐標(biāo)”，這樣就增加了 x軸上的坐 標(biāo)，同樣輸入“ y坐標(biāo)” a*sin（t）及“z坐標(biāo)” t ;在“拖動(dòng)參數(shù)”的第一 欄輸入t，這表示參數(shù)t為可變的，如圖4；最后單擊“確定”退出

14、，作圖區(qū) 則得到點(diǎn)A.第四步：作圓柱和點(diǎn).單擊菜單命令“作圖一旋轉(zhuǎn)體一圓柱”，則得 到一個(gè)圓柱BC D;拖動(dòng)點(diǎn)C可以改變圓柱的高度，拖動(dòng)點(diǎn)D可以改變圓柱的 大小，單擊圓柱體并拖動(dòng)則可以改變圓柱的位置.調(diào)整圓柱的位置、大小、 高度使得它與作好的圓螺線相附和.圖形中的曲線是由一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而來，因 此，我們?cè)O(shè)置點(diǎn)A為可動(dòng)的點(diǎn)：選取點(diǎn)A,然后單擊菜單命令“運(yùn)動(dòng)一自動(dòng) 點(diǎn)”或工具欄的號(hào),從點(diǎn)A的坐標(biāo)知道，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的軌跡就是我們作的圓螺 線.由于動(dòng)點(diǎn)A必定在圓螺線的某段上運(yùn)動(dòng)，所以我們?cè)O(shè)定點(diǎn) A的運(yùn)動(dòng)范圍， 把“運(yùn)動(dòng)”欄“參數(shù)范圍”設(shè)為0, 10（如圖5）,與圓螺線相同，“確 定”退出.同時(shí)，為了突出點(diǎn)A的運(yùn)

15、動(dòng)狀態(tài)，把動(dòng)點(diǎn)名設(shè)為“動(dòng)點(diǎn)”，設(shè)置 點(diǎn)“大小”為5,填充紅色.圖5運(yùn)動(dòng)范圍第五步：作圓柱側(cè)面展開圖和線.選定圓柱，單擊菜單命令“作圖一 約束點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開圖的特征點(diǎn)”，得到I、E兩點(diǎn)，打開屬性對(duì)話框 （如圖6）,選擇側(cè)面展開圖，確定.到此我們的工作就基本上完成，最后 把所有的點(diǎn)隱藏起來，因?yàn)檫@些點(diǎn)對(duì)我們來說并沒有什么用途，相反更會(huì) 影響我們的視覺及圖形的美觀.最后要記得插入文本“問題”和“解答”.這 樣我們就得到了如圖7所示的最后圖形.單擊菜單命令“運(yùn)動(dòng)一開始運(yùn)動(dòng)生產(chǎn)軌跡”或工具欄的'，可以看到點(diǎn)的移動(dòng)軌跡確定 I取能彗。_Wlb圖6側(cè)面展開圖7 1<= 鐸答：圓柱的側(cè)面展幵

16、陌呈平拒形，過葫點(diǎn)銭 段逕恿j所以該維形的對(duì)陸鏡就是5V卜閑丁，對(duì) 甫境在回柱上對(duì)應(yīng)為園嫖垛圖7軌跡展開圖這就說明了立體幾何軟件對(duì)于同學(xué)們學(xué)習(xí)立體幾何有很大的幫助，也 體現(xiàn)出了立體幾何的動(dòng)態(tài)美2-4.2.3用立體幾何軟件的測(cè)量功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)線段的長(zhǎng)度是多少？各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？二面角是多少？異面直線 的距離、所成的角是多少？多面體、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、體積又是多少呢？ 等等這些問題，當(dāng)我們用筆來計(jì)算時(shí)，不但時(shí)間長(zhǎng)，而且在計(jì)算時(shí)特別麻煩容易出錯(cuò).用立體幾何軟件可以通過點(diǎn)擊鼠標(biāo)輕松得到解答，況且我們 可在解題區(qū)看到完整的解題過程.例如：求一個(gè)三棱錐A-BCD中AB的長(zhǎng)度，及A點(diǎn)的坐標(biāo)，二面角A-

17、BD-C 的大小，棱錐A-BCD的體積，棱錐A-BCD的側(cè)面積，棱錐A-BCD的全面積，直 線AB和直線CD的距離及夾角，點(diǎn)A到面BCD的距離和點(diǎn)A到BD的距離.如果用平常的方法我們首先要測(cè)量出棱錐的各邊的長(zhǎng)度或者在同一平 面上的夾角，然后通過我們所學(xué)的立體幾何知識(shí)去求，很麻煩，而用立體 幾何軟件有怎樣輕松呢？我們請(qǐng)看下面的用軟件求解過程.（1）首先先做一個(gè)三棱錐 A-BCD（如圖8）.第8頁（共10頁）（2）點(diǎn)擊C1,選擇A點(diǎn)坐標(biāo).最后選則“測(cè)量一點(diǎn)的坐標(biāo)”，此時(shí)A點(diǎn) 的坐標(biāo)就出現(xiàn)在解題工作區(qū)的左上角（圖9），則A點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了.（3） 我們來做二面角 A-BD-C的大小，先依次選擇點(diǎn) A

18、 B、D C.然后單擊選擇“測(cè)量一角一兩面角”此時(shí)在解題工作區(qū)的左上角就出現(xiàn)了二面角A-BD-C的大小（圖10）.,|A（13-169. 8.0476. 7.0000）圖9 A點(diǎn)的坐標(biāo)同樣，我們用類似的方法求出棱錐A(L3469, 8.04r6. 0000)二而角 A-BD-C=45.8587°圖10二面角A-BD-C的大小A-BCD的體積，棱錐A-BCD的側(cè)面積,棱錐A-BCD的全面積，直線AB和直線CD的距離，點(diǎn)A到面BCD勺距離以 及點(diǎn)A到BD的距離和直線AB直線CD的夾角（圖11）.A（1.3469. 8.0476. "0000】 二面角 AVDWSn* V%n =

19、40.9104kA3?d =6.0681z八S* 吉 繪=91.6C11噸AB DON. 1917<A.BDC>=7.0C00 <A.BD>=9.7544 <AB?CD>=62.0472cII”圖11用立體幾何軟件測(cè)量的結(jié)果通過這個(gè)例題，我們可以看出立體幾何軟件的測(cè)量功能，用起來非常 方便，而且能給我們節(jié)省很多時(shí)間和精力.所以立體幾何軟件在輔助中學(xué) 立體幾何教學(xué)時(shí)會(huì)給我們帶來很大的方便11.2.4用立體幾何軟件的其他功能輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)立體幾何軟件也有自動(dòng)推理、交互推理功能.它不但可提供詳細(xì)的解 題推理過程，而且在信息庫里為你提供相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).另外還可以使計(jì)

20、算 機(jī)在人的指導(dǎo)下進(jìn)行推理，即交互推理功能.還有立體幾何軟件可以進(jìn)行 文本與公式編輯、多媒體對(duì)象插入與鏈接等，而且和支持OLE的工具軟件兼容.這些功能大家一看就明白，它們與日常的數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān).最后不得不提的是立體幾何軟件操作簡(jiǎn)便，每個(gè)命令都可通過鍵盤、菜單和圖標(biāo)三種方式進(jìn)行操作.即使是初次接觸計(jì)算機(jī)的人，也可在邊看 說明邊操作的過程中很快入門.在使用它的過程中，你不但能出色地完成 學(xué)習(xí)或教學(xué)任務(wù)，同時(shí)也熟悉了計(jì)算機(jī)的基本功能.3小結(jié)立體幾何軟件將新的技術(shù)有機(jī)地融合在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過程中，使 得教學(xué)手段，教學(xué)方法，教學(xué)觀念與形式，課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)以至數(shù)學(xué)思想與 數(shù)學(xué)理論都發(fā)生了變革，把現(xiàn)代教育

21、技術(shù)與學(xué)科課程結(jié)構(gòu)，課程內(nèi)容，課 程資源以及課程實(shí)施融為一體.它的推廣普及將使越來越多的教師學(xué)生受 惠.并且立體幾何軟件在講解立體幾何這一章節(jié)時(shí)運(yùn)用，學(xué)生能很快形象 直觀地接受立體幾何中的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.第9頁（共10頁）參考文獻(xiàn)1 郭友敏立體幾何計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件的制作與應(yīng)用N 電化教育，1994, (02):30-32 .2 張志青等.智能教育平臺(tái)在“立體幾何”教學(xué)中的應(yīng)用與研究J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006, (08): 20-23 .3 王福榮.立體幾何中的“補(bǔ)形”與“切割” J.福建電腦，2011,(05) : 200-201 .4 王峰等.Z+Z智能教育平臺(tái)在解析幾何課程教學(xué)中的應(yīng)用J.高等函授學(xué)報(bào)(自然 科學(xué)版),2010, 23 (4) : 28-30. 王福榮等.Z+Z智能教育平臺(tái)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用