202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線與方程10.1橢圓及其性質(zhì)課件

1、第十章圓錐曲線與方程10.1橢圓及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程A A組自主命題組自主命題浙江卷題組浙江卷題組五年高考1.(2019浙江,15,4分)已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心,|OF|為半徑的圓上,則直線PF的斜率是.29x25y答案答案15解析解析本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、直線斜率與傾斜角的關(guān)系,以及解三角形,旨在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及運(yùn)算求解能力,重點(diǎn)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,突出考查了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).如圖,記橢圓的右焦點(diǎn)為F,取PF中點(diǎn)為M,由題知a=

2、3,b=,c=2,連接OM,PF,則|OM|=|OF|=2,又M為PF的中點(diǎn),|PF|=2|OM|,PFOM,|PF|=4,又P在橢圓上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2,在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,連接FM,5則FMPF,|FM|=,kPF=tanPFF=.即直線PF的斜率為.22|FFFM16 115|F MFM1515一題多解一題多解易知F(-2,0),設(shè)P(3cos,sin),設(shè)PF的中點(diǎn)為M,則M,|OM|=|OF|=2,+=4,9cos2-12cos+4+5sin2=16,又sin2=1-cos2,4cos2-12cos-7=0,解得cos=-,sin2=

3、,又P在x軸上方,sin=,P,kPF=,故答案為.53cos25sin,2223cos22 25sin2123432315,221515疑難突破疑難突破試題中只出現(xiàn)了橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),需要作出另一個(gè)焦點(diǎn),并將橢圓定義作為隱含條件直接應(yīng)用是求解本題的突破口.再由條件中的中點(diǎn)M聯(lián)想到利用三角形中位線的性質(zhì)求出PF的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵.2.(2018浙江,17,4分)已知點(diǎn)P(0,1),橢圓+y2=m(m1)上兩點(diǎn)A,B滿足=2,則當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.24xAPPB答案答案5解析解析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,二次函數(shù)的最值.設(shè)B(t,u),由=2,易得A(-2t,3-2

4、u).點(diǎn)A,B都在橢圓上,從而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3.即有4u-3=mu=,+=m,t2=-m2+m-=-(m-5)2+4.當(dāng)m=5時(shí),(t2)max=4,即|t|max=2,即當(dāng)m=5時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.APPB2222,44(32 ),4tumtum234t24t34m24t2(3)16m14529414思路分析思路分析(1)設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)利用點(diǎn)A,B都在橢圓上得方程組,求得點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.(3)利用(2)中的關(guān)系式及點(diǎn)B在橢圓上,把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的平方表示為關(guān)于m的函數(shù).(4)利用二次函數(shù)的最值得結(jié)論.1

5、.(2017浙江,2,4分)橢圓+=1的離心率是()A.B.C.D.29x24y133532359考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)答案答案B本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).由題意得,a=3,c=,離心率e=.故選B.5ca53易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示1.把橢圓和雙曲線中的a,b,c之間的關(guān)系式記混,而錯(cuò)選A.2.把離心率記成e=或e=,而錯(cuò)選C或D.ba22ca2.(2016浙江,19,15分)如圖,設(shè)橢圓+y2=1(a1).(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.22xa解析解析(1)

6、設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=.(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,2221,1ykxxya22221a ka k21 k2222|1aka k21 k22112212| 11akka k22222222| 11akka k2

7、2112212| 11akka k22222222| 11akka k21k22k21k22k21k22k21k22k21k22k因此=1+a2(a2-2),因?yàn)槭疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a,由e=得,所求離心率的取值范圍為00)的焦點(diǎn)是橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=()A.2B.3C.4D.823xp2yp答案答案D本題考查橢圓與拋物線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為,3p-p=,p=8.,02

8、p23xp2yp,02p24p思路分析思路分析利用拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),建立關(guān)于p的方程,求解即可.2.(2019課標(biāo)全國(guó)文,12,5分)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=122x23x22y24x23y25x24y答案答案B本題考查了橢圓的定義、橢圓的方程和余弦定理的應(yīng)用;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和方程的思想;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算,具有很好的創(chuàng)新意識(shí).令|F2B|=x(x0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,

9、|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8xcosAF2F1,由得x=,所以2a=4x=2,a=,b2=a2-c2=2.故橢圓的方程為+=1.故選B.323323x22y思路分析思路分析由于涉及焦點(diǎn),所以要利用橢圓的定義

10、,通過解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1,故可得橢圓的方程.疑難突破疑難突破利用余弦定理靈活解三角形是難點(diǎn)突破口.靈活利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.3.(2019課標(biāo)全國(guó)文,15,5分)設(shè)F1,F2為橢圓C:+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為.236x220y答案答案(3,)15解析解析本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì);考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).不妨設(shè)F1,F2分別是橢圓C的左,右焦點(diǎn),由M點(diǎn)在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由橢圓方程+=1,知|F1F2|=8,|F

11、1M|+|F2M|=26=12.所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.設(shè)M(x0,y0)(x00,y00),則解得x0=3,y0=,即M(3,).236x220y22002200(4)64,(4)16,xyxy1515一題多解一題多解依題意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2=,tanMF1F2=,所以MF1:y-0=(x+4).設(shè)M(6cos,2sin),因?yàn)镸點(diǎn)在直線MF1上,所以2sin=(6cos+4),結(jié)合sin2+cos2=1且sin0,cos0,得cos=,sin=,即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,).2228842 8 8 7815715755157

12、1232154.(2018天津文,19,14分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,|AB|=.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(kx10,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由BPM的面積是BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組消去y,可得x2=.由方程組消去y,可得x1=.22ca5922ab1329x24y236,xyykx632k 221,94,xyykx2694k 294k 由x2=5x1,可得=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k

13、+8=0,解得k=-,或k=-.當(dāng)k=-時(shí),x2=-9b0).由題意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.22xa22yb2,3,2aca324x(2)設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m2,且n0.直線AM的斜率kAM=,故直線DE的斜率kDE=-.所以直線DE的方程為y=-(x-m).直線BN的方程為y=(x-2).2nm2mn2mn2nm聯(lián)立解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又SBDE=|BD|yE|=|BD|n|,SBDN=|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為4 5.2(),(2)

14、,2myxmnnyxm 222(4)4nmmn45122512易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示在設(shè)直線方程時(shí),若設(shè)方程為y=kx+m,則要考慮斜率不存在的情況;若設(shè)方程為x=ty+n,則要考慮斜率為0的情況.1.(2019北京理,4,5分)已知橢圓+=1(ab0)的離心率為,則()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b22xa22yb12考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)答案答案B本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;通過橢圓的幾何性質(zhì)考查學(xué)生的理解與運(yùn)算能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由題意知=e2=,整理得3a2=4b2,故選B.222aba14易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示橢圓與雙曲線中a、b、

15、c關(guān)系的區(qū)別:(1)橢圓:b2+c2=a2;(2)雙曲線:c2=a2+b2.2.(2018課標(biāo)全國(guó)文,4,5分)已知橢圓C:+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.B.C.D.22xa24y1312222 23答案答案C本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì).由題意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,則a=2,e=,故選C.2ca22 2223.(2018課標(biāo)全國(guó)理,12,5分)已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,PF1F2為等腰三角形,F1F2P=120,則C的離心率為()A.B.C.D.22xa22yb

16、3623121314答案答案D本題考查直線方程和橢圓的幾何性質(zhì).由題意易知直線AP的方程為y=(x+a),直線PF2的方程為y=(x-c).聯(lián)立得y=(a+c),如圖,過P向x軸引垂線,垂足為H,則PH=(a+c).3633535因?yàn)镻F2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),所以sin60=,352PHPF3()52acc32即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故選D.ca14解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵通過解三角形得到a與c的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4.(2017課標(biāo)全國(guó)文,12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0

17、,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)23x2ym33答案答案A本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì).當(dāng)0m3時(shí),橢圓C的長(zhǎng)軸在x軸上,如圖(1),A(-,0),B(,0),M(0,).圖(1)33m當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB120,則|MO|1,即03時(shí),橢圓C的長(zhǎng)軸在y軸上,如圖(2),A(0,),B(0,-),M(,0).圖(2)mm3當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB120,則|OA|3,即3,即m9.綜上,m(0,19,+),故選A.m易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示在求解本題時(shí),要注意橢圓的長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸,題目中只說A、B為橢圓長(zhǎng)軸

18、的兩個(gè)端點(diǎn),并未說明橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸,因此,要根據(jù)m與3的大小關(guān)系,討論橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸.5.(2017課標(biāo)全國(guó)理,10,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.B.C.D.22xa22yb63332313答案答案A本題考查橢圓的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系.以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.22|002|()baabba 22ab22ca23ca636.(2018北京理,1

19、4,5分)已知橢圓M:+=1(ab0),雙曲線N:-=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為.22xa22yb22xm22yn答案答案-1;23解析解析本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).解法一:如圖是一個(gè)正六邊形,A,B,C,D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn),F1,F2為橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn).直線AC是雙曲線N的一條漸近線,且其方程為y=x,=.設(shè)m=k,則n=k,則雙曲線N的離心率e2=2.連接F1C,在正六邊形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30.設(shè)橢圓的焦距為2c,則|CF2|

20、=c,|CF1|=c,再由橢圓的定義得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,橢圓M的離心率e1=-1.3nm3322( 3 )kkk33ca2312( 31)( 31)( 31)3解法二:雙曲線N的離心率同解法一.由題意可得C點(diǎn)坐標(biāo)為,代入橢圓M的方程,并結(jié)合a,b,c的關(guān)系,聯(lián)立得方程組解得=-1.3,22cc22222223221,ccababcca331ca舍去方法總結(jié)方法總結(jié)求橢圓和雙曲線的離心率的關(guān)鍵是通過其幾何性質(zhì)找到a,c所滿足的關(guān)系,從而求出c與a的比值,即得離心率.考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程C C組教師專用題組組教師專用題組1.(2015

21、福建,18,13分)已知橢圓E:+=1(ab0)過點(diǎn)(0,),且離心率e=.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線l:x=my-1(mR)交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.22xa22yb2229,04解析解析解法一:(1)由已知得解得所以橢圓E的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,從而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),2222,2,2.bcaabc2,2,2.abc24x22y22

22、1,142xmyxy222mm 232m 22mm 2094x20y2054my20y20y5225162|4AB221212()()4xxyy2212(1)()4myy221212(1)()44myyy y20y故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外.解法二:(1)同解法一.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,從而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,2|4AB5225162252(2)mm 223(1)2

23、mm25162217216(2)mm|2AB9,04GA119,4xyGB229,4xy221,142xmyxy222mm 232m GAGB194x294x154my254my542516223(1)2mm22522mm 25162217216(2)mm所以cos0.又,不共線,所以AGB為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外.GAGBGAGB9,04評(píng)析評(píng)析本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程思想.2.(2015山東,20,13分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分

24、別是F1,F2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓E:+=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn).過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求的值;(ii)求ABQ面積的最大值.22xa22yb32224xa224yb|OQOP解析解析(1)由題意知2a=4,則a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)由(1)知橢圓E的方程為+=1.(i)設(shè)P(x0,y0),=,由題意知Q(-x0,-y0).因?yàn)?=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)設(shè)A(x1,

25、y1),B(x2,y2).將y=kx+m代入橢圓E的方程,ca3224x216x24y|OQOP204x20y20()16x20()4y2422004xy|OQOP可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.則有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),所以O(shè)AB的面積S=|m|x1-x2|=2.設(shè)=t.將y=kx+m代入橢圓C的方程,2814kmk2241614mk2224 16414kmk122222 164|14kmmk22222 (164)14kmmk222241414mmkk2214mk可得

26、(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0b0)的離心率為,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.22xa22yb22解析解析(1)由題意,得=且c+=3,解得a=,c=1,則b=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)當(dāng)ABx軸時(shí),AB=,又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(

27、k2-1)=0,則x1,2=,C的坐標(biāo)為,且AB=.若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+=-,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而PC=.ca222ac222x222222(1)12kkk2222,1 21 2kkkk222121()()xxyy2221(1)()kxx222 2(1)1 2kk212kk1k2221 2kxk22522,(1 2)kkk2222(31) 1|(12)kkkk因?yàn)镻C=2AB,所以=,解得k=1.此時(shí)直線AB方程為y=x-1或y=-x+1.2222(31) 1|(12)kkkk224 2(1)1 2kk評(píng)析評(píng)析本題在考

28、查橢圓基本性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的同時(shí),著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和方程思想.1.(2016課標(biāo)全國(guó),11,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:+=1(ab0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A.B.C.D.22xa22yb13122334考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)答案答案A由題意知過點(diǎn)A的直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),當(dāng)x=-c時(shí),y=k(a-c),當(dāng)x=0時(shí),y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如圖,設(shè)

29、OE的中點(diǎn)為N,則N,由于B,M,N三點(diǎn)共線,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故選A.0,2ka2kaa()k acca 12acac13評(píng)析評(píng)析本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),三點(diǎn)共線的判定等基本知識(shí)和基本技能,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力和邏輯思維能力,同時(shí)考查了方程思想的應(yīng)用.2.(2016江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓+=1(ab0)的右焦點(diǎn),直線y=與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且BFC=90,則該橢圓的離心率是.22xa22yb2b解析解析由已知條件易得B,C,F(c,0),=,=,由BFC=90,可得=0,所以+=0,即c2-a2+b2=0,亦即

30、4c2-3a2+(a2-c2)=0,所以3c2=2a2,所以=,則e=.3,22ba3,22baBF3,22bcaCF3,22bcaBFCF32ca32ca22b341422ca23ca63答案答案63思路分析思路分析圓錐曲線中垂直問題往往轉(zhuǎn)化為向量垂直.利用向量數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.3.(2017天津文,20,14分)已知橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),EFA的面積為.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上,|FQ|=c,延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PMQN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積

31、為3c.(i)求直線FP的斜率;(ii)求橢圓的方程.22xa22yb22b32解析解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和方程思想.考查運(yùn)算求解能力,以及綜合分析問題和解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因?yàn)?e0),則直線FP的斜率為.由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為+=1,即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=,y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直線F

32、P的斜率為.(ii)由a=2c,可得b=c,故橢圓方程可以表示為+=1.由(i)得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立得消去y,1222b12121m2xcyc(22)2mcm32cm(22)3,22mccmm322(22)2mccm232cm232c43343224xc223yc22223430,1,43xycxycc整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得點(diǎn)P,進(jìn)而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,線段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.因?yàn)镼NFP,所以|QN|=

33、|FQ|tanQFN=,所以FQN的面積為|FQ|QN|=,同理FPM的面積等于,由四邊形PQNM的面積為3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,橢圓的方程為+=1.137c3,2cc223()2ccc52c52c 32c32c3498c1222732c27532c27532c22732c216x212y2.求直線斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2);(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解;(3)直線的方向向量a=(m,n),則k=(m0);(4)點(diǎn)差法.1212yyxxnm方法點(diǎn)撥方法點(diǎn)撥1.求離心率常用的方法:(1)直

34、接求a,c,利用定義求解;(2)構(gòu)造a,c的齊次式,利用方程思想求出離心率e的值.3.解決四邊形或三角形的面積問題時(shí),注意弦長(zhǎng)公式與整體代換思想的應(yīng)用.4.(2015重慶,21,12分)如圖,橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQPF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.22xa22yb22解析解析(1)由橢圓的定義,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|=2,即c=,從而b=1.故

35、所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)解法一:連接F1Q,如圖,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,且PF1PF2,則+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,222212|PFPF22(22)(22)3322ac24x202xa202yb20 x20yac222ab2bc從而|PF1|2=+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+

36、)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e=-.解法二:連接F1Q,由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.2222a abcc42bc222ab222ab222222ab2221e 214112226322222由PF1PF2,知|PF1|2

37、+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=-.ca2212|2PFPFa22(22)( 21)96 2635.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程.22xa22yb51072解析解析(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,又kOM=,從而=.進(jìn)而a=b,c=2b.故e=.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB

38、的方程為+=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上,且kNSkAB=-1,從而有+=1,=,解得b=3,所以a=3,故橢圓E的方程為+=1.21,33ab5102ba510522abca2 555xbyb51,22bb17,2x1517,4244xbb15425xbb1744bb1712252bbx55245x29y考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,3)以雙曲線-x2=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)

39、,離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=123y3324x23y23x24y29x26y26x29y答案答案D由題意得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,c=,由橢圓的離心率=a=3,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,故選D.3ca3326x29y2.(2019浙江臺(tái)州一中、天臺(tái)一中高三上期中,8)設(shè)F是橢圓+=1的左焦點(diǎn),A是該橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),過A作圓x2+y2=3的切線,切點(diǎn)為P,則|AF|-|AP|=()A.1B.C.2D.424x23y3答案答案C設(shè)A(x0,y0),由于A在橢圓上,故+=1(|x0|b0)的離心率為,點(diǎn)M(-2,1)是橢圓內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)M作兩條斜

40、率存在且互相垂直的動(dòng)直線l1,l2,設(shè)l1與橢圓C相交于點(diǎn)A,B,l2與橢圓C相交于點(diǎn)D,E.當(dāng)M恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí),|AB|=.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值.22xa22yb3210ADEB解析解析(1)由題意設(shè)a2=4b2,(2分)即橢圓C:+=1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.又當(dāng)M(-2,1)為線段AB的中點(diǎn)時(shí),x1+x2=-4,y1+y2=2,AB的斜率k=.(4分)由消去y得,x2+4x+8-2b2=0.則|AB|=|x1-x2|=.解得b2=3,于

41、是橢圓C的方程為+=1.(6分)(2)設(shè)直線AB:y=k(x+2)+1,由消去y得,224xb22yb222112222244,44xybxyb1212yyxx1222221,4122xybbyx21 k1142164(82)b10212x23y221,123(2) 1xyyk x(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是x1+x2=,x1x2=.(8分)=(+)(+)=+=(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1).(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+

42、k2)4+2(x1+x2)+x1x2=.(13分)同理可得(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1)=.=4(1+k2)=,當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).綜上,的最小值為.(15分)28 (21)14kkk224(21)1214kkADEBAMMDEMMBAMMBEMMD224(1)14kk224(1)4kkADEB2211144kk222220(1)(14)(4)kkk2222220(1)1442kkk165ADEB1651.(2018浙江寧波高三上學(xué)期期末,4)已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m等于()A.3B.C.5D.24x2ym12165163考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾

43、何性質(zhì)答案答案D由橢圓焦點(diǎn)在y軸上可知a2=m,b2=4,則c2=a2-b2=m-4,故e2=,解得m=.故選D.22ca4mm141632.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段測(cè)試(一),9)設(shè)橢圓C:+=1與函數(shù)y=x3的圖象相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),若直線PA的斜率的取值范圍是-3,-1,則直線PB的斜率的取值范圍是()A.-6,-2B.2,6C.D.24x22y11,261 1,6 2答案答案D設(shè)P(x0,y0),A(m,n).因?yàn)闄E圓C和函數(shù)y=x3的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則B(-m,-n).從而有kPA=,kPB=.由得+=0,即有=-.又kPAkPB=-,且-3kPA

44、-1,則有kPB.00ynxm00ynxm2200221,42142xymn2204xm2202yn220220ynxm12220220ynxm1216123.(2019浙江寧波高三上期末,9)已知橢圓+=1(ab0)的離心率e的取值范圍為,直線y=-x+1交橢圓于點(diǎn)M、N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)且OMON,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是()A.,2B.,C.,D.2,322xa22yb11,327267562答案答案C設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,則x1+x2=,x1x2=.由OMON得=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)

45、+1=0,將代入,化簡(jiǎn)得b2=.又因?yàn)閑=,所以a2a,故選C.22221,1xyabyx 2222aab22222aa babOMON2221aa ca221ba21121a11,32526256小題巧解小題巧解根據(jù)橢圓的性質(zhì),原點(diǎn)O到直線y=-x+1的距離d滿足=+,又d=,所以=.又e2=1-=1-,e2,所以4a25,6,所以2a,.故選C.21d21a21b1222ba2121a 22ca22ba2121a 1 1,3 256知識(shí)拓展知識(shí)拓展已知橢圓+=1上的兩點(diǎn)M,N滿足OMON,且原點(diǎn)O到直線MN的距離為d,則橢圓有如下性質(zhì):=+.證明:設(shè)M(r1cos,r1sin),Nr2co

46、s,r2sin為橢圓上滿足題意的兩個(gè)點(diǎn),分別代入橢圓方程得+=1,+=1,所以+=+=+,根據(jù)幾何意義可知,+=,命題得證.22xa22yb21d21a21b222212cosra2212sinrb2222sinra2222cosrb211r221r22cos a22sin b22sin a22cos b21a21b211r221r21d4.(2019浙江溫州普通高中高考適應(yīng)性測(cè)試(2月),16)已知F是橢圓+=1(ab0)的右焦點(diǎn),直線y=x交橢圓于A,B兩點(diǎn),若cosAFB=,則橢圓的離心率是.22xa22ybba13答案答案2 55解析解析令A(yù)在第三象限,B在第一象限,將直線方程代入橢圓

47、方程,求得A,B,故線段AB的長(zhǎng)為a.在ABF中運(yùn)用面積公式得|AF|BF|sinAFB=|OF|yA-yB|,再運(yùn)用余弦定理得|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cosAFB,聯(lián)立求得e=.22,22ab22,22ab2221ba1212ca2 555.(2019浙江三校第一次聯(lián)考(4月),21)如圖,已知拋物線C1:x2=4y與橢圓C2:+=1(ab0)交于點(diǎn)A,B,且拋物線C1在點(diǎn)A處的切線l1與橢圓C2在點(diǎn)A處的切線l2互相垂直.(1)求橢圓C2的離心率;(2)設(shè)l1與C2交于點(diǎn)P,l2與C1交于點(diǎn)Q,求APQ面積的最小值.22xa22yb解析解析(1)設(shè)點(diǎn)A(x0,y

48、0),B(-x0,y0),其中x00,y00,則拋物線C1在點(diǎn)A處的切線方程l1:x0 x=2(y0+y),(2分)橢圓C2在點(diǎn)A處的切線方程l2:+=1.(4分)由于l1l2,故有=-1,又=4y0.所以a2=2b2,從而橢圓C2的離心率e=.(6分)(2)解法一:由(1)知橢圓C2的離心率為,可設(shè)橢圓方程為+=1.(7分)設(shè)A(2t,t2),則l1:y=tx-t2,由得(1+2t2)x2-4t3x+2t4-2b2=0,所以|AP|=|xP-xA|=.(9分)設(shè)l2:y=-x+t2+2,同理可得|AQ|=|xQ-xA|=,(11分)02x xa02y yb02x2020b xa y20 x2

49、222222xb22yb2222,22ytxtxyb21 t21t 22212ttt1t211t211t422ttt所以SAPQ=|AP|AQ|=2=.(12分)令f(t)=,t0,則f(t)=.令f(t)=0得t=,所以f(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以f(t)f=.所以SAPQ.(15分)解法二:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),由=4y0及+2=2b2可知b2=+2y0.由消去x得(2+4)y2+8y0y+4-2b2=0,由題意可知y0y1=,則y1=,x1=.(9分)1221tt324412ttt2328(1)(12 )ttt232(1)(12 )ttt2222222(1)

50、 (21)(31)(12 )ttttt2220,22,222278 227 2220 x20 x20y20y0022222(),12x xyyxybb20 x20y20 x22200204224yb xx220004884yb yy2000(2)21ybyy200221yby20003221yyy0004(21)yxy由消去y得y0 x2+2x0 x-4b2=0,由題意可知x0+x2=-=-,則x2=-x0,y2=,(11分)所以SAPQ=|y1-y2|2x0=,(13分)記f(x)=,其中x0,則f(x)=,由f(x)=0,得x=.所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+)上單調(diào)遞增.所以

51、f(x)min=f()=27.所以SAPQ.(15分)002221,24x xy ybbxy002xy08x08x2200282xby2000042(2)82yyyy200044yyy12300008(1)(21)xyyy230200(4)2(2)xx x232(4)(2)xx x2242222(4) (328)(2)xxxxx2222222(4) (34)(2)(2)xxxxx22223(24)2(22)227 22B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時(shí)間:30分鐘分值:57分一、選擇題(共4分)1.(2019浙江名校新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考,8)已知F1、F2是橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),過左焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且滿足|AF1|=2|BF1|,|AB|=|BF2|,則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.22xa22yb12333253答案答案B設(shè)|BF1|=x,則|AF1|=2x,|BF2|=3x,