2011屆高考數(shù)學(xué) 反函數(shù)課件

1、一、定義一、定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 定義域為定義域為 A, 值域為值域為 C. 如果從式子如果從式子 y=f(x) 解解得得 x= (y), 且對于且對于 y 在在 C 中的任何一個值中的任何一個值, x 在在 A 中都有唯一中都有唯一確定的值和它對應(yīng)確定的值和它對應(yīng), 那么式子那么式子 x= (y) 就表示就表示 x 是變量是變量 y 的函數(shù)的函數(shù), 把把 x= (y) 叫做函數(shù)叫做函數(shù) y=f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù), 記作記作: x= (y)=f- -1(y).x=f- -1(y) 一般改寫成一般改寫成 y=f- -1(x), 其定義域為其定義域為 C, 值域為值域為 A.二、

2、定義理解二、定義理解1.函數(shù)存在反函數(shù)的條件函數(shù)存在反函數(shù)的條件: 映射映射 f: AC 為一一映射為一一映射. 2.函數(shù)在其定義域區(qū)間上可能不存在反函數(shù)函數(shù)在其定義域區(qū)間上可能不存在反函數(shù), 但可以在定義但可以在定義域區(qū)間的域區(qū)間的某個子區(qū)間某個子區(qū)間上存在反函數(shù)上存在反函數(shù).3.反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域. 注意注意: 反函數(shù)的定義域不能由其反函數(shù)的定義域不能由其解析式解析式來求來求.三、簡單性質(zhì)三、簡單性質(zhì)1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線直線 y=x 對稱對稱; 2.單調(diào)函數(shù)一定存在反函

3、數(shù)單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù), 但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)調(diào)函數(shù);3.奇函數(shù)不一定有反函數(shù)奇函數(shù)不一定有反函數(shù), 偶函數(shù)在一般情況下無反函數(shù)偶函數(shù)在一般情況下無反函數(shù); 4.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域區(qū)間上具有相同互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域區(qū)間上具有相同的的 單調(diào)性單調(diào)性;5.若若 b=f(a), 則則 a=f- -1(b); 若若 a=f- -1(b), 則則 b=f(a), 即即: 若若 aA, bC, 則則 f- -1f(a)=a, ff- -1(b)=b.四、求函數(shù)的反函數(shù)的步驟四、求函數(shù)的反函數(shù)的步驟2.由由 y=f(x) 解出解出 x=f

4、- -1(y) ( (即即用用 y 表示表示 x) );3.交換交換 x=f- -1(y) 中的字母中的字母 x, y, 得得 f(x) 反函數(shù)的表達式反函數(shù)的表達式 y=f- -1(x), 1.求函數(shù)求函數(shù) y=f(x) 中中 y 的的取值范圍取值范圍, 得其反函數(shù)中得其反函數(shù)中 x 的的取值范圍取值范圍;五、函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點問題五、函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點問題 如果一個函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有公共點如果一個函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有公共點, 則公共點在則公共點在直線直線 y=x 上上, 或者關(guān)于直線或者關(guān)于直線 y=x 對稱地對稱地成對出現(xiàn)成對出現(xiàn).4. 標(biāo)出標(biāo)出 y=f- -1(x)

5、中中 x 的的取值范圍取值范圍.例如函數(shù)例如函數(shù) y = - -3x+7 ; 又如函數(shù)又如函數(shù) y =( )( ) . 161x六、典型例題六、典型例題例例1 函數(shù)函數(shù) y= (xR, 且且 x ) 的反函數(shù)是的反函數(shù)是 ( ) 2x- -1 x- -2 12(A) y= (xR, 且且 x ) 2x- -1 x- -2 12(B) y= (xR, 且且 x 2) 2x- -1 x- -2 (C) y= (xR, 且且 x ) 2x- -1 x+2 12(D) y= (xR, 且且 x- -2) 2x- -1 x+2 - -11xoy- -11xoy1xoy1- -11xoy(D)(A)(B)

6、(C) 例例2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)=1- - 1- -x2 (- -1x0), 則函數(shù)則函數(shù) y=f- -1(x)的圖像可的圖像可能是能是 ( )AB例例3 求下列函數(shù)的反函數(shù)求下列函數(shù)的反函數(shù):(2) y=x|x- -2|+4x. (1) y =( )2( x ). x+1 3x- -2 2332(2) y = x+1 - -1 (x8), 3- - 9- -x (x8). (1) y= (0 x1); 3- - x2+ x 例例4 解答下列關(guān)于反函數(shù)的問題解答下列關(guān)于反函數(shù)的問題: ( (1) )已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) = 的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱對稱, 求實數(shù)求

7、實數(shù)a 的值的值;3x+2 x+a ( (2) )求函數(shù)求函數(shù) y= 1- -x 與它的反函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)與它的反函數(shù)圖像的交點坐標(biāo).例例5 已知已知 f(x)= , xR, 求求 f- -1( ( ) ) 的值的值.1+2x 2x 134.( (1) )a=- -3; 5. f- -1( ( ) )= - -1. 13答 案 ( (2) )( , ); (1, 0); (0, 1). 5- -1 2 5- -1 2 七、課堂練習(xí)七、課堂練習(xí)2.試求使函數(shù)試求使函數(shù)y=4x- -2x+1 存在反函數(shù)的定義域區(qū)間存在反函數(shù)的定義域區(qū)間, 并求相并求相應(yīng)區(qū)間上的反函數(shù)應(yīng)區(qū)間上的反函數(shù).1.若映射

8、若映射 f: A B 中中, A=B=(x, y) | xR, yR, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 試求試求: (1) A 中的元素中的元素 (5, 5) 的象的象; (2) B 中的元中的元素素 (5, 5) 的原象的原象. 3.已知已知 f(x) = (x- -a, a ). (1) 求求 f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù) f- -1(x); (2) 若若f(x)=f- -1(x), 求求 a 的值的值; (3)作出滿足作出滿足(2)中條件的中條件的 y=f- -1(x) 的的圖象圖象. 2x+1 x+a 12答 案 1. (17, 25); (1, 1) 2.(-(-,

9、 0 , f- -1(x)=log2( (1- - x+1 )(-)(-1x0) ); 0, +) ), f- -1(x)=log2( (1+ x+1 )()(x- -1) ). 3. f- -1(x)= (x2); x- -2 1- -ax a=- -2. 4.求求函數(shù)函數(shù) y=x|x|+2x 的反函數(shù)的反函數(shù). 解解: 原函數(shù)可寫成原函數(shù)可寫成: y= x2+2x, x0, - -x2+2x, x0. 即即 y= (x+1)2- -1, x0, - -(x- -1)2+1, x0. 當(dāng)當(dāng) x0 時時, y0, 由由 y=(x+1)2- -1 得得: x=- -1+ y+1 ; 當(dāng)當(dāng) x0

10、時時, y0, 由由 y=- -(x- -1)2+1 得得: x=1- - 1- -y . 故所求反函數(shù)為故所求反函數(shù)為 y= - -1+ x+1, x0, 1- - 1- -x , x0. 解得解得 a=- -1.-4f(x)1. 5.已知點已知點 (- -2, - -4) 在函數(shù)在函數(shù) f(x)=1- - ax2+25 (- -5x0) 的反函的反函數(shù)數(shù) f- -1(x) 的圖象上的圖象上, 試討論試討論 f- -1(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性.解解: 由已知由已知, 點點 (- -4, - -2) 在函數(shù)在函數(shù) f(x)=1- - ax2+25 的的圖象上圖象上. - -2=1- - 16a

11、+25 . f(x)=1- - 25- -x2 .-5x0, x=- - 25- -(y- -1)2 (- -4y1). 由由 y=f(x)=1- - 25- -x2 得得 f- -1(x) =- - 25- -(x- -1)2 (- -4x1). 令令 t(x)=25- -(x- -1)2, 易知易知, t(x) 是是 - -4, 1 上的增函數(shù)上的增函數(shù). 又又 y=- - t 是減函數(shù)是減函數(shù), f- -1(x) =- - 25- -(x- -1)2 是是 - -4, 1 上的減函數(shù)上的減函數(shù). 解解: (1) x1, 故故 f- -1(x) 的定義域的定義域是是 0, 1). f(x)

12、 的值域是的值域是 0, 1).又對任意的又對任意的 x1, x2 0, 1), 且且 x1x2, 有有: 6.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=( )2 (x1), f- -1(x) 是是 f(x) 的反函數(shù)的反函數(shù), g(x)= + x +2, 求求: (1) f- -1(x) 的定義域和單調(diào)區(qū)間的定義域和單調(diào)區(qū)間; (2) g(x) 的最的最小值小值.x+1 x- -1 f- -1(x)1 0 1. x+1 x- -1 0( )21. x+1 x- -1 即即 0f(x)1. 由由 y=( )2(x1)得得: x+1 x- -1 = y , x+1 x- -1 解得解得: x= (0y1).

13、1+ y 1- - y f- -1(x)= (0 x1). 1+ x 1- - x x1 x2 1- - x2 0, 1- - x121- - x2 2 . 1- - x121- - x2 2 - -1+ - -1+ . 即為即為: f- -1(x1)f- -1(x2). 0, 1) 是是 f- -1(x) 的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間. 解解: (2) 由已知由已知 g(x)= + x +21- - x 1+ x 2 2 . 僅當(dāng)僅當(dāng) x=3- -2 2 時取等號時取等號. 當(dāng)當(dāng) x=3- -2 2 時時, g(x) 取得最小值取得最小值 2 2 . 2 1+ x +1+ x (0 x0, 解不

14、等式解不等式:f- -1(x)log2 . 1+2x a2x- -1 k 1+x 解解: (1) 由已知由已知 f(0)=0, 解得解得 a=1; (2) 當(dāng)當(dāng) a=1 時時, f(x)= (x R), 2x+1 2x- -1 設(shè)設(shè) y=f(x), 則則 2xy+y=2x- -1, 2x(1- -y)=1+y (y 1), 2x= , 1- -y 1+y 1- -y 1+y x=log2 , 2x+1 2x- -1 =1- - (- -1, 1), 2x+1 2 又又 f- -1(x)=log2 (- -1xlog2 , 得得 k 1+x k 1+x 1- -x 1+x , - -1x1. - -1x1- -k, 又又 k0, 當(dāng)當(dāng) 0k2 時時, 1- -kx1, 原不等式的解集為原不等式的解集為 (1- -k, 1); 當(dāng)當(dāng) k2 時時, - -1x0) 和定義在和定義在 R 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù) g(x), 當(dāng)當(dāng) x0時時, g(x)=f(x),