2013高等數(shù)學(xué) C1

1、2013 2013 2013C1. 函數(shù)與向量函數(shù)與向量C2. 極限與連續(xù)極限與連續(xù)C4. 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用C5. 定積分與不定積分定積分與不定積分C3. 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分主要內(nèi)容主要內(nèi)容C8. 微分方程微分方程C6. 二重積分與曲線積分二重積分與曲線積分C7. 無窮級數(shù)無窮級數(shù)C9. 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)2013第一章函數(shù)與向量第三節(jié)第三節(jié) 向量代數(shù)向量代數(shù) 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其圖形函數(shù)及其圖形 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)運算與初等函數(shù)函數(shù)運算與初等函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 幾何曲線與空間曲面幾何曲線與空間曲面習(xí)題課習(xí)題課2013 函數(shù)及其圖形函數(shù)及

2、其圖形 一、區(qū)間與區(qū)域概念一、區(qū)間與區(qū)域概念二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系三、函數(shù)的概念三、函數(shù)的概念四、函數(shù)的其他形式四、函數(shù)的其他形式20131.1.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù). .這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點. .,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記記作作一、區(qū)間與區(qū)域概念一、區(qū)間與區(qū)域概念bxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記記作作),xaxa ),(bxxb 無限區(qū)間無限區(qū)間有限

3、區(qū)間有限區(qū)間兩端點間的距離兩端點間的距離( (線段的長度線段的長度) )稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度. .2013 ),(Uxa點的 鄰域鄰域 ),(xaaxa xaxax0其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .去心 鄰域鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa集合的運算集合的運算并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且Bx或直積 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點集20132.2.平面區(qū)域平面區(qū)域: :(1) 鄰域鄰域點集, ) ,(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0y

4、xPU(圓鄰域)0PP)()(2020yyxx(2) 聚點聚點E若對任意給定的 , ,點P 的去心去心鄰域鄰域) ,(PU內(nèi)總有E 中的點 , 則 稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 E 的邊界點 )2013D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集(； 若點集 E E , 則稱 E 為閉集( ； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;

5、對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無2013例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .2013xyz二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個)面xoyyoz面

6、zox面1. 基本概念基本概念2013xyzo向徑在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點 O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸坐標(biāo)面xyzo2013空間中一點的鄰域概念空間中一點的鄰域概念: : )(0oPPU00 PP ),(),(0zyxPU(球鄰域)說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU)()()(202020zzyyxx點 P0 的去

7、心鄰域去心鄰域記為推廣到推廣到 n 維空間維空間 概念概念n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體稱為 n 維空間維空間,Rn記作即RRRRn),(21nxxxn 維空間中的每一個元素稱為空間中的kx數(shù)稱為該點的第 k 個坐標(biāo)坐標(biāo) .一個點點, 2013的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點 a 的 鄰域鄰域為),(21nyyyy與點),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的點,),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時當(dāng)0Raxaxn滿足與定元中的變元. ax

8、記作nR2013三、函數(shù)的概念三、函數(shù)的概念定義定義1.設(shè) X , Y 是兩個非空集合, 若存在一個對應(yīng)規(guī)則 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對應(yīng) , 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射, 記作.:YXfXYfxy引例引例1.xxysinRxRy引例引例2.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(點集)(點集)CP點向 y 軸投影YQ投影點2013X (數(shù)集 或點集 ) 說明說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同X ( ) Y (數(shù)集)f f 稱為X 上的泛函X ( ) X f f 稱為X 上的變換 R f f 稱為定義在 X 上的為函數(shù)映射又稱為算子. 的慣用名稱. 例如,

9、元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像像 , 記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 稱為映射 f 的定義域定義域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(稱為 f 的 值域值域 .注意注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 2013定義域考慮一元函數(shù)的概念 設(shè)數(shù)集,RD則稱映射R:Df為定義在D 上的函數(shù) , 記為Dxxfy, )( f ( D ) 稱為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自變量因變量 定義域定義域 對應(yīng)規(guī)律對應(yīng)規(guī)律的表示方法: 解析法、圖象法、列

10、表法使表達(dá)式及實際問題都有意義的自變量集合.2013例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df定義域值域xyoxy xxf)(又如, 絕對值函數(shù)0,xx0,xx定義域RD值 域),0)(Df 1,110,2)(xxxxxfy分段函數(shù)定義域 ),0D值域 ),0)(Df2013推廣到一般多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式,2hrV)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS設(shè)非空點集,RnD DPPfu, )(或映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作

11、),(21nxxxfu點集 D 稱為定義域定義域 ; 值域值域DP,Pfuu)(2013特別地 , 當(dāng) n = 2 時, 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時, 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu例如, 二元函數(shù)221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域圖形為中心在原點的上半球面.xzy1o, )sin(,yxz 又如2R),(yxxyz2013說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域為1),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球2 , 0,2 ,

12、 0,cossinyxyxz02460246-1-0.500.510246如:2013三、函數(shù)的其他形式三、函數(shù)的其他形式只要附加一些條件, 就可以將它化為單值的, 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支單值分支?！皢沃怠焙瘮?shù) “多值”函數(shù)例如方程122 yx211)(xxyy 221)(xxyy 常稱之存在的某種單值分支形式為由隱函數(shù)方程確定的函數(shù). 又如方程1222 zyx可以確定單值分支2211),(yxyxzz 2221),(yxyxzz 2013x yexy2221xyz( , )0F x y ( , , )0F x y z 表示 x 和y 有依賴關(guān)系的方程:表示三元關(guān)系的方程:例

13、如:xyxysin22 例如:方程確定的函數(shù)圖形方程確定的函數(shù)圖形:一般來說，二元之間（一元函數(shù)）的圖形關(guān)系在二維平面上可以觀察，三元之間（二元函數(shù)）要在三維空間中觀察直觀圖形。20132 , 0 : f2R2cos,0,2 3sinxy19422yx又如即為平面上橢圓的參數(shù)方程表示可以用一個向量函數(shù)來表示即為平面上橢圓的參數(shù)方程表示( ), ,( )xttyt 一般地,方程確定x ,y 的二元關(guān)系,習(xí)慣上稱 參數(shù)方程確定 y 是 x 的函數(shù).2 , 0),sin3 ,cos2( r2013 在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)關(guān)系用不同算式來表示的函數(shù)，對一元函數(shù)，稱為分段函數(shù)分段函數(shù)；對二元函

14、數(shù)，稱為分片函數(shù)。分片函數(shù)。五、分段函數(shù)與分片函數(shù)五、分段函數(shù)與分片函數(shù)例如，1110 2xxxxy 是一個分段函數(shù),定義域為D 0,).122xxy可化為 0120 1222xxxxxxy 為分段函數(shù)xy-8-6-4-202468012110222222yxyxyxz為分片函數(shù)二元函數(shù)2013 函數(shù)運算與初等函數(shù)函數(shù)運算與初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)及其圖形一、基本初等函數(shù)及其圖形二、函數(shù)的運算二、函數(shù)的運算三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)四、函數(shù)的幾種特性四、函數(shù)的幾種特性2013一、基本初等函數(shù)及其圖形一、基本初等函數(shù)及其圖形(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函

15、數(shù)(2) 基本初等函數(shù)圖形見教材P8-102013二、函數(shù)的運算二、函數(shù)的運算1. 函數(shù)的四則運算 兩個函數(shù)可以通過實數(shù)的四則運算可以構(gòu)造新的函數(shù), 但要注意定義域可能會減少一些。例如：多項式函數(shù)是由冪函數(shù)經(jīng)過和運算和乘積運算得到的。2012( )nnf xaa xa xa x20122012( )nnmmaa xa xa xR xbb xb xb x也可以看作冪函數(shù)經(jīng)過和、積、商運算得到的。有理函數(shù)( )( )( ),( ) ( ),( )f xf xg xf x g xg x20132. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)運算反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)運算(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù))(:DfDf為一一對應(yīng)關(guān)系,

16、則存在對應(yīng)DDff)(:1習(xí)慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此1f為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線xy 對稱 .2013(2) 復(fù)合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且則Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈2

17、2,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合2013兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復(fù)合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk時),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv2013三、三、 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .（P11）2013非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng)

18、 x 0,1xyo11取整函數(shù)xy 當(dāng)Znnxn,1,nxyo1342122013例例1. 求y的反函數(shù)及其定義域.解解:01x當(dāng)時,2xy 則1,0(,yyx10 x當(dāng)時,xyln則0,(,yexy21 x當(dāng)時,12xey則2,2(,ln12eyxy反函數(shù)y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定義域為2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e2013四、四、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf稱 )(xf, Ix,0M使,

19、)(Mxf稱 )(xf說明說明: 還可定義有上界、有下界、無界 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. ,Dx使若對任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf則稱 f ( x ) 無界無界.稱 為有上界有上界稱 為有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 當(dāng),21Ixx21xx 時, )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的, )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .xy1x2x2013xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱 f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明說明: 若)

20、(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時,則當(dāng)必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函數(shù)yoxexexych雙曲余弦 記2013(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf則稱)(xf為周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若稱 l 為周期 ( 一般指最小正周期最小正周期 ).周期為 周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無理數(shù), 1,02013 向量代數(shù)向量代數(shù) 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積一、向量及其運算一、向量及其運算二、向量的坐標(biāo)二、向量的坐標(biāo)三、向量的數(shù)量積與向量

21、積三、向量的數(shù)量積與向量積2013.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作一、向量的概念及其計算一、向量的概念及其計算向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或1. 向量的概念2013規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a

22、 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;20132、向量的線性運算、向量的線性運算(1). 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 2013aa(2). 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) ,.a規(guī)定 :時，0，同向與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa

23、 與 a 的乘積是一個新向量, 記作，反向與aa總之:運算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 2013(3). 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0baba2013定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba取正號, 反向時取負(fù)號, a , b 同向時則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而則,0 時當(dāng),0 時當(dāng),0 時當(dāng)已知 b a ,b0

24、a , b 同向a , b 反向ab 2013例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD2013二二. 向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)1.向量在軸上的投影.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時軸反向時與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時向時軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果

25、數(shù)ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為2013設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 記作),(ba 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 向量的向量的投影定理投影定理兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj 20132. 向

26、量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2013在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點 M , ),(zyxM則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzj

27、yix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC20133. 向量的模與方向余弦222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得向量的模：, rOM作OMr OROQOP),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxBBABAOAOBBA2013例例2. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 1

28、2( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點2013例例3. 在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 2013oyzx方向角與方向余弦方向角與方

29、向余弦,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. oyzxrcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):2013例例4. 已知兩點)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM20131M三、兩向量的數(shù)量積與向量積三、兩向量的數(shù)量積與向量積沿與力夾角為的直線移動,W設(shè)向量的夾角為 ,稱

30、記作數(shù)量積 (點積) .物理意義物理意義. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s1. 向量的數(shù)量積2013,0時當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時當(dāng)同理babj rPb性質(zhì)：性質(zhì)：為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba2013數(shù)量積運算規(guī)律數(shù)量積運算規(guī)律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示

31、設(shè)則zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba兩向量的夾角公式 當(dāng)為非零向量時,ba,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba2013)(MB, )(MA BM例例5. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故20132. 向量積向量積定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba物理意義：物理

32、意義：設(shè)O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為杠桿上的力矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S2013性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則aa) 1 (0ba,)2(0baba向量積向量積 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (2013)(kajaiazyx)(kbjbibzyx向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(ijkkjixayaza

33、xbybzbkajaiaazyxkbjbibbzyx行列式計算法行列式計算法,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaa2013例例6. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三201322343cos322)2(17例例7. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2013 幾何曲線與空間曲面幾何曲線與空間曲面

34、一、幾何曲線一、幾何曲線二、空間曲面二、空間曲面2013一、幾何曲線一、幾何曲線1.平面上的曲線與直線方程平面曲線的一般形式為0),( yxF確定的隱式(二元關(guān)系).通常討論的一元函數(shù)顯式表示)(xfy 或極坐標(biāo)形式)( 平面直線有如下特殊形式: 一般式一般式 參數(shù)式參數(shù)式 , 0 CByAxCBA,不全為零)(,00 ymtyyltxx2013121121yyyyxxxx01112211yxyxyx)(-0ttarr 兩點式兩點式 或 向量式向量式 * * 這里考慮二維向量常見平面曲線參見附錄2013)()()(thztgytfx0tt )(00tfx )(00tgy )(00thz 類似平

35、面曲線，空間曲線也可用參數(shù)方程來表示:，2 2空間中的空間中的曲線曲線與直線與直線對應(yīng) 有),(000zyx于是得到空間上的一點t當(dāng)隨變動，便可得到曲線上的全部點。上述方程稱為曲線的參數(shù)方程,亦可用向量函數(shù)表示( )( ), ( ), ( )r tf tg th t2013zyxo例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .M空間曲線的特殊形式空間曲線的特殊形式: :空間直空間直線線參數(shù)式方程tmxx0tnyy0tpzz0tpzznyymxx000對稱式方程2013說明說明: 某些分母為零時, 其

36、分子也理解為零.00yyxx直線的對稱式方程對稱式方程也稱為點向式方程點向式方程直線方程為例如, 當(dāng),0, 0時pnm),(0000zyxM 對稱式方程對稱式方程 mxx0),(zyxMnyy0pzz0s已知直線上一點),(0000zyxM和它的方向向量 , ),(pnms 20132L1L兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特別有特別有:21) 1(LL 21/)2

37、(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2013二、空間曲面二、空間曲面1.曲面及其方程定義定義. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;(2) 不在曲面 S 上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,0),(zyxFSzyxo則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.2013空間中特殊的二次曲面形式空間中特殊的二次曲面形式:三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型與圖形見附

38、錄. 的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 ),(1222222為正數(shù)cbaczbyax例如例如. 橢球面橢球面常用特殊情形,即球面球面 )0(2222 RRzyx2013定義定義. . 一條平面曲線旋轉(zhuǎn)曲面和柱面旋轉(zhuǎn)曲面和柱面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸. .繞 z 軸旋轉(zhuǎn):給定 yoz 面上曲線 C: 0),(zyf), 0(111zyM),(zyxMozyxC, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點1221,

39、yyxzz則有則有該點轉(zhuǎn)到故旋轉(zhuǎn)曲面方程為0),(22zyxf2013定義定義.平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.空間222Ryx方程222Ryx沿曲線C : 平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面圓柱面xyzo 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線.xy2212222byax表示母線平行于 z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xyzo20132 2、平面及其方程、平面及其方程設(shè)有三元一次方程此方程稱為平面的一般方程平面的一般方程. .0DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面,

40、 是以法向量法向量為 點法式點法式0)()()(000zzCyyBxxA截距式截距式1czbyax三點式三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx)0(abc2013kji例例1.1.求過三點,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM2013例例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面

41、方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy2013兩平面兩平面, ,平面與直線平面與直線設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2013特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn2121cosnnnn 21nn

42、21/ nn2013因此有例例3. 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且2013外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例4. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111Dz

43、CyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式點到平面的距離公式)2013xyzo0M例例5.解解: 設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx2013當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.22