人教版21章一元二次方程知識點總結(jié)

1、21章一元二次方程知識點一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等號兩邊是整式,含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.注意：1一元二次方程必須是一個整式方程；2只含有一個未知數(shù)；3未知數(shù)的最高次數(shù)是2;4二次項系數(shù)不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0a0,它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次三項式,等式右邊是零,其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項,b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項.注意：1二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù),常數(shù)項都包括它前面的符號.2要準(zhǔn)確找出一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項,必須把它先化為

2、一般形式.3形如ax2bxc0不一定是一元二次方程,當(dāng)且僅當(dāng)a0時是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解,如：當(dāng)x2.22時,x3x20所以x2是x3x20萬程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程有兩個根相等或不等三、一元二次方程的解法1、直接開平方法：直接開平方法理論依據(jù)：平方根的定義.利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.根據(jù)平方根的定義可知,xa是b的平方根,當(dāng)b0日寸,xaVb,xa屈,當(dāng)b<0時,方程沒有實數(shù)根.三種類型：(1)x2aa0的解是xja;(2) xm2nn0的解是x品m;(

3、3) mxn2cm0,且c0的解是xn.m2、配方法:配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22abb2(ab)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替,那么有x22bxb2(xb)2.(一)用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左邊加上一次項系數(shù)絕對值的一半的平方,再減去這個數(shù)；(3)把原方程變?yōu)閤m2n的形式.(4)假設(shè)n0,用直接開平方法求出x的值,假設(shè)n<0,原方程無解.(二)用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為ax2bxc0a0,a1時,用配方法解一元二次方程的步驟：

4、(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常數(shù)項移到等號右邊,再把二次項的系數(shù)化為1:方程的左、右兩邊同時除以二項的系數(shù)；(3)在方程的左、右兩邊加上一次項系數(shù)絕對值的一半的平方把原方程化為xm2n的形式；(4)假設(shè)n0,用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2bxc0a0的求根公式：2bb4ac2xb4ac02a用求根公式法解一元二次方程的步驟是：1把方程化為ax2bxc0a0的形式,確定的值a,b.c注意符號；2求出b24ac的值；并判斷方程根的情況；3假設(shè)b24ac0,那么把a,b

5、,及b24ac的值代人求根公式2xb'4ac,求出xi,x2.2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法這種方法簡單易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理論依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個方程中至少有一個等于0,即假設(shè)pq=0時,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：1將方程的右邊化為0即化為一般式；2將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積.3令每個因式分別為0,得兩個一元一次方程.4解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.關(guān)鍵點：1要將方程右邊化為0即化為一般式；2熟練掌握多項式因式分解的方法,常用方法有：提公式法

6、,公式法平方差公式,完全平方公式、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的選擇,應(yīng)遵循先特殊,再一般,即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法,不能用這兩種特殊方法時,再選用公式法,沒有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解題比較麻煩.三、一元二次方程根的判別式一i兀二次方程ax2bxc0a0中,b24ac叫做一i元二次方程ax2bxc0a0的根的判別式,通常用“來表示,即b24acI當(dāng)4>0時,一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；II當(dāng)4=0時,一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；III當(dāng)<0時,一元二次方程沒有實數(shù)根利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般

7、形式；確定a,b.c的值；計算b24ac的值；根據(jù)b24ac的符號判定方程根的情況.根的判別式的逆用在方程ax2bxc0a0中,(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根b24ac>0(2)方程有兩個相等的實數(shù)根b24ac=0(3)方程沒有實數(shù)根b24ac<0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍,但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件.四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)如果方程ax2bxc0(a0)的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么xix2b,x/2-.aa也就是說,對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程,兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常

8、數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.五、一元二次方程的應(yīng)用知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題,(2)設(shè)未知數(shù),(3)列方程,(4)解方程,(5)檢驗,(6)作答.關(guān)鍵點：找出題中的等量關(guān)系.(1) “審指讀懂題目、審清題意,明確和未知,以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.這一步是解決問題的根底；(2) “設(shè)是指設(shè)元,設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元,所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么,間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的,但由于對列方程有利,因此間接設(shè)元也十分重要.恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易；(3) “列是列方程,這是非常重要的步驟,列方程就是找出題目中的等量關(guān)系,再根據(jù)這個相等關(guān)系列出含有未

9、知數(shù)的等式,即方程.找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵；(4) “解就是求出所列方程的解；(5)檢驗應(yīng)注意的是一元二次方程的解,有可能不符合題意,如線段的長度不能為負數(shù),降低率不能大于100滿等.因此,解出方程的根后,一定要進行檢驗.(6)作答知識點二用一元二次方程解與增長率(或降低率)有關(guān)的問題增長率問題的有關(guān)公式：增長數(shù)(增長了多少)=基數(shù)X增長率實際數(shù)(增長后的值)=基數(shù)+增長數(shù)增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：1, 假設(shè)基數(shù)為a,增長率X為,那么一次增長后的值為a1x,兩次增長后的值為alx2;2, 假設(shè)基數(shù)為a,降低率x為,那么一次降低后的值為alx,兩次降低后的值為alx2

10、.兩次增長后的總和等于基數(shù)+第一次降低后的值+第二次降低后的值知識點三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等.與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：(1)每件利潤=銷售價-本錢價；(2)利潤率=(銷售價一進貨價)+進貨價X100%(3)銷售額=售價X銷售量知識點四數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)X10+個位數(shù)字三位數(shù)二(百位數(shù)字)X100+(十位數(shù)字)X10+個位數(shù)字連續(xù)的整數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為x+1;(x-1,x,x+1).連續(xù)的奇數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為x+2;(x-2,x,x+2).連續(xù)的偶數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為x+2;(x-

11、2,x,x+2).和一定的兩數(shù)(和為a):設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為a-x差一定的兩數(shù)(差為a):設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為x+a積一定的兩數(shù)(積為a):設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為a/x商一定的兩數(shù)(商為a):設(shè)其中一數(shù)為x,另一數(shù)為ax(x/a)知識點五傳染問題：傳染源：1個【每一輪1個可傳染給x個】【前后輪患者數(shù)的比例為1:(1+x)】患者：第一輪后：共(1+x)個第二輪后：共1+x+(1+x)x=(1+x)?(1+x),即(1+x)2個第三輪后：共(1+x)2+(1+x)2?x=(1+x)2?(1+x),即(1+x)3個第n輪后：共(1+x)“個注意：上面例舉的是傳染源為“1的情況得到的結(jié)論.

12、假設(shè)傳染源為a,那么第n輪后患者共為：a(1+X)n個知識點六翻一番即表示為原量的2倍,翻兩番即表示為原量的4倍.知識點七銀行利率應(yīng)用題含利滾利問題年利息=本金X年利率年利率為a%存一年的本息和:存兩年的本息和:存三年的本息和:存n年的本息和:本金X1+年利率本金X1+年利率本金X1+年利率本金X1+年利率,即本金x(1+a%),即本金x(1+a%,即本金x(1+a%,即本金x(1+a%知識點八幾何類題：等積變形,動態(tài)幾何問題,梯子問題,航海問題,幾何與圖表信息,探索存在問題,平分幾何圖形的周長與面積積問題,利用圖形探索規(guī)律最常見的如：求直角三角形的邊.面積S一定,兩直角邊和和為a一定：設(shè)其中

13、一邊為x,另一邊為a-x,貝Ulxa-x=S2面積S一定,兩直角邊差差為a一定：設(shè)其中一邊為x,另一邊為x+a或X-a貝Ulxx+a=$或1乂x-a=S22斜邊c一定,兩直角邊和和為a一定：設(shè)其中一邊為x,另一邊為a-x,那么x2+a-x2=c2斜邊c一定,兩直角邊差差為a一定：設(shè)其中一邊為x,另一邊為x+a或x-a貝1Jx2+x+a2=c2或x2+x-a2=c2知識點九賽制循環(huán)問題：【單循環(huán)比雙循環(huán)少了一半】單循環(huán)：設(shè)參加的球隊為x,那么全部比賽共1xx-1場；雙循環(huán)：設(shè)參加的球隊為x,那么全部比賽共xx-1場；注：雙循環(huán)公式XX-1,單循環(huán)公式1XX-1,其實也就可以理2解為單循環(huán)循環(huán)賽就

14、是和每個對手比賽1次對手?jǐn)?shù)量=參賽隊數(shù)量-1,而每場比賽有2隊參加,就得除以2.雙循環(huán)比賽場次是單循環(huán)的2倍.類似于此題其它題型如：相互握手；鐵路沿線有n個站點要設(shè)計多少種車票；一條線段上有n個點(含兩個端點),該線段上共有n(n-1)條有向線段,該線段上共有：n(n-1)條線段、二次根式的相關(guān)概念1 .平方根：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算術(shù)平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,那么這幾個二次根式稱為同類二次根式.4 .最簡二次根式：滿足兩個條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.特別提示：二次根式,后有意義的條件是a>0.二、二次根式的性質(zhì)1.(1)三個非負性：y&g