大一下學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷與答案

1、WORD格式大一第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷一、填空題此題總分值15 分，共有 5 道小題，每道小題 3 分，請將適宜的答案填在空中。1、球面的一條直徑的兩個端點為2， 3，5 和 4，1，3 ，那么該球面的方程為 _2、函數(shù)uln( xy2z2 ) 在點 A(1,0,1) 處沿點A指向點 B(3,2,2) 方向的方向?qū)?shù)為3、曲面 zx2y2與平面2 x 4 yz0 平行的切平面方程為4、lim(1cos(x2y2 )sin xy222 x2 y2( x, y ) (0,0)(xy ) e5、設(shè)二元函數(shù) zxy2x3 y ，那么2 z_x y二、選擇填空題此題總分值 15 分，共有 5 道小

2、題，每道小題3 分。以下每道題有四個答案， 其中只有一個答案是正確的，請選出適宜的答案填在空中，多項選擇無效。1、旋轉(zhuǎn)曲面 x2y2z21是專業(yè)資料整理WORD格式（ AOzx（ BxOy（ CxOy（ DOzx坐標(biāo)面上的雙曲線繞Ox 軸旋轉(zhuǎn)而成；坐標(biāo)面上的雙曲線繞Oz 軸旋轉(zhuǎn)而成；坐標(biāo)面上的橢圓繞Oz 軸旋轉(zhuǎn)而成；坐標(biāo)面上的橢圓繞Ox 軸旋轉(zhuǎn)而成專業(yè)資料整理WORD格式2、微分方程 y y 2 x cos x3x 2的一個特解應(yīng)具有形式其中 a1 ,b1 , a2, b2 ,d1 , d 2 , d 3都是待定常數(shù) .(A). x(a1xb1 ) cos xx(a2 xb2 ) sin x

3、d1 x 2;(B). x(a1xb1) cos xx(a2 xb2 ) sin xd1x2d2 x d3;(C). x(a1xb1)(a2 cos x b2 sin x)d1x2d2xd3;(D). x(a1xb1 )(cos xsin x)d1 x 2d 2 xd 3專業(yè)資料整理WORD格式3、直線L :x 2 y1z與平面: x2 yz4,那么222(A). L在內(nèi) ;(B). L與不相交 ;(C). L與正交 ;(D). L與斜交 .4、以下說法正確的選項是(A) 兩向量 a 與 b 平行的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使得 ba ；(B) 二元函數(shù) z f x , y 的兩個二階偏導(dǎo)數(shù)2

4、 z,2 z在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)x2y2域內(nèi)兩個二階混合偏導(dǎo)必相等；(C) 二元函數(shù) z f x , y 的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點 x0 , y0處連續(xù)是函數(shù)在該點可微的充分條件 ；(D) 二元函數(shù) z f x , y 的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點 x0 , y0處連續(xù)是函數(shù)在該點可微的必要條件 .5、設(shè)zf (2 xy, x 2y), 且 f22 zC即函數(shù)具有連續(xù)的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，那么x y(A) 2 f112 f 223 f12;(B) 2 f11f 223 f12;(C) 2 f11f225 f 12;(D) 2 f112 f22f12.三、計算題本大題共29 分1、此題13分計算以下微分方程的

5、通解。(1)6分y1xy2xy2(2)7 分y3 y2yxe2 x專業(yè)資料整理WORD格式2、此題8 分設(shè)zuv 2t cos u， uet， vln t，求全導(dǎo)數(shù)dz 。專業(yè)資料整理WORD格式dt專業(yè)資料整理WORD格式2 x22 y 的極值。3、此題8分求函數(shù) f x, y e x y四、應(yīng)用題此題 8分1 、某工廠生產(chǎn)兩種型號的機床，其產(chǎn)量分別為x 臺和y臺，本錢函數(shù)為c( x, y) x22 y2xy萬元假設(shè)市場調(diào)查分析， 共需兩種機床 8 臺，求如何，安排生產(chǎn)使其總本錢最少？最小本錢為多少？專業(yè)資料整理WORD格式五、綜合題本大題共21 分yzxz1、此題 10 分直線l1：bc1

6、， l2：ac1，求過 l1且平行于 l 2的x0y0平面方程 2、 本 題11分 設(shè) 函 數(shù) f ( x, y, z) ln x ln y 3ln z在 球 面x2y2z25R(2x0 ,y 0 上,求z一0點)，使函數(shù)f (x, y, z)取到最大值專業(yè)資料整理WORD格式六、證明題此題共12 分專業(yè)資料整理WORD格式1、設(shè)函數(shù)uxk Fz,y，其中k 是常數(shù)，函數(shù)F具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)試專業(yè)資料整理WORD格式xx專業(yè)資料整理WORD格式證明 : xuyuzukx k Fz ,y專業(yè)資料整理WORD格式xyzxx專業(yè)資料整理WORD格式第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案一、 填空題此題總

7、分值15 分，共有 5 道小題，每道小題3 分1.、x 32y 1 2z 1 2212、1 23、2 x4 yz 5 0 4、05、2 y3x2；二、選擇填空題此題總分值15 分，共有 5 道小題，每道小題3 分1A2B3C4C5A三、計算題本大題共29 分1、 1解：將原微分方程進展別離變量，得：dy(1 x)dxy21專業(yè)資料整理WORD格式上式兩端積分得dyarctan y(1x)dxxx2cy221即： arctan yxx2c 其中c為任意常數(shù)2 2解：題設(shè)方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r 23r20, 特征根為 r1 1,r2 2, 于是，該齊次方程的通解為Y C1x C2e2x

8、, 因2 是特征方程的單根 ， 故可 設(shè)題 設(shè) 方程 的 特 解： y*x(b0 xb1 )e2x . 代 入 題設(shè) 方程,得2b0 x b1 2b0 x, 比較等式兩端同次冪的系數(shù),得 b01b11,2于是，求得題沒方程的一個特解y*x( 1 x 1)e2x.2從而，所求題設(shè)方程的通解為 yC1exC2e2 xx(1x1)e2x .22、解：zuv2t cosuv2t sin u ，uuz2cos2，zuuvtucosvuvtv依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么，全導(dǎo)數(shù)為dzzduzdvzdtdtudtvdttdtv 2t s i nu et2uv 1utc o s 1ln 2tt sin etet2 e

9、tln tc o sett3 、解：解方程組f x x, ye2 x 2x 2y 24 y 1 0，得駐點1 , 1。由于f y x, ye2x2 y 202A f *x, y2 xxy22 y1，Bf xyxy4 2 xy1，Cf yy x, y2 x4ee2e在點 1, 1處，A2e0 ，B0 ，C2e，ACB 24e2，所以函數(shù)在點1, 122處取得極小值，極小值為f1, 1e 。22專業(yè)資料整理WORD格式四、應(yīng)用題此題 8 分專業(yè)資料整理WORD格式1、解：即求本錢函數(shù)c x,y 在條件xy8 下的最小值構(gòu)造輔助函數(shù)Fx, yx22 y 2xy(x y 8)Fx2xy0解方程組F y

10、x4 y0Fxy 80解得7, x5, y 3這唯一的一組解，即為所求，當(dāng)這兩種型號的機床分別生產(chǎn)5 臺和 3 臺時，總本錢最小，最小本錢為：c(5,3)522325328萬五、綜合題本大題共21 分1、解：直線l1與l2的方向向量分別為s10，1，11，0，00，1，1 ，bccbs1 ， ，1， ，01，1，20c01c0aa作n ss1 ，1 ，1，12cabcc2取直線 l1上的一點 P1 0， 0， c ，那么過點 P1且以n1 ，1 ，12為法向cabcc量的平面 xyz10，abc就是過 l1且平行于 l 2的平面方程2、解：設(shè)球面上點為( x, y, z) 令 L( x, y,

11、 z, ) ln xln y3ln z( x2y 2z25R2)，Lx12 x 0, Ly12 y 0, Lz12 z 0, Lx2y 2z25R20xy3z由前三個式子得 x2y2z2，代入最后式子得x yR, z3R 由題意得3f ( x, y, z)在球面上的最大值一定存在，因此唯一的穩(wěn)定點(R, R,3R)就是最大值點，最大值為 f ( R, R, 3R)ln(33R5) 專業(yè)資料整理WORD格式六、證明題此題共12 分 1、證明：專業(yè)資料整理WORD格式uk 1zykzyzkzyyxkxFx ,xxF1 x,xx 2xF2 x,xx2kx k 1F z ,yzxk 2 F1z ,yyx k 2 F