燕山大學(xué)信號處理課程設(shè)計(jì)

1、燕 山 大 學(xué) 課 程 設(shè) 計(jì) 說 明 書燕山大學(xué)課 程 設(shè) 計(jì) 說 明 書題目： 雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器 學(xué)院（系）： 電氣工程學(xué)院 年級專業(yè)： 10級精儀1班 學(xué) 號： 100103020083 學(xué)生姓名： 白清 指導(dǎo)教師： 劉永紅 教師職稱： 副教授 電氣工程學(xué)院課程設(shè)計(jì)任務(wù)書課程名稱： 數(shù)字信號處理課程設(shè)計(jì) 基層教學(xué)單位：儀器科學(xué)與工程系 指導(dǎo)教師： 學(xué)號100103020083學(xué)生姓名白清（專業(yè)）班級 10精儀一班設(shè)計(jì)題目12、 雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)參數(shù)給定技術(shù)指標(biāo)為：，采樣頻率。設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器，用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。

2、(buttord,buttap,butter,bilinear)參考資料數(shù)字信號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應(yīng)完成內(nèi)容收集消化資料、學(xué)習(xí)MATLAB軟件，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算編寫仿真程序、調(diào)試指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字說明：1、此表一式四份，系、指導(dǎo)教師、學(xué)生各一份，報送院教務(wù)科一份。 2、學(xué)生那份任務(wù)書要求裝訂到課程設(shè)計(jì)報告前面。電氣工程學(xué)院 教務(wù)科目錄第一章 緒論.4第二章 雙線性法設(shè)計(jì)低通濾波器步驟.5 2.1 設(shè)計(jì)步驟.5 2.2 雙線性變換數(shù)字低通濾波器流程圖.6第三章 設(shè)計(jì)原理.7 3.1 巴特沃斯模擬低通濾波器的原理及設(shè)計(jì).7 3.1.1 巴特沃斯濾波器原理

3、.7 3.1.2 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟.8 3.2 雙線性變換法原理及轉(zhuǎn)換關(guān)系分析.9 3.2.1 雙線性變換法的基本原理.103.2.2 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析.11第四章 MATLAB中仿真命令介紹.14第五章 仿真及結(jié)果顯示.15 5.1 仿真程序.15 5.2 仿真結(jié)果.16 5.3 仿真圖.17第六章 結(jié)果分析.18第七章 心得體會.19參考文獻(xiàn).20第一章 緒論數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對信號的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一

4、臺計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖

5、激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，其差分方程為： 系統(tǒng)函數(shù)為：計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。第二章 雙線性法設(shè)計(jì)低通濾波器步驟2.1設(shè)計(jì)步驟MATLAB中設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的具體步驟如下：(1) 把給出的模擬濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；(2) 將數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換模擬濾波器的性能指標(biāo)；(3) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過濾波器結(jié)束選擇函數(shù)，來確定濾波器的最小階數(shù)n和固有頻率wn；(4) 由最小階數(shù)n得到巴特沃斯模擬低通濾波

6、器原型；(5) 模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換；(6) 運(yùn)用雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。2.2雙線性變換數(shù)字低通濾波器流程圖第三章 設(shè)計(jì)原理3.1 巴特沃斯模擬低通濾波器的原理及設(shè)計(jì) 3.1.1 巴特沃斯濾波器原理巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數(shù)對角頻率的波特圖上，從某一邊界見頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負(fù)無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻20分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且濾波

7、器的結(jié)束越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低階數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。 圖2.3 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖上述函數(shù)的特點(diǎn)是等距離分布在半徑為的圓上，如下圖所示為三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖：因此，極點(diǎn)用下式表示為 (2-15) 的表示式： (2-16)為了使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 (2-17)令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 (2-18)式中，為歸一化極點(diǎn)，用下式表示: (2-19)巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和

8、3 dB截止頻率c的過程。 3.1.2 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)和得到階數(shù)N和截止頻率。當(dāng)時，；當(dāng)時，；由上兩個方程對N和求解得：因此或者2）系統(tǒng)函數(shù) 所以 =，k=0,12N-1 根據(jù)上式求出歸一化極點(diǎn)。 將歸一化極點(diǎn)代入式，得到歸一化傳輸函數(shù)。 3）將去歸一化。將代入得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。3.2 雙線性變換法原理及轉(zhuǎn)換關(guān)系分析 3.2.1雙線性變換法的基本原理由于從平面到平面的映射具有多值性，使得設(shè)計(jì)出來的數(shù)字濾波器不可避免的出現(xiàn)頻譜混迭現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生的頻譜混疊效應(yīng)的缺點(diǎn)，我們使用一種新的變換雙線性變換。雙線性變換法可認(rèn)為是基于對微分方程的積分，利用對

9、積分的數(shù)值逼近的思想 。仿真濾波器的傳遞函數(shù)為 （2-1）將展開為部份分式的形式，并假設(shè)無重復(fù)幾點(diǎn)，則 （2-2）那么，對于上述函數(shù)所表達(dá)的數(shù)字信號處理系統(tǒng)來講，其仿真輸入和模擬輸出有如下關(guān)系利用差分方程來代替導(dǎo)數(shù)，即 （2-3）同時令這樣，便可將上面的微分方程寫為對應(yīng)的差分方程形式 （2-4）兩邊分別取變換，可得 （2-5）這樣，通過上述過程，就可得到雙線性變換中的基本關(guān)系，如下所示 （2-6） （2-7）所謂的雙線性變換，僅是指變換公式中與的關(guān)系無論是分子部份還是分母部份都是線性的。3.2.2 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻域軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再

10、用z=轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步現(xiàn)將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。 /T 0 0 -1 0 1 -/T 圖2.1雙線性變換法的映射情況為了將S平面的整個虛軸壓縮到軸上的-/T到/T段上，可以通過以上的正切的變換實(shí)現(xiàn) =2/Ttan(T/2) （2-8） 式中，T仍是采樣間隔。當(dāng)由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個軸。將上式（1-1）寫成 （2-9）將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和，令

11、=s, =S1,則得S (2-10)再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：z= （2-11）從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為; (2-12) (2-13)式（1-5）和式（1-6）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此成為雙線性變換。依靠雙線性變換是建立起來s平面和z平面的單值映射關(guān)系，由上式我們可以得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系： （2-14）從上式可知，當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，整個軸是單值地對應(yīng)于單位元的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，它不存在頻率混淆問題。由于S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面

12、的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關(guān)系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預(yù)畸變來校正。用雙線性變換設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)式（1-7）的頻率預(yù)畸變，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過雙線性變換公式球的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點(diǎn)映射到我們所需要的位置上。圖2.2雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射下面我們利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。a)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：同代

13、截止頻率、同代衰減、阻帶截止頻率、阻帶衰減。b)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。采用雙線性變換法，便捷頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 c)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。d）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)反函數(shù)Ha(z)。H(z)=Ha（S）|第四章 MATLAB仿真命令介紹1） 確定濾波階數(shù)函數(shù)buttord 格式：N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) 其中N：滿足指標(biāo)的最低濾波器的階數(shù); Wn:：巴特沃斯自然頻率 Rp：通帶最大衰減 Rs：阻帶最小衰減 Wp、Ws歸一化的通帶和阻帶的邊緣頻率。2）確定模擬

14、低通濾波器原型函數(shù)buttap 格式：Z,P,K=buttap(N) 其中N：滿足指標(biāo)的最低濾皮器階數(shù) Z：N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通模擬濾波器的零點(diǎn) P：N階歸一化巴特沃斯巴特沃斯模擬低通模擬濾波器的極點(diǎn) K：N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通模擬濾波器的增益 3）雙線性變換函數(shù)bilinear 格式：NUMd,DENd=bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM：s域轉(zhuǎn)移函數(shù)分子系數(shù)按冪遞減方式排列的行向量 DEN：s域轉(zhuǎn)移函數(shù)分母系數(shù)按冪遞減排列的行向量 Fs:采樣頻率 NUMd:z域轉(zhuǎn)移分子系數(shù)按冪遞減方式排列的行向量 DENd：z域轉(zhuǎn)移分母系數(shù)按冪遞減方式排列的行向量4）繪

15、制幅頻特性曲線函數(shù)freqz 格式一：H，W=freqz(B,A,N) N: 頻點(diǎn)數(shù)目，參數(shù)N好選用2的整數(shù)次冪，以便使用FFT進(jìn)行快速運(yùn)算，N的缺省值為512。 W：數(shù)字濾波器的N點(diǎn)的頻率向量，計(jì)算所得的N個頻率點(diǎn)均勻的分布在0，上 H：與W相對應(yīng)的N點(diǎn)的頻率響應(yīng)向量，計(jì)算所得的N個頻率點(diǎn)均勻的分布在0，上， H：與W相對應(yīng)的N點(diǎn)頻率響應(yīng)向量 A：，是濾波器系數(shù)，即濾波器形式如下： 格式二：freqz(B,A,N) 直接繪制頻率響應(yīng)圖，而且返回任何值。 格式三：H=freqz（B,A,W）返回W向量中指定的頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)。其中，W以弧度為單位在0，范圍內(nèi)。 格式四：H，F(xiàn)=freqz(

16、B,A,N,Fs) 對在0，F(xiàn)s/2上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)的響應(yīng)值分別記錄在F和H中。5）將零極點(diǎn)增益濾波器轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)函數(shù)形式zp2tf 格式：Bp,Ap=zp2tf(z,p,k)6）低通到低通模擬濾波器變換函數(shù)lp2lp 格式：b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn) 第五章 仿真及結(jié)果顯示 5.1 仿真程序 fs=1000;%采樣頻率 fp=100; fst=300; wp=2*pi*fp/fs;%數(shù)字通帶截止頻率 ws=2*pi*fst/fs;%數(shù)字阻帶截止頻率 Rp=3;%通帶最大衰減系數(shù) Rs=20;%阻帶最大衰減系數(shù) Ts=1/fs;%采樣周期 m=256;%采樣點(diǎn)數(shù) W

17、p=2/Ts*tan(wp/2);%模擬通帶截止頻率 Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模擬阻帶截止頻率 N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)；%選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數(shù) z,p,k=buttap(N);%創(chuàng)建巴特沃斯模擬低通濾波器 Bp,Ap=zp2tf(z,p,k);%由零點(diǎn)、極點(diǎn)、增益確定傳輸函數(shù)的分子與分母的系數(shù) b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換 Figure（1）； bz,az=bilinear(b,a,fs)；%用雙線性變換法實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器到數(shù)字低通 濾波器的轉(zhuǎn)換 freqz(bz,az,m,fs)

18、 %得到模擬濾波器的m點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng) figure(2); freqs(bz,az,m) %得到數(shù)字濾波器的m點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)5.2 仿真結(jié)果N = 2Wn = 872.6903Bp = 0 0 1Ap = 1.0000 1.4142 1.0000bz = 0.1053 0.2107 0.1053az = 1.0000 -0.8958 0.3172N = 2Wn = 872.6903Bp = 0 0 1Ap = 1.0000 1.4142 1.0000bz = 0.1053 0.2107 0.1053az = 1.0000 -0.8958 0.31725.3仿真圖圖5.1模擬濾波器的幅頻、相頻響應(yīng)圖形圖5.2數(shù)字濾波器的幅頻、相頻響應(yīng)圖形第六章 結(jié)果分析本次設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器采用巴特沃茲濾波器使用雙線性變換法，避免的出現(xiàn)頻譜