初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖

1、初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解限用直尺和圓規(guī)來完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法. 初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過一點(diǎn)做一已知線段的垂線1）點(diǎn)在直線外，以點(diǎn)為圓心以大于點(diǎn)到直線的距離為半徑，做園交直線與A,B。以A,B分別為圓心以大于AB中點(diǎn)為半徑做2園交與C,D兩點(diǎn)；連接C,D就是垂線。2）點(diǎn)在直線上以點(diǎn)為圓心以任意距離為半徑交直線與A,B兩點(diǎn)。以A,B分別為圓心以大于剛才園半徑為半徑做2園分別交與C,D連接CD就是所求直線5.做一線段的中垂線【例1】 電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)、的距離

2、必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？【分析】 這是一道實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意知道，點(diǎn)應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)應(yīng)是它們的交點(diǎn).【解析】 作兩條公路夾角的平分線或； 作線段的垂直平分線；則射線，與直線的交點(diǎn)，就是發(fā)射塔的位置.【例2】 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使是等腰三角形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？【解析】 首先要清楚點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件，一是點(diǎn)在上；二是必須是等腰三角形.其次，尋找點(diǎn)要分情況討論，也就是當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與直線有兩個(gè)點(diǎn)、；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，

3、為半徑畫圓，與直線無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，與直線有一交點(diǎn)，所以總計(jì)這樣的點(diǎn)有3個(gè).【例3】 設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與及外切.【分析】 設(shè)是符合條件的圓，即其半徑為，并與及外切，顯然，點(diǎn)是由兩個(gè)軌跡確定的，即點(diǎn)既在以為圓心以為半徑的圓上，又在以為圓心以為半徑的圓上，因此所求圓的圓心的位置可確定.若與相距為，當(dāng)時(shí)，該題無解，當(dāng)有唯一解；當(dāng)時(shí)，有兩解.【解析】 以當(dāng)與相距為，時(shí)為例： 作線段，. 分別以，為圓心，以，為半徑作圓，兩圓交于兩點(diǎn). 連接，分別交以為半徑的于、兩點(diǎn). 分別以為圓心，以為半徑作圓.即為所求.【思考】若將例3改為：“設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為

4、的圓，使其與 內(nèi)切，與外切.”又該怎么作圖？ 代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【例4】 只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.【分析】 設(shè)半徑為.可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為，也就是說用這個(gè)長(zhǎng)度去等分圓周.我們的任務(wù)就是做出這個(gè)長(zhǎng)度.六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)的長(zhǎng)度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為，一直角邊為的直角三角形，的長(zhǎng)度自然就出來了.【解析】 具體做法： 隨便畫一個(gè)圓.設(shè)半徑為1. 先六等分圓周.這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為. 以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓

5、心，同向作弧，交于一點(diǎn).（“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為2，腰為的等腰三角形.可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是.） 以的長(zhǎng)度等分圓周就可以啦！【例5】 求作一正方形，使其面積等于已知的面積.【分析】 設(shè)的底邊長(zhǎng)為，高為，關(guān)鍵是在于求出正方形的邊長(zhǎng)，使得，所以是與的比例中項(xiàng).【解析】 已知：在中，底邊長(zhǎng)為，這個(gè)底邊上的高為，求作：正方形，使得：作法： 作線段； 在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得； 取中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作； 過作，交于， 以為一邊作正方形.正方形即為所求.【例6】 在已知直線上求作一點(diǎn)，使得過作已知半徑為的的切線，其切線長(zhǎng)為.【分析】

6、 先利用代數(shù)方法求出點(diǎn)與圓心的距離，再以為圓心，為半徑作圓，此圓與直線的交點(diǎn)即為所求.【解析】 作，使得：，. 以為圓心，為半徑作圓.若此圓與直線相交，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，.，即為所求.若此圓與直線相切，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).即為所求.若此圓與直線相離，此時(shí)無交點(diǎn).即不存在這樣的點(diǎn)使得過作已知半徑為的的切線，其切線長(zhǎng)為. 旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例7】 已知：直線、，且.求作：正，使得、三點(diǎn)分別在直線、上.【分析】 假設(shè)是正三角形，且頂點(diǎn)、三點(diǎn)分別在直線、上.作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，置于的位置，此時(shí)點(diǎn)

7、的位置可以確定.從而點(diǎn)也可以確定.再作，點(diǎn)又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.【解析】 作法： 在直線上取一點(diǎn)，過作于點(diǎn)； 以為一邊作正三角形； 過作，交直線于； 以為圓心，為半徑作弧，交于(使與在異側(cè)). 連接、得.即為所求.【例8】 已知：如圖，為角平分線上一點(diǎn).求作：，使得，且在上，在上.【解析】 過作于. 過作直線; 在直線上取一點(diǎn)，使得(或)； 過(或)作（或），交于(或)點(diǎn)； 連接(或)，過作(或)交于（或）點(diǎn).連接(或).則(或)即為所求. 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖

8、形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例9】 已知：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.【分析】 先放棄一個(gè)頂點(diǎn)在邊上的條件，作出與正方形位似的正方形，然后利用位似變換將正方形放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形.【解析】 作法： 在邊上任取一點(diǎn)，過作于 以為一邊作正方形，且使在的延長(zhǎng)線上. 作直線交于. 過分別作交于；作交于. 過作交于.則四邊形即為所求. 面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【例10】 如圖，過的底邊上一定點(diǎn)，求作一

9、直線，使其平分的面積.【分析】 因?yàn)橹芯€平分的面積，所以首先作中線，假設(shè)平分的面積，在中先割去，再補(bǔ)上.只要，則和就同底等高，此時(shí)它們的面積就相等了.所以就平分了的面積.【解析】 作法： 取中點(diǎn)，連接; 過作交于； 過、作直線.直線即為所求.【例11】 如圖：五邊形可以看成是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形構(gòu)成. 請(qǐng)你作一條直線，使直線平分五邊形的面積； 這樣的直線有多少條？請(qǐng)你用語言描述出這樣的直線.【解析】 取梯形的中位線的中點(diǎn)，再取矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)，的直線即為所求； 這樣的直線有無數(shù)條.設(shè)中的直線交于，交于，過線段中點(diǎn)，且與線段、均有交點(diǎn)的直線均可平分五邊形的面積.【例12】 (江蘇連

10、云港)如圖，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線 研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖)，則直線是的黃金分割線你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？ 請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？ 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接(如圖)，則直線也是的黃金分割線請(qǐng)你說明理由 如圖，點(diǎn)是的邊的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是的黃金分割線請(qǐng)你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點(diǎn)ACB圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4 【解析】 直線是的黃金分割線理由如下：設(shè)的邊上的高為，又點(diǎn)為邊的黃金分割點(diǎn)，直線是的黃金分割線 三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)，即，三角形的中線不可能是該三角