同濟第三版高數(shù)(15)第五節(jié)極限運算法則同濟第三版高數(shù)

1、 由于初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運算由于初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運算和復(fù)合運算構(gòu)成，而微積分以極限為工具研究和復(fù)合運算構(gòu)成，而微積分以極限為工具研究初等函數(shù)，故在微積分中主要討論極限的四則初等函數(shù)，故在微積分中主要討論極限的四則運算和復(fù)合運算。運算和復(fù)合運算。 由極限與無窮小的關(guān)系，極限運算的討論由極限與無窮小的關(guān)系，極限運算的討論可歸結(jié)為無窮小運算的討論?？蓺w結(jié)為無窮小運算的討論。極限理論可分為兩個部分，一是極限概念，二是極極限理論可分為兩個部分，一是極限概念，二是極限計算。在理解極限概念的基礎(chǔ)上，可進一步討論極限限計算。在理解極限概念的基礎(chǔ)上，可進一步討論極限的計算問題。的計算問題。

2、 利用極限與無窮小的關(guān)系，由無窮小的代數(shù)運利用極限與無窮小的關(guān)系，由無窮小的代數(shù)運算性算性質(zhì)可方便地導(dǎo)出極限的四則運算法則。質(zhì)可方便地導(dǎo)出極限的四則運算法則。利用極限利用極限的四則的四則運算法則可將初等函數(shù)的極限運算法則可將初等函數(shù)的極限計算問題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)計算問題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的極限計算。從而只需求出基的極限計算。從而只需求出基本初等函數(shù)的極限就可計算出本初等函數(shù)的極限就可計算出相當(dāng)一部分初等函數(shù)的極限。相當(dāng)一部分初等函數(shù)的極限。 如果如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，則則lim f( x ) g( x ) 存在，且有存在，且有 lim f( x )

3、g( x )= AB = lim f( x ) lim g( x ). 因為因為 lim f( x )= A，lim g( x )= B，由極限與無窮小由極限與無窮小的關(guān)系有的關(guān)系有 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )， 其中其中 lim ( x )= 0，lim ( x )= 0 . 于是對不受極限號約束的函數(shù)形式有于是對不受極限號約束的函數(shù)形式有 f( x ) g( x )= A + ( x ) B + ( x )=( A B )+ ( x ) ( x ). 由無窮小的代數(shù)運算性質(zhì)知由無窮小的代數(shù)運算性質(zhì)知 ( x ) ( x )也是無也是無窮小。窮小。

4、再由極限與無窮小的關(guān)系有再由極限與無窮小的關(guān)系有 lim f( x ) g( x ) = A B = lim f( x )lim g( x ). . 定理定理 1 的條件為，在自變量同一變化過程中，兩個的條件為，在自變量同一變化過程中，兩個單項極限均存在，即單項極限均存在，即 lim f( x )= A，lim g( x )= B . . 只有在兩個單項極限都存在的條件下，兩極限的和只有在兩個單項極限都存在的條件下，兩極限的和 lim f( x ) lim g( x )才有意義。此時才能考慮極限和是才有意義。此時才能考慮極限和是否等于和的極限的問題。反之，若兩個單項極限有一個否等于和的極限的問

5、題。反之，若兩個單項極限有一個不存在，則極限和不存在，則極限和 lim f( x ) lim g( x )沒有意義，自然也沒有確定結(jié)果，但此沒有意義，自然也沒有確定結(jié)果，但此時兩函數(shù)和的極限時兩函數(shù)和的極限 lim f( x ) g( x ) 卻可以有意義，也可能存在。卻可以有意義，也可能存在。 定理結(jié)論可分為定性和定量的兩個部分。定理結(jié)論可分為定性和定量的兩個部分。 定性結(jié)論是：和的極限定性結(jié)論是：和的極限 lim f( x ) g( x )存在。存在。此結(jié)論通常用于判別和函數(shù)極限的存在性。此結(jié)論通常用于判別和函數(shù)極限的存在性。 定量結(jié)論是：和的極限等于極限的和，即定量結(jié)論是：和的極限等于極

6、限的和，即 lim f( x ) g( x ) = lim f( x ) lim g( x ).此結(jié)論通常用于和函數(shù)極限的計算。此結(jié)論通常用于和函數(shù)極限的計算。 由歸納法原理，定理由歸納法原理，定理 1 1 可推廣至有限多個函數(shù)的和可推廣至有限多個函數(shù)的和的情形，即的情形，即 如果如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1, ,2, , ,n )，則則 存在，且有存在，且有 需注意的是，定理需注意的是，定理 1 1 的結(jié)論的結(jié)論不能推廣至無窮多個函數(shù)和的情不能推廣至無窮多個函數(shù)和的情形，即無窮多個函數(shù)的和的極限形，即無窮多個函數(shù)的和的極限未必等于各函數(shù)極限的和。未必等于各函數(shù)極限

7、的和。 111limlimnnniiiiiifAfxx. . 1limniifx 例：例：求極限求極限 這是這是 n - - 1 項的和的求極限問題，當(dāng)項的和的求極限問題，當(dāng) n 時，時，就成了就成了無窮多項和的極限問題。無窮多項和的極限問題。 對此和式中的任一項對此和式中的任一項 容易求得容易求得有有那末是否有那末是否有 222121lim.nnnnn 21 21kkfknnn, ., ., , 2limlim01 21knnkfknnn, , , , . . 12221121limlimnknnknfnnnn 1122 11limlim0000. ?nnnnkkkknnxyOyx1nn1n

8、n1n1n2n3nkn1knkn2nn2nn4n4n3n2n1三角形面積可近似地表為各小矩形面積之和三角形面積可近似地表為各小矩形面積之和222121nSnnn12S 為應(yīng)用和的極限運算法則進行計算，可考慮將給為應(yīng)用和的極限運算法則進行計算，可考慮將給定的無窮和轉(zhuǎn)化為有限和。定的無窮和轉(zhuǎn)化為有限和。 因為因為 22221211231limlimnnnnSnnnn 222121. nnSnnn 所所以以 211111limlim 1.222nnn nnn 為確定見，設(shè)為確定見，設(shè) lim f ( x )存在，存在，lim g ( x )不存在。不存在。 假定假定( C )正確，即正確，即 lim

9、 f( x )+ g( x ) 存在。存在。 由于由于 lim f ( x )存在，故由定理存在，故由定理 1 有：有： lim f( x )+ g( x )- f( x )= lim g( x )存在，存在， 這與初設(shè)這與初設(shè) lim g( x )不存在矛盾，不存在矛盾，故故( C )不正確。于是正確選項應(yīng)為不正確。于是正確選項應(yīng)為即即 lim f( x )+ g( x )一定一定不不存在。存在。lim f( x )= A，lim g( x )= B ，則則lim f( x ) g( x ) 存在，且有存在，且有 lim f( x ) g( x )= AB = lim f( x ) lim

10、g( x ). 按條件，由極限與無窮小的關(guān)系有按條件，由極限與無窮小的關(guān)系有 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )， 其中其中 lim ( x )= 0， lim ( x )= 0 . 對不受極限號約束的函數(shù)形式有對不受極限號約束的函數(shù)形式有 f( x ) g( x )= A + ( x ) B + ( x ) = A B + A ( x )+ B ( x )+ + ( x ) ( x ) . . 由無窮小的運算性質(zhì)知由無窮小的運算性質(zhì)知 ( x )= A ( x )+ B ( x )+ + ( x ) ( x )為無窮小，為無窮小，故有故有 f( x ) g

11、( x )= A B + ( x )，lim ( x )= 0 . . 即即 lim f( x ) g( x ) = A B = lim f( x ) lim g( x ). 由歸納法原理，定理由歸納法原理，定理 2 2 可推廣至有限多個函數(shù)的乘可推廣至有限多個函數(shù)的乘積的情形，即積的情形，即 如果如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1, ,2, , ,n )，則則 存在，且有存在，且有 需注意的是，定理需注意的是，定理 2 2 不能推不能推廣至無窮多個函數(shù)的乘積情形，廣至無窮多個函數(shù)的乘積情形，即無窮多個函數(shù)的乘積的極限未即無窮多個函數(shù)的乘積的極限未必等于各函數(shù)極限的乘積。

12、必等于各函數(shù)極限的乘積。 111limlimnnniiiiiifAfxx . . 1limniifx 如果如果 lim f( x )存在存在，而，而 n 為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則 lim f ( x )n = lim f( x )n . . 如果如果 lim f ( x )存在存在，而，而 C 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 lim C f( x )= C lim f( x ).推論推論1 f( x )g( x )推論推論2 g( x )C對初等函數(shù)的討論，所遇到的冪函數(shù)指數(shù)常常不對初等函數(shù)的討論，所遇到的冪函數(shù)指數(shù)常常不一定是正整數(shù)，因此推論一定是正整數(shù)，因此推論 1 1 的應(yīng)用會出現(xiàn)一些問題。的應(yīng)用

13、會出現(xiàn)一些問題。 由復(fù)合函數(shù)的極限運算性質(zhì)還可得到如下更具一由復(fù)合函數(shù)的極限運算性質(zhì)還可得到如下更具一般性的結(jié)果：般性的結(jié)果： 若若 lim f( x )= A 0 ，則對一切實數(shù)，則對一切實數(shù) 有有 lim f ( x ) = lim f ( x ) . .如果如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，且且 B 0，則則 由極限與無窮小的關(guān)系，為證明此商的極限運由極限與無窮小的關(guān)系，為證明此商的極限運算法則，可設(shè)法證明在自變量的一定趨向下算法則，可設(shè)法證明在自變量的一定趨向下 為無窮小。為無窮小。 為證為證 ( x )為無窮小，首先需使為無窮小，首先需使 ( x )有意

14、義，即使有意義，即使 g( x )在在自變量的相應(yīng)趨向下自變量的相應(yīng)趨向下沒有零點。沒有零點。 limlimlim.limfffAxxxggBgxxx, , 存存在在且且有有 fAxxgBx 證明證明 x x 0 時的情形。時的情形。 因為因為 由局部保號性定理可推出由局部保號性定理可推出，存在存在 1 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0 x - - x 0 1 時時從而當(dāng)從而當(dāng) 0 x - - x 0 2 0 的的 2，使使得得當(dāng)當(dāng) 0 x - - x 0 2 時時有有 fAAxAxxgBBBxx B AA BxxB Bx 1B Bx 1BAxxB Bx . . *02B * 2Bx . . 于是有于是有

15、即即當(dāng)當(dāng) 0 x - - x 0 X 1 時時從而當(dāng)從而當(dāng) x X 1 時，時， 總有意義?？傆幸饬x。 因為因為 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )，其中，其中 lim0 xgBx, , 0 2Bgx. . fAxxgBx limlimxxfAgBxx , , , ,故故有有 lim0lim0 xxxx , , . . 由無窮小的性質(zhì)知，由無窮小的性質(zhì)知，當(dāng)當(dāng) x 時，時，B ( x )+ A ( x )為無窮小，故要證為無窮小，故要證 ( x )為無窮小，只需證為無窮小，只需證在當(dāng)在當(dāng) x 的充分大時的充分大時有界。有界。 因為因為當(dāng)當(dāng) x 時，時， (

16、x )為無窮小，由極限定義知為無窮小，由極限定義知 對對 ，存在滿足條件，存在滿足條件 X 2 X 1 0 的的 X 2，使得使得當(dāng)當(dāng) x X 2 時時有有 fAAxAxxgBBBxx B AA BxxB Bx 1B Bx 1BAxxB Bx . . *02B * 2Bx . . 于是有于是有即即當(dāng)當(dāng) x X 2 時時 有界。有界。從而當(dāng)從而當(dāng) x 時時 為無窮小。為無窮小。 由極限與無窮小的關(guān)系知由極限與無窮小的關(guān)系知 111BB BBxBxxB fBxAxAxxgBB Bxx 2 122BBB , 1B Bx 000 limlim.limxxxxxxfxfAxgBgxx 如果如果 ( x

17、) ( x )，而，而 lim ( x )= a , , lim ( x )= b , ,那么那么 a b . . 如果將定理如果將定理 1 3 理解成在等式兩邊實施極限理解成在等式兩邊實施極限運算的條件和規(guī)則的話，定理運算的條件和規(guī)則的話，定理 4 則可理解成在不等式兩則可理解成在不等式兩邊實施極限運算的條件和規(guī)則，即如果邊實施極限運算的條件和規(guī)則，即如果 ( x ) ( x )，而，而 lim ( x ) , , lim ( x )存在，存在，則可則可在在不等式不等式 ( x ) ( x )兩邊取極限，且有兩邊取極限，且有 lim ( x ) lim ( x ) . . 作輔助函數(shù)作輔助函

18、數(shù) f( x )= ( x )- - ( x ). . 由和的極限運算法則有由和的極限運算法則有 lim f( x )= lim ( x )- - ( x ) = lim ( x )- - lim ( x )= a - - b . . 由條件知由條件知 f( x )= ( x )- - ( x ) 0，故由局部保號性定理推論有故由局部保號性定理推論有 lim f( x ) 0，即有即有 a - - b 0，因此，因此 a b . . 條件條件 ( x ) ( x )僅是局部性的要求，并非要求僅是局部性的要求，并非要求在函數(shù)在函數(shù) ( ( x ) )、 ( ( x ) )的定義域內(nèi)恒成立，方可在

19、其的定義域內(nèi)恒成立，方可在其兩兩邊取極限。邊取極限。 對對 x x 0 的情形，不等式的情形，不等式 ( x ) ( x )僅要求在僅要求在點點x 0 的某空心鄰域內(nèi)成立即可。的某空心鄰域內(nèi)成立即可。 對對 x 的情形，不等式的情形，不等式 ( x ) ( x )僅要求對僅要求對某個正數(shù)某個正數(shù) X，當(dāng)，當(dāng) x X 時時成立即可。成立即可。 定理定理 4 4 可理解為在不等式兩邊取極限的運算條件可理解為在不等式兩邊取極限的運算條件和規(guī)則，需注意的是，若將條件改成和規(guī)則，需注意的是，若將條件改成 ( x ) ( x )，定理定理結(jié)果仍為結(jié)果仍為 a b，即即 如果如果 ( x ) ( x )，而

20、，而 lim ( x )= a , , lim ( x )= b , ,那么那么 a b . . 不能將此定理想當(dāng)然地推廣為不能將此定理想當(dāng)然地推廣為 如果如果 ( x ) ( x )，而，而 lim ( x )= a , , lim ( x )= b , ,那么那么 a b . .例：例：設(shè)設(shè) ( x )= x 4 + x 2 +1， ( x )= x 2 +1， 由極限運算法則容易求得由極限運算法則容易求得 結(jié)果分析：結(jié)果分析： 由給定函數(shù)表達式易見，當(dāng)由給定函數(shù)表達式易見，當(dāng) x 0 時有時有 x 4 + x 2 +1 = ( x ) ( x )= x 2 +1，因此由因此由 ( x )

21、 ( x )只能導(dǎo)出只能導(dǎo)出 lim ( x ) lim ( x ). 00: limlimxxxx , ,. .求 42 00limlim11xxxxxa , , 2 00limlim11xxxxb . . 00 limlimxxxabx . .而而 用極限四則運算法則討用極限四則運算法則討論和計算函數(shù)極限，首先需論和計算函數(shù)極限，首先需注意的是，這些法則都是在一定條件下成立的，應(yīng)用時注意的是，這些法則都是在一定條件下成立的，應(yīng)用時應(yīng)注意考察相應(yīng)條件是否滿足。只有當(dāng)應(yīng)注意考察相應(yīng)條件是否滿足。只有當(dāng)運算法則運算法則條件滿條件滿足時，才能應(yīng)用這些法則進行計算。足時，才能應(yīng)用這些法則進行計算。

22、然而然而，對于某些極限，盡管其不滿足對于某些極限，盡管其不滿足運算法則的條運算法則的條件，極限卻仍可能存在。件，極限卻仍可能存在。因此，因此，從計算角度可將極限可分為兩從計算角度可將極限可分為兩類，一類稱之為類，一類稱之為“定定式式”，一，一類類稱之為稱之為“不定式不定式”。 所謂所謂“定式定式”就是滿足極限運算法則條件的極限式就是滿足極限運算法則條件的極限式, ,而而“不定式不定式”則是指雖不滿足極限運算法則條件，但其則是指雖不滿足極限運算法則條件，但其極限仍可能存在的那類極限式。極限仍可能存在的那類極限式。 對于對于“定式定式”，只需按極限運算法則計算就可以，只需按極限運算法則計算就可以了

23、，而對于了，而對于“不定式不定式”，通常不能直接根據(jù)法則計算，通常不能直接根據(jù)法則計算，而需先對給定而需先對給定“不定式不定式”進行適當(dāng)?shù)倪M行適當(dāng)?shù)淖冃位蜣D(zhuǎn)化，使其滿足運算法則條件，變形或轉(zhuǎn)化，使其滿足運算法則條件，再考慮按極限運算法則進行計算。再考慮按極限運算法則進行計算。 由于由于“定式定式”計算相對簡單，計算相對簡單，所以極限計算主要研究所以極限計算主要研究“不定式不定式”的計算。的計算。例：例：求極限求極限 對此三次多項式的極限計算，對此三次多項式的極限計算， 由極限的加法及乘由極限的加法及乘法運算法則有法運算法則有 需注意的是：此處計算的是三次多項式的極限值，需注意的是：此處計算的是

24、三次多項式的極限值，而不是函數(shù)值，即并不是將而不是函數(shù)值，即并不是將 x = 1 代入該三次多項式求代入該三次多項式求得的值。得的值。 2 1lim 321xxx. . 221111lim 321lim3lim2lim1xxxxxxxx 21113 lim2limlim13 12 114.xxxxx 由于多項式總是經(jīng)由加法和乘法運算構(gòu)成的，因此由于多項式總是經(jīng)由加法和乘法運算構(gòu)成的，因此本例的計算過程也適用于一般多項式在一點本例的計算過程也適用于一般多項式在一點 x 0 處的極處的極限的計算。對于一般的多項式限的計算。對于一般的多項式 P n( x )= a 0 x n + a1 x n -

25、-1 + + a n - -1 x + a n，求其在一點求其在一點 x = x 0 處的極限處的極限 可作如下計算可作如下計算 因為對因為對 1 k n 有有 于是由極限運算法則有于是由極限運算法則有 0 limnxxPx. . 0000limlimlimkkkkkkkkxxxxxxa xaxaxa x , , 001011limlimnnnnnxxxxPxa xa xaxa 00001011limlimlimlimnnnnxxxxxxxxaxaxaxa1 0110000nnnnna xa xaxaPx. .例：例：求極限求極限 對此分式的極限，對此分式的極限， 考慮考慮由極限的運算法則進行

26、計由極限的運算法則進行計算，為此先驗證商的極限運算法則條件是否滿足。算，為此先驗證商的極限運算法則條件是否滿足。 因為因為 因此由因此由商的極限運算法則商的極限運算法則有有 3 221lim53xxxx. . 33222lim1limlim1817xxxxx, , 22 222lim53lim5lim330 xxxxxxx. . 33322222222lim1lim11lim53lim53lim5 23xxxxxxxxxxxxx 3 22177.3325 23 由于有理分式函數(shù)總是經(jīng)由加、減、乘、除四種運由于有理分式函數(shù)總是經(jīng)由加、減、乘、除四種運算構(gòu)成的，因此本例的計算過程也適用于一般有理分

27、式算構(gòu)成的，因此本例的計算過程也適用于一般有理分式函數(shù)在一點函數(shù)在一點 x 0 處的極限計算。處的極限計算。 對于一般的有理分式函數(shù)對于一般的有理分式函數(shù) P m( x )= a 0 x m + a1 x m- - 1 + + a m - - 1 x + a m， Q n( x )= b 0 x n + b 1 x n - - 1 + + b n - - 1 x + b n，Q n( x0 ) 0 , 求其在一點求其在一點 x = x 0 處的極限處的極限 可作如下計算可作如下計算 由于由于故由商的極限法則有故由商的極限法則有 mnPxF xQx, , 其其中中 0lim.xxF x 00 0

28、0limlim0mmnnxxxxPxPxQQxx, , , , 0 000000limlimlim.limmmxxmxxxxnnnxxPxPxPxF xF xQQQxxx 由上計算看出，對有理函數(shù)由上計算看出，對有理函數(shù) f( x )而言，只要而言，只要 f( x )在點在點 x 0 處有定義，則當(dāng)處有定義，則當(dāng) x x 0 時，時，f( x )的極限必存在的極限必存在, ,且其極限值等于且其極限值等于 f( x )在點在點 x 0 處的函數(shù)值。處的函數(shù)值。 此處不加證明地指出：一切基本初等函數(shù)在其定此處不加證明地指出：一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都具有這樣的性質(zhì)，即若義域內(nèi)都具有這樣的性質(zhì)，

29、即若 f( x )是基本初等函數(shù)是基本初等函數(shù), ,其定義域為其定義域為 D f ，則當(dāng)，則當(dāng) x0 D f 時有時有 由此可得計算基本初等函數(shù)在一點處的極限的一由此可得計算基本初等函數(shù)在一點處的極限的一種簡便的方法：為求基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的點種簡便的方法：為求基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的點 x 0 處處的極限，只需計算函數(shù)在該點處的函數(shù)值即可的極限，只需計算函數(shù)在該點處的函數(shù)值即可。 0 0limxxf xf x. .例：例：求極限求極限 這是個商的極限問題，由于這是個商的極限問題，由于不能直接應(yīng)用商的極限運算法則計算。不能直接應(yīng)用商的極限運算法則計算。 注意到注意到 ，故對此分母為無窮

30、小的，故對此分母為無窮小的 商的極限，可利用無窮小與無窮大的關(guān)系進行計算。商的極限，可利用無窮小與無窮大的關(guān)系進行計算。 因為因為 故有故有 235lim.9xxx 23lim09xx, , 故故 3lim805xx 22333lim990lim05lim85xxxxxxx 235lim.9xxx 例：例：求極限求極限 這是個商的極限問題，由于這是個商的極限問題，由于不能用商的極限運算法則計算。不能用商的極限運算法則計算。同時由于同時由于 故也不能利用無窮小與無窮大的關(guān)系進行計算。故也不能利用無窮小與無窮大的關(guān)系進行計算。 對此對此“0/ /0”型的不定式，由于其分子、分母是同型的不定式，由于

31、其分子、分母是同類函數(shù)，因而它們必有公共的零因子，故可考慮消去二類函數(shù)，因而它們必有公共的零因子，故可考慮消去二二者公共的零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。二者公共的零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。 233lim.9xxx 23lim09xx, , 故故 3lim03xx, , 23333311limlimlim.93633xxxxxxxxx 本例的方法具有一般性，即對于本例的方法具有一般性，即對于“0/ /0”型不定式型不定式, ,若其分子、分母是同類函數(shù)，可設(shè)法先將分子、分母若其分子、分母是同類函數(shù)，可設(shè)法先將分子、分母的零因子分離出來，并通過消去公共的零因子，將其的零因子分離出來，并通過消

32、去公共的零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式計算，這一方法稱為轉(zhuǎn)化為定式計算，這一方法稱為“無窮小分離法無窮小分離法”。例：例：求極限求極限 對此對此“0/ /0”型不定式，由于其分子、分母是型不定式，由于其分子、分母是同同類函數(shù)，故必有公共零因子，因此可考慮分離并消去公類函數(shù)，故必有公共零因子，因此可考慮分離并消去公共零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。共零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。 011lim.11nmxxx 2002111112limlim111112nnmxxmn nnxxxxm mxmxxx 1 0112lim.12nxmn nnxxxnmm mmxxx例：例：設(shè)設(shè) P m( x )= a 0

33、x m + a1 x m- - 1 + + a m- - 1 x + a m， Q n( x )= b 0 x n + b 1 x n - - 1 + + b n- - 1 x + b n， 其中其中 a 0 0，b 0 0，求：，求： 這是個有理分式求這是個有理分式求 x 時的極限問題。容易時的極限問題。容易看出它是個看出它是個“ “ / / ” ”型不定式。由于該理式的分子、分母型不定式。由于該理式的分子、分母是同類函數(shù)，因此想到，在分離出二者的公共無窮大因是同類函數(shù)，因此想到，在分離出二者的公共無窮大因子并消去，將其轉(zhuǎn)化為定式計算。子并消去，將其轉(zhuǎn)化為定式計算。 “ “ / / ”型不定

34、式極限的存在性取決于分子、分母型不定式極限的存在性取決于分子、分母趨于無窮的速度之比，即取決于二者的無窮大級別。本趨于無窮的速度之比，即取決于二者的無窮大級別。本例分子、分母的無窮大因子的級別顯然與例分子、分母的無窮大因子的級別顯然與 m、n 有關(guān)，有關(guān)，因此應(yīng)就因此應(yīng)就 m、n 的不同取值進行討論。的不同取值進行討論。 lim.mxnPxQx 10111011limlimmmmmmnnxxnnnPxa xa xaxaQb xb xbxbx 1101001101limmmmmmxmmmmmaaaaaxxxxxbbbbbxxx . 10111011limlimmmmmmnnxxnnnPxa xa

35、 xaxaQb xb xbxbx 011111101lim0mmn mn mnnxmnnnnmaaaaxxxxbbbbxxxxx . 10111011limlimmmmmmnnxxnnnPxa xa xaxaQb xb xbxbx 110101111limmmmmxmmm nm nmmmmaaaaxxxbbbbxxxxxx . .綜上討論有綜上討論有 0 100111 011 lim0mmmmnnxnnamnba xa xaxamnb xb xbxbmn ,. . 本例所用的方法稱為無窮大分離法。本例所用的方法稱為無窮大分離法。 對于對于“ / / ”型不定式，若其分子、分母是同類型不定式，若

36、其分子、分母是同類函數(shù)，可設(shè)法先將二者的無窮大因子分離出來，并通函數(shù)，可設(shè)法先將二者的無窮大因子分離出來，并通過消去公共的無窮大因子將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。過消去公共的無窮大因子將其轉(zhuǎn)化為定式進行計算。 消去無窮大因子的方法是，通過觀察確定分子、消去無窮大因子的方法是，通過觀察確定分子、分母中級別最高的無窮大因子，然分母中級別最高的無窮大因子，然后在分離出該無窮大因子并消去。后在分離出該無窮大因子并消去。因此，應(yīng)用無窮大分離法的關(guān)鍵是因此，應(yīng)用無窮大分離法的關(guān)鍵是確定分子、分母中級別最高的無窮確定分子、分母中級別最高的無窮大因子。大因子。例：例：求極限求極限 對此對此“ / / ”型的不定式，

37、由于其分子、分母型的不定式，由于其分子、分母均是均是無理式無理式，考慮分離并消去公共無窮大因子。觀察分，考慮分離并消去公共無窮大因子。觀察分子、分母形式可見，其間最大的子、分母形式可見，其間最大的公共無窮大因子為公共無窮大因子為 n . . 23321lim.nnnnnn 22333221111limlim111nnnnnnnnnnnn 2 3211lim111 .11lim11nnnnn 例：例：求極限求極限 容易看出這是個容易看出這是個“ “ / / ” ”型不定式求極限問題。型不定式求極限問題。 對此對此“ / / ”型的不定式，由于其分子、分母均是型的不定式，由于其分子、分母均是多項多

38、項式式，屬同類函數(shù)，故考慮用無窮大分離法求之。，屬同類函數(shù)，故考慮用無窮大分離法求之。 觀察觀察可見，分子、分母均是可見，分子、分母均是 50 次次多項多項式，其間最式，其間最大的大的公共無窮大因子為公共無窮大因子為 x 50 . . 2030502132lim.23xxxx C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 2030302030505012lim 2lim 3233223lim 2xxxxxx . . 203020305050505021322132limlim232311xxxxxxxxxx 20302030203050505012213223limlim2332xxxx

39、xxxxxxx “ “0/ /0”和和“ / / ”型不定式是兩類基本的分式型不定式是兩類基本的分式型不定式。分式型不定式的特點是便于約簡，當(dāng)分子型不定式。分式型不定式的特點是便于約簡，當(dāng)分子分母為同類函數(shù)時，這兩類不定式?？赏ㄟ^無窮小分母為同類函數(shù)時，這兩類不定式常可通過無窮小( (無無窮大窮大) )分離法約去公分離法約去公共共因子，使其轉(zhuǎn)化為定式的極限計因子，使其轉(zhuǎn)化為定式的極限計算，因而它們成為各類不定式計算算，因而它們成為各類不定式計算常用的常用的“中轉(zhuǎn)站中轉(zhuǎn)站”。 對于各類其它形式的不定式，對于各類其它形式的不定式，可先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為可先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為“0/ /0”型或型或“ / /

40、 ”型不定式，再考慮對其型不定式，再考慮對其進行化簡和計算。進行化簡和計算。00 例：例：求極限求極限 這是個這是個“ - - ”型的不定式極限，不能直接按型的不定式極限，不能直接按差的極限運算法則計算。因此考慮先將其化為分式型極差的極限運算法則計算。因此考慮先將其化為分式型極限，再設(shè)法約去公共因子其轉(zhuǎn)化為定式進行計。限，再設(shè)法約去公共因子其轉(zhuǎn)化為定式進行計。 3 113lim.11xxx 233 1 11313limlim111xxxxxxx 2 112lim11xxxxxx 1 2 1lim231lim31.xxxxx例：例：求極限求極限 這是無窮多項和的極限，不能直接按和的極限這是無窮多

41、項和的極限，不能直接按和的極限運算法則計算，考慮先將無窮和化為有限和再求極限。運算法則計算，考慮先將無窮和化為有限和再求極限。 由自然數(shù)平方和公式有由自然數(shù)平方和公式有 22233312lim.nnnnn 22222233331212limlimnnnnnnnn 3 331112121limlim66nnnn nnnnnn 11121lim63nnn . . 22233312limnnnnn 0000 . 222333 12limlimlimnnnnnnn 例：例：求極限求極限 這是無窮多項和的極限問題，為計算極限，宜這是無窮多項和的極限問題，為計算極限，宜先將無窮和化為有限和。先將無窮和化為

42、有限和。 由此數(shù)列各項形式聯(lián)想到其各項是由簡單分式通分由此數(shù)列各項形式聯(lián)想到其各項是由簡單分式通分而來的，于是考慮先將其還原為簡單分式再作計算。而來的，于是考慮先將其還原為簡單分式再作計算。 111lim.1 22 31nn n 111lim1 22 31nn n 11111lim12312nnn 1lim111nn . . 函數(shù)的復(fù)合是構(gòu)成初等函數(shù)的一種基本方式，理解函數(shù)的復(fù)合是構(gòu)成初等函數(shù)的一種基本方式，理解和和掌握復(fù)合函數(shù)取法則是掌握極限運算的基本要求。掌握復(fù)合函數(shù)取法則是掌握極限運算的基本要求。 復(fù)合函數(shù)取極限問題較極限的四則運算法則要復(fù)雜復(fù)合函數(shù)取極限問題較極限的四則運算法則要復(fù)雜得多。因為在復(fù)合函數(shù)中，因變量對自變量的依賴關(guān)系得多。因為在復(fù)合函數(shù)中，因變量對自變量的依賴關(guān)系是間接的，且其其間還涉及內(nèi)層函數(shù)值域與外層函數(shù)定是間接的，且其其間還涉及內(nèi)層函數(shù)值域與外層函數(shù)定義域的包容性問題。義域的包容性問題。 這里不對復(fù)合函數(shù)取極限這里不對復(fù)合函數(shù)取極限問題作較深入的討論，但對其問題作較深入的討論，但對其意義及應(yīng)用必須理解。意義及應(yīng)用必須理解。設(shè)有復(fù)合函數(shù)設(shè)有復(fù)合函數(shù) y = f ( x )，考慮取極限問，考慮取極限問題題 由函數(shù)復(fù)合過程想到，由函數(shù)復(fù)合過程想到，復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)取極限問題取極限問題應(yīng)應(yīng)考慮如何由簡單函數(shù)的極限確定復(fù)合函數(shù)極限，即考慮如何由簡單函數(shù)的極限確