2017年考研數(shù)學二試題及答案

1、超級狩獵者2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、選擇題：1 8 小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙 指定位置上.1 cos x 0( 1) )若函數(shù)f (x) ax , x 0 在 x 0 處連續(xù)，則()b,x 011(A) ab(B) ab(C) ab 0(D) ab 222【答案】A11 cos x x 111【解析】limlim 2, f (x) 在 x 0 處連續(xù)b ab . 選 A.x 0 ax x 0 ax 2a2a22)設(shè)二階可導函數(shù)f (x)滿足 f (1) f( 1) 1,f (0)1且

2、 f''(x) 0，則()1(A) 1f(x)dx 01B 1 f (x)dx 001(C) 1f(x)dx 0f(x)dx01D 1f(x)dx 0f(x)dx3)設(shè)數(shù)列xn 收斂，則()(A) 當 lim sin xn 0 時， lim xn 0nn2(C)當 lnim( xn xn ) 0時，lnim xn 0(B)當 lnim( xnxn ) 0時，(D)當 lim( xn sin xn ) 0 時，lim xn nlim xn0n【答案】B【解析】01f (x) 為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時1 f (x)dx 0 f (x)dx，排除C,D.【答案】D【解析】特值法：

3、( A)取 x ，有 lim sin xn0, lim xn， A 錯；nnn取 xn 1，排除B,C.所以選D.4)微分方程的特解可設(shè)為( A) Ae2x e2x(B cos2x Csin 2x)( B) Axe2 x e2x(Bcos2x Csin 2x)( C) Ae2x xe2x(Bcos2x Csin 2x)( D) Axe2x e2x(B cos2x C sin 2x)【答案】A【解析】特征方程為：2 48 01,22 2if (x) e2x(1cos2x)e2x e2x cos2x y1*Ae2x, y2*xe2x(B cos2xC sin 2x),故特解為：y*y1* y*2A

4、e2x xe2x(Bcos2xCsin 2x),選 C.( 5)設(shè) f (x, y) 具有一階偏導數(shù)，且對任意的(x, y)，都有 f (x, y) 0, f (x, y) 0 ，則xy( A) f (0,0) f (1,1) ( B) f (0,0) f (1,1) ( C)f (0,1) f (1,0) ( D) f (0,1) f (1,0)【答案】C【解析】f (x, y) 0, f (x, y) 0, f(x, y)是關(guān)于 x的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于y的單調(diào)遞減函數(shù)，xy所以有 f (0,1) f (1,1) f (1,0)，故答案選D.6) 甲乙兩人賽跑，計時開始時，位： m/ s

5、) ，虛線表示乙的速度曲線10(單位：m ) 處， 圖中實線表示甲的速度曲線v v1 (t)(單vv2 (t)，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為t0 (單位：s) ，則(A) t0 10B) 15 t0 20C) t0 25D) t025t0t00 到 t0 這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為0 v1(t)dt, 0 v2(t)dt,則乙要追上甲，則t00 v2(t) v1(t)dt 10，當t0 25時滿足，故選C.07) 設(shè) A為三階矩陣，P ( 1, 2, 3)為可逆矩陣，使得 P 1AP 1， 則 A( ,1 2, 3)()2A)12( B)2 2 3

6、( C)23( D)1 2 200P 1AP1AP P2B 正確。200218）設(shè)矩陣A 0 2 1 , B 0 200100A） A與 C相似, B與 C相似C） A與 C不相似,B與 C相似B01A（ 1, 2, 3）（ 1, 2, 3）122 3,222201000 , C 0 2 0 ,則（）1002（ B） A與 C相似, B與 C不相似（ D） A與 C不相似,B與 C不相似BE A 0 可知 A 的特征值為2,2,1,3 r(2 E A) 1 ， A 可相似對角化，即AE B 0 可知B 特征值為2,2,1.3 r(2E B) 2 ， B 不可相似對角化，顯然9 14小題，每小題

7、4分，共24分，請將答案寫在答題紙100020002C 可相似對角化，A C ，但B 不相似于C.指定位置上.32(9) 曲線 y x 1 arcsinxx lim xarcsin 2 2, xyx2lim y lim(1 arcsin 2) 1,lim y xxxx xyx2x t etd2y(10) 設(shè)函數(shù) y y(x) 由參數(shù)方程確定，則2y sintdx t 08dy dx t dy costcost, 1 etdt dtdx 1 e'costd2y 1 etsint(1 et) costetd2ydx2dx1 et 2dx2 t 0dt(11)ln(1 x)2 dx (1 x

8、)2ln(1 x) 0 (1 x)2dx ln(1 x)d011xln(1 x) 01 dx1 x 0 (1 x)0 (1 x)2dx 1.(12) 設(shè) 函 數(shù) f( x, y)具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) ， 且 df(x,y ) yeydx x (1 y e)ydy ， f (0,0) 0 ， 則f(x, y) xyeyfx yey , fy x(1 y)ey, f (x, y)yeydx xyey c(y), 故超級狩獵者fy xey xyey c (y) xey xyey，c (y) 0 ，即c(y) C ，再由f (0,0)0，可得f(x,y) xyey.913)0dy yta

9、n x dxxln cos1.11 tanx 1 x tanx0dy y dx 0dx 0 dy xx1tan xdx ln cos1 .414）設(shè)矩陣A 131212 a 的一個特征向量為1 ，則 a -141211112a113 2a311222211 ，由題設(shè)知A ，故故 a 1.15 23 小題，共94 分 .請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15） （本題滿分10 分）求極限limx0lim 0x x tet dt，令 x t u，則有 x 0x30 x tetdt0x uex udu超級狩獵者16) (本題滿分10 分)設(shè)函數(shù)f (u, v) 具

10、有 2 階連續(xù)偏導數(shù)，y f(ex,cosx) ，求ydxx0d2ydx2 x 0dydxx0' d2y f1'(1,1),ddx2yf1'1'(1,1),x0x0dydx'x 'f1 ef2 sin xx0x 0f1 (1,1) 1 f2(1,1)0 f1 (1,1)yf (ex,cos x) y(0) f (1,1)d2y dx2 d2y dx2dydxf1'(1,1)x0'' 2x '' x'' x''2' x 'f11ef12e ( sin x)f21

11、e ( sin x)f22 sin xf1 ef2 cosxf11''(1,1) f1'(1,1) f2'(1,1)x0結(jié)論：d2y dx2n limkk2 ln(1 ) x ln(1 x) dxk1nn 011212ln(1 x)dx (ln(1 x) x1 x2 1 11xdx)f1'1'(1,1) f1'(1,1) f2'(1,1)x017) (本題滿分10 分)求 limk2 ln 1 kn k1nn18) (本題滿分10分)已知函數(shù)y(x)由方程x3 y3 3x 3y 2 0確定，求y( x)的極值超級狩獵者【答案】極大

12、值為y (1) 1 ，極小值為y ( 1) 0【解析】兩邊求導得：223x 3y y' 3 3y' 0( 1)令 y' 0得 x 122對( 1)式兩邊關(guān)于x 求導得6x 6y y'32y y' ' 3y ''0 ( 2)x1x 1將 x 1 代入原題給的等式中，得x or x ，y1y0將 x 1,y 1代入(2)得y''(1)1 0將 x 1,y 0代入(2)得y''( 1) 2 0故 x 1 為極大值點，y(1) 1 ； x 1 為極小值點，y( 1) 0( 19) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f

13、 (x) 在區(qū)間 0,1 上具有 2階導數(shù)，且f(1) 0, lim f (x) 0，證明：x0 x( )方程 f (x) 0在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)至少存在一個實根；( ) 方程 f (x)f '(x) ( f '(x)2 0在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)至少存在兩個不同實根。【答案】【解析】( I)f(x)二階導數(shù)，f (1) 0, lim f(x) 0x0 x解： 1 )由于 lim f (x) 0，根據(jù)極限的保號性得x0 x0, x (0, ) 有 f(x) 0，即 f (x) 0x進而x0(0, )有 f 0又由于 f(x) 二階可導，所以f (x) 在 0,1上必連續(xù)那么 f

14、 (x) 在 ,1上連續(xù)，由f ( ) 0, f (1) 0根據(jù)零點定理得：至少存在一點( ,1)，使 f ( ) 0，即得證( II)由(1)可知 f (0) 0，(0,1),使 f( ) 0，令 F(x) f(x)f '(x)，則 f(0) f( ) 0由羅爾定理(0, ), 使 f '( ) 0，則 F(0) F( ) F( ) 0，對 F(x) 在 (0, ),( , )分別使用羅爾定理：1 (0, ), 2 ( , )且 1, 2 (0,1), 12，使得 F'( 1) F'( 2) 0，即2F '(x) f(x)f ''(x)

15、f'(x)0在 (0,1)至少有兩個不同實根。得證。20) (本題滿分11 分)已知平面區(qū)域Dx, y | x2 y2 2y , 計算二重積分x 1 dxdy 。2222x 1 dxdy x 1 dxdy 2 x dxdy dxdy 2 2 d2sin22 r cos21) (本題滿分11 分)設(shè) y(x) 是區(qū)間 0, 3 內(nèi)的可導函數(shù)，且y(1) 0 ，點 P 是曲線2L: y y(x) 上任意一點，L 在點 P 處的切線與y 軸相交于點0,Yp ，法線與x 軸相交于點X p,0 ，若X pYp ，求L上點的坐標x, y 滿足的方程。解 析 】 設(shè) p x, y(x) 的 切 線

16、為 Y y(x) y (x) X x ， 令 X 0 得 Ypy(x) y (x)x ， 法 線1Y y(x)X x ,令 Y 0得 Xp x y(x)y (x)。由 X p Yp 得 y xy (x) x yy (x) ，即y (x)yx 1 y (x)y 1 。 令 y u ， 則 y u x，按 照 齊 次 微 分 方 程 的 解 法 不 難 解 出12ln(u 1) arctan u ln | x | C , x22) (本題滿分11 分)設(shè) 3 階矩陣 A 1,2,3 有 3 個不同的特征值，且31 2 2 。( ) 證明：r(A) 2( ) 若123 ，求方程組Ax 的通解。11（

17、 I ）略；（ II ）通解為k 21 , k R11I）證明：由31 2 2可得 1 2 23 0 ，即 1, 2, 3線性相關(guān)，A 1 2 30 ，即 A 的特征值必有0。又因為 A 有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1 個0，另外兩個非0.1且由于 A 必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為2, 1200r(A) r( ) 2II ）由（1） r（A） 2，知3 r（A） 1 ，即 Ax 0的基礎(chǔ)解系只有1 個解向量，1111 2 23 0 可得 1, 2 , 3 2 A 20 ，則Ax 0 的基礎(chǔ)解系為2 ，111111又 123，即1 , 2, 3 1 A 1 ，則 Ax 的一個特解

18、為1 ，111綜上，Ax的通解為k11 ,k R11923) (本題滿分11 分)設(shè)二次型f (x1,x2,x3) 2x12 x22 ax32 2x1x2 8x1x3 2x2x3 在正交變換X QY下的標準型1y12 2y22 ，求 a的值及一個正交矩陣Q.16a 2;Q22, f x Qy 3y1 6y226162f (x1, x2,x3) XTAX，其中 A 14f (x1,x2, x3) XTAX經(jīng)正交變換后，得到的標準形為221 y12 y2故 r(A) 2 | A| 00 a 2，將 a 2代入，滿足r(A) 2，因此a 2 符合題意，此時| E A|013, 2 0, 3 6 ，( 3E A)x 0，可得A 的屬于特征值-3 的特征向量為1(6E A)x 0，可得 A 的屬于特征值6 的特征向量為2(0E A)x 0，可得A 的屬于特征值0 的特征向量為31令 P 1, 2