高中數(shù)學(xué)公式大全(完整版)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載a b ; 兩個(gè)函2數(shù) y f (x a)與 y f (b x) 的圖象關(guān)于直線abx對(duì)稱 .28. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期 ( 約定 a>0)( 1) f (x) f (x a) ，則 f (x) 的周期 T=a；1(f (x) 0)，或 f(x a) f (x)2)， f(x a)f(x)(f(x) 0),則 f(x) 的周期 T=2a；9. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪mn1(1) annma10根式的性質(zhì)a 0,m,n N ，且 n 1 ) .(2)m an1m ( a 0,m,n N ，且 n 1) an1) (n a)n a2)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n an a；當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)， n

2、 an |a|a,a 0a,a 0高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 包含關(guān)系A(chǔ) B A A B B A B CUB CU AA CUBCU A B R2 集合 a1,a2, ,an 的子集個(gè)數(shù)共有 2n 個(gè)；真子集有 2n1 個(gè)；非空子集有 2n 1個(gè)；非空的真子集有 2n2 個(gè).3. 充要條件( 1 )充分條件：若 p q ，則 p 是 q 充分條件 . (2)必要條件：若 q p ，則 p是 q 必要條件 .( 3)充要條件：若 p q ，且 q p ，則 p是 q 充要條件 .注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然4. 函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè) x1 x2 a,b ,x1 x

3、2那么(x1x2)f (x1)f (x2)0f (x1)f(x2)0f (x)在 a,b 上是增函數(shù)；x1 x2(x1x2)f (x1)f (x2)0f (x1)f (x2)0f (x)在 a,b 上是減函數(shù) .x1 x2(2) 設(shè)函數(shù) y f ( x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f (x) 0，則 f (x) 為增函數(shù)；如果 f (x) 0，則 f(x)為減函 數(shù).5. 如果函數(shù) f(x) 和 g(x) 都是減函數(shù) , 則在公共定義域內(nèi) , 和函數(shù) f (x) g(x) 也是減函數(shù) ; 如果函數(shù)y f (u)和 u g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù) ,則復(fù)合函數(shù) y fg(x) 是增函數(shù) .

4、 6奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 ; 反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)7. 對(duì)于函數(shù) y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 則函數(shù) f (x) 的對(duì)稱軸是函數(shù) x11有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)ars(a 0,r,s Q) .(3) (ab)rarbr (a 0,b 0,r Q) .(1) ar as ar s(a 0,r,s Q) .(2) (ar)s12.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 loga N bab N (a 0,a 1,N 0)

5、 .負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)， .1的對(duì)數(shù)等于 0： log a 1 0， .底的對(duì)數(shù)等于 1： log a a 1，.積的對(duì)數(shù)：loga(MN) loga M loga N ，商的對(duì)數(shù)： loga M loga M loga N ， N冪的對(duì)數(shù)： logaMn nlogaM；logambn n logab am13.對(duì)數(shù)的換底公式 logaN logmN ( a 0,且a 1, m 0,且m 1, N 0). logma推論 logambn nlogab(a 0,且a 1, m,n 0,且m 1, n 1, N 0). am15. ans1, n 1 ( 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的和為 sn a1

6、a2an ).sn sn 1,n 216. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*) ；n(a1 an ) na1 n(n 1)12 n 1 a1 n a1q1 q (nq a1(11 qqn),q 1或sn na1,q 118. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式其前 n 項(xiàng)和公式為 s17. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an其前 n 項(xiàng)的和公式為 snd d n2 (a1 1d)n.2 1 2a11 aqnq,q 1na1,q 12 2 sin sin 2cos21 ， tan =cos 19 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（n 為偶數(shù) ）（n 為奇數(shù) ）n2n ( 1)2 sin ,

7、sin( 2 ) n 12 ( 1) 2 cos ,20 和角與差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ;tan( )tan tan1 tan tanasin bcos = a2 b2 sin()(輔助角 所在象限由點(diǎn) ( a, b )的象限決定 , tan b ).a21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2 2sin cos 2 2 2 2 2 1 cos2 2 1 cos2 cos2cos2sin22cos21 1 2sin2 ( cos2， sin2)22tan22tan21 tan222. 三角函數(shù)的周期公式函數(shù)

8、y sin（ x ），xR及函數(shù) y cos（ x ） ，xR（A, , 為常數(shù)，且 A0，>0）的周期 T 2 ； 函數(shù) y tan（ x） ， x k ,k Z （A, , 為常數(shù)，且 A0，>0）的周期 T .223. 正弦定理sin A sin B sinC24. 余弦定理a2 b2 c2 2bc cos A ; b2 c2 a2 2ca cos B ; c2 a2 b2 2abcosC .11125. 面積定理 Sab sin Cbcsin Acasin B (2).22226. 三角形內(nèi)角和定理 C A B在 ABC中，有 A B C C (A B) 2C 2 2(A

9、B) .2 2 227. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律： (a)=( ) a;(2) 第一分配律： (+)a=a+a; (3) 第二分配律： (a+b)=a+b.28. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) a·b= b·a (交換律) ;(2) ( a)·b= (a·b)= a·b= a·( b);(3) (a+b)·c= a ·c +b ·c. 30向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a=(x1, y1),b=(x2,y2)，且 b 0，則 a b(b 0)x1y2 x2y1 0.31. a 與 b

10、 的數(shù)量積 (或內(nèi)積 )a·b=| a| b|cos 32. 數(shù)量積 a·b等于 a的長(zhǎng)度 |a|與 b在 a的方向上的投影 |b|cos的乘積33. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 設(shè) a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則 a+b= (x1 x2,y1 y2).(2) 設(shè) a=(x1,y1),b=(x2, y2)，(3) 設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2),則 AB OB OA (x2 x1,y2 y1).(4) 設(shè) a=(x, y), R ，則 a=( x, y).(5) 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則 a·b=(x1x2 y1y2).34.

11、 兩向量的夾角公式 cosx1x2 y1y2a=(x1,y1) ,b=(x2,y2).35. 平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B =|ABAB AB(x2 x1) (y2 y1) (A ( x1 , y1) ，B(x2,y2).36. 向量的平行與垂直 設(shè) a=(x1, y1), b=(x2,y2)，且 b 0，則A| b b=ax1 y2 x2y1 0.a b(a 0)a·b=0 x 1x2 y1y2 0.37. 三角形的重心坐標(biāo)公式x1 x2 x3 y1 y2 y3 . G( , ) . ABC 三 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 分 別 為 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2 )

12、、 C(x3,y 3 ) , 則 ABC 的 重 心 的 坐 標(biāo) 是33OC . (2) O為 ABC 的重心OA.OA OB OC 0.設(shè) O為 ABC所在平面上一點(diǎn)，角 A,B,C 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a,b,c ，則 2 2 2（1） O 為 ABC的外心OA OB（3） O 為 ABC的垂心OA OB OB OC OC38. 常用不等式：1) a,b Ra2b22ab (當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=”號(hào))2) a,b Rabab (當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=”號(hào))23) a b a b a b .39已知 x, y都是正數(shù)，則有（ 1）若積 xy是定值 p，則當(dāng) x y時(shí)和 x y有最小值 2 p

13、；122)若和 x y是定值 s，則當(dāng) x y 時(shí)積 xy有最大值 s2. 440. 含有絕對(duì)值的不等式22當(dāng) a> 0 時(shí)，有 x ax2 a a x a .xa22xa41.斜率公式 k y2 y1 (P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ). x2 x142.直線的五種方程(1)點(diǎn)斜式 y y1 k(x x1) (直線l過點(diǎn) P1(x1,y1)，且斜率為 k)(2)斜截式 y kx b(b 為直線 l在y 軸上的截距 ).y y1 x x1( 3)兩點(diǎn)式( y1 y2)( P1(x1, y1) 、 P2(x2,y2) ( x1 x2 ).y2 y1 x2 x1xy(4) 截距式1

14、( a、b 分別為直線的橫、縱截距， a、b 0)ab(5)一般式 Ax By C 0(其中 A、B 不同時(shí)為 0).43.兩條直線的平行和垂直(1)若l1: yk1xb1，l2: yk2xb2l1|l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21.(2)若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且A1、A2、B1、B2都不為零 ,l1 |l2AA21 BB12 CC12 ；l1 l2A1A2 B1B2 0 ；(l1: A1x B1y C1 0,l2: A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).直線 l1 l2時(shí)，直線 l1 與 l2的夾角是 .2| Ax0 By0

15、 C |45.點(diǎn)到直線的距離 d 0 0(點(diǎn)P(x0,y0),直線 l： Ax By C 0).A2 B246. 圓的四種方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)2(yb)2r2 .( 2)圓的一般方程x2 y2DxEyF 0( D2E24F >0).47. 直線與圓的位置關(guān)系直線 Ax By C0與圓 (xa)2(yb)2r 2的位置關(guān)系有三種 :d r 相離0; dr相切0;Aa Bb Cd r 相交0. 其中 d.A2 B248. 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為 O1， O2，半徑分別為 r1，r 2， O1O2 ddr1r2外離4條公切線 ; d r1r2外切3條公切線 ;r1r

16、2dr1 r2相交 2條公切線; dr1 r2內(nèi)切 1條公切線0 d r1 r2內(nèi)含 無公切線 .49. 圓的切線方程(1) 已知圓 x2 y2 Dx Ey F 0 (2) 已知圓 x2 y2 r 2 2過圓上的 P0(x0,y0) 點(diǎn)的切線方程為 x0x y0y r2;x2 y2x acos50. 橢圓 2 2 1(a b 0)的參數(shù)方程是 .a2 b2y bsin2251. 橢圓 x2 y2 1(a b 0)焦半徑公式 a2 b252橢圓的的內(nèi)外部2aPF1 e(x )， PF ce(2 a x) .c1)點(diǎn) P(x0,y0)在橢圓2)點(diǎn) P(x0,y0)在橢圓22xy2 2 1(a b

17、0) 的內(nèi)部 ab22 xy2 2 1(a b 0) 的外部 ab22 xy 53.雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的焦半徑公式a2 b254. 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系22 2xyx22 1 漸近線方程： 2PF122x0 y02 2 1.a2 b222x0 y02 2 1.ab2|e(x a )|， PF22|e(a x)|. c(1 )若雙曲線方程為aba byb xxy0雙曲線可設(shè)為aab222y21有公共漸近線， 可設(shè)為x2y2b2a2b255. 拋物線 y2 2px 的焦半徑公式(2) 若漸近線方程為2x2aby x.a2y.2. b22(3) 若雙曲線與 x2a20

18、，焦點(diǎn)在 x 軸上，0 ，焦點(diǎn)在 y 軸上).2拋物線 y2 2px(p 0) 焦半徑 CFx0 2p過焦點(diǎn)弦長(zhǎng) CD x1 2 x2 256. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式x1 x2 p.AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 或x2 | 1 tan2|y1 y2| 1 cot2 (弦端點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2) ，由方AB (1 k2)(x2 x1)2 |x1 y kx b 2消去 y 得到 ax2 bx c 0，0, 為直線 AB 的傾斜角， k為直線的斜率) .F(x,y) 0a=b57(1) 加法交換律： ab=ba(2) 加法結(jié)合律： (ab)c=a(bc)(3) 數(shù)

19、乘分配律： (ab)=ab 59 共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a、b(b0 )，ab 存在實(shí)數(shù) 使P、A、B三點(diǎn)共線AP | AB AP tAB OP (1 t)OA tOB .60. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè) a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)則(1) ab(a1 b1,a2 b2,a3 b3) ；(2) a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ； (3) a ( a1, a2, a3) ( R)； (4) a·b a1b1 a2b2 a3b3 ；61.設(shè) A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則 AB OB OA= (x2 x1,y2 y1,z

20、2 z1). 62空間的線線平行或垂直r r rrr r設(shè) a (x1,y1,z1)， b ( x2, y2,z2) ，則 aba b0 x1x2y1y2z1z20.a1b1 a2b2 a3b363. 夾角公式設(shè) a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，則 cosa，b=22 222 2.a12a22a32b12b22b32rr64異面直線所成角 cos |cos a,b |= |ra br|r|x1x2 y1y2 z1z2 |a| |b|x12 y12 z12 x22 y22 z22其中 (0o90o )為異面直線 a,b所成角， ar,br 分別表示異面直線 a,b的方向向量)6

21、5.直線 AB 與平面所成角arc sin A|AB|m|m（m 為平面 的法向量 ）.66.二面角l 的平面角arc cos m n 或 arc cos m n （ m， n為平面 ， 的法向量） .|m|n| |m|n|134. 空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A(x1,y1,z1) ，B(x2,y2,z2) ，則 dA,B =| AB| AB AB(x2 x1) (y2 y1) (z2 z1) .67. 球的半徑是 R，則其體積 V 4 R3 ,其表面積 S 4 R2 3(3) 球與正四面體的組合體 :棱長(zhǎng)為 a 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為126 a,外接球的半徑為12168V柱體Sh （ S

22、是柱體的底面積、369. 分類計(jì)數(shù)原理（ 加法原理） N m1 m2mn .n！h是柱體的高） .V錐體6a.41Sh（ S是錐體的底面積、 h 是錐體的高）3m N*，且 m n ) 注:規(guī)定 0! 1.70. 排列數(shù)公式 Anm=n（n 1） （n m 1）=.（ n，（n m）！Anm = n（n 1） （n m 1） =n！Amm1 2 mm?。╪ m）?。?） Cnm=Cnn m ;（2） Cnm+Cnm 1=Cnm1.注:規(guī)定 Cn0 Cnm n m 1Cnm 1;（2）Cnmn Cnm1;（3）Cnmm n m73. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 Anm m！Cnm .74單條件排列以下

23、各條的大前提是從n 個(gè)元素中取 m個(gè)元素的排列 .（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有 An 1 種；某（特）元不在某位有An An 1An 1 Am 1An 1 （著眼元素）種 .（ 2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼： k（k m n） 個(gè)元在固定位的排列有 Akk Anm kk 種.浮動(dòng)緊貼： n個(gè)元素的全排列把 k 個(gè)元排在一起的排法有 Ann kk 11Akk種.注：此類問題常用捆綁法； 插空：兩組元素分別有 k、 h 個(gè)（ k h 1 ），把它們合在一起來作全排列， k 個(gè)的一組互不能挨近的所有排 列數(shù)有 Ahh Ahk 1種.（3）兩組元素各相同的插空m 個(gè)大球

24、n 個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？An當(dāng) n m 1 時(shí)，無解；當(dāng) n m 1時(shí)，有 mn1 Cmn 1 種排法 .An（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m 個(gè)和 n 個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為75分配問題（1）71. 組合數(shù)公式 Cnm72. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)155. 組合恒等式 （1）N Cmn(2) NCmnn( nN*， m N ，且 m n ).n Cnm11 ; m補(bǔ)集思想）n4)Cnr =2n ;r0An1 1Anm11（著眼位置）Cmn n .（平 均分組有 歸屬問 題 ）將相異 的 m 、 n 個(gè)物 件等 分給 m 個(gè)人 ，各得Cn Cn C n Cn （

25、mn）! .Cmn n Cmn 2nC2n Cn m .mn n mn 2n 2n n（n!）m（平均分組無歸屬問題 ）將相異的 m· n個(gè)物體等分為無記號(hào)或無順序的m堆，Cmnn n Cmnn 2n. C2nn Cnn（mn）! .m!m!（n!）m .3）（非平均分組有歸屬問題 ）將相異的 P（P=n1+n2+ +nm）個(gè)物體分給 m 個(gè)人，物件必須被分完， 分別得到 n1，n 件 ，其 分配方法 數(shù)共有其分配方法數(shù)共有n2 ，nm件，且n1，n2，nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等， 則其分配方法數(shù)共有NCpn1 Cnp2 n1.Cnnmmm!p!m!n1 ! n 2!. n m !76.

26、二項(xiàng)式定理 (a b)n Cn0an C1nan1b Cn2an 2b2Cnran rbrCnnbn ;二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 Tr 1 Cnran rbr (r 0，1，2 ，n).77.n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生 k 次的概率 Pn(k) CnkPk (1 P)n k.78.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)( 1) Pi 0(i 1,2, ); (2) P1 P21.79. 數(shù)學(xué)期望 Ex1P1 x2P2xnPn80. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)( 1) E(a b) aE( ) b.(2)若 B(n, p),則E np .2 2 281. 方差 Dx1Ep1x2Ep2xnEpn標(biāo)準(zhǔn)差 = D

27、.82.方差的性質(zhì) (1) D a b a2D ；(2)若 B(n,p)，則 D np(1 p).83. f(x)在(a,b)的導(dǎo)數(shù)f(x) y dydflim ylim f(xx)f(x).dxdxx 0 xx 0x84. 函數(shù) y f (x) 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f (x)在P(x0, f ( x0 )處的切線的斜率f (x0) ，相應(yīng)的切線方程是y y0 f (x0)(x x0) .85. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) C 0 (C為常數(shù)) .(2) (xn)' nxn 1(n Q) .(3) (sin x) cosx .1 x 1 x x x x(4) (cos x )sinx (5) (ln x)；(log ax)(6) (ex) ex; (ax) axlna.x xlna86. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則' ' ' ' ' ' u ' u