【全程復(fù)習(xí)方略】（廣西專用）2013版高中數(shù)學(xué) 4.3兩角和與差的三角函數(shù)配套課件 理 新人教A版

1、第三節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù) 三年三年1212考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；2.2.能正確運用兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式進行簡能正確運用兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明. . 1.1.利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式進行三角函數(shù)利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式進行三角函數(shù)式的化簡和求值是高考的熱點；式的化簡和求值是高考的熱點；2.2.靈活運用所學(xué)公式進行三角函數(shù)式的化簡和求值也是本節(jié)的靈活運用所學(xué)公

2、式進行三角函數(shù)式的化簡和求值也是本節(jié)的難點難點. . 1.1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 角角函數(shù)名函數(shù)名+ + - - sin( )sin( ) coscos( )( ) tan( )tan( ) sincos+cossinsincos+cossin sincos-cossinsincos-cossin coscos-sinsincoscos-sinsin coscos+sinsincoscos+sinsin tantan1tan tantantan1tan tan【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)思考：思考：sin(+)=sin+sinsin(+)=s

3、in+sin成立嗎？成立嗎？，滿足什么滿足什么條件時，等式成立條件時，等式成立. .提示：提示：對任意角對任意角、等式等式sin(+)=sin+sinsin(+)=sin+sin不一定成不一定成立立. .只有當(dāng)只有當(dāng)=2k=2k或或=2k(kZ)=2k(kZ)時，等式才成立時，等式才成立. .(2)sin73(2)sin73cos13cos13-cos73-cos73sin13sin13=_;cos15=_;cos15cos45cos45-sin15-sin15sin45sin45=_.=_. 【解析【解析】原式原式= ;= ;原式原式= .= .答案：答案：3sin 7313sin602 1

4、cos 1545cos602 3122 (3)tan75(3)tan75=_.=_.【解析【解析】tan75tan75=tan(45=tan(45+30+30)= )= = .= .答案：答案：tan45tan301tan45 tan30313396 333239333313232.2.二倍角公式及輔助角公式二倍角公式及輔助角公式(1)sin2=_.(1)sin2=_.(2)cos2=_=_=_.(2)cos2=_=_=_.(3)tan2=_.(3)tan2=_.(4)(4)輔助角公式輔助角公式asinx+bcosxasinx+bcosx=_(=_(其中其中 ). ). 2sincos2sin

5、coscoscos2 2-sin-sin2 22cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 222tan1tan22ab sin(x)2222abcos,sinabab 【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)已知已知 , ,則則sin2=_,cos2=_.sin2=_,cos2=_.(2) =_.(2) =_.(3)sinx+cosx(3)sinx+cosx的最大值是的最大值是_._. 4(,0),cos25 22tan151tan 15【解析【解析】(1)(1)由題意，由題意， , , , ,cos2=2coscos2=2cos2 2-1= .-1= .(2)(2)23sin1 co

6、s5 24sin22sin cos25 32712525 22tan153tan 2 15tan30.1tan 153 (3)sinx+cosx=(3)sinx+cosx=sinx+cosxsinx+cosx的最大值為的最大值為 . .答案：答案：222(sinxcosx)222(sinxcoscosxsin)442sin(x)422473(1)(2)(3) 225253 兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用【方法點睛【方法點睛】1.1.公式的逆用公式的逆用sincossincoscossin=sin(cossin=sin() )coscoscoscossinsin=c

7、os(sinsin=cos() )tantantan()1tan tan2.2.公式的變形公式的變形tan+tantan+tan=tan(+)(1-tantan)=tan(+)(1-tantan)tan-tantan-tan=tan(-)(1+tantan)=tan(-)(1+tantan)公式雖然不多，但是變化卻非常多，在應(yīng)用各個公式的時候，公式雖然不多，但是變化卻非常多，在應(yīng)用各個公式的時候，要把握每個公式的特點，不僅會正用，還會逆用和變形應(yīng)用要把握每個公式的特點，不僅會正用，還會逆用和變形應(yīng)用. . 【例【例1 1】(1)(2011(1)(2011浙江高考浙江高考) )若若 , , =(

8、 ) =( )(2)(2)化簡化簡sin112sin112cos322cos322-cos112-cos112sin218sin218=_.=_.(3)(3)已知已知 =4,=4,則則tan(+tan(+)=_.)=_.0,022 1cos(),43 3cos(),cos()4232則335 36(A)(B)(C)(D)3399(13tan )(13tan )【解題指南【解題指南】(1)(1)用已知角拼湊所求角，求函數(shù)值時注意角的用已知角拼湊所求角，求函數(shù)值時注意角的范圍；范圍；(2)(2)利用誘導(dǎo)公式把大角化小角，再逆用兩角和與差的正、余利用誘導(dǎo)公式把大角化小角，再逆用兩角和與差的正、余弦公

9、式解答；弦公式解答；(3)(3)利用兩角和的正切公式的變形解答利用兩角和的正切公式的變形解答. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.由由 , , ，可得，可得 , ,由由 , ,所以所以1cos()43 34442 2sin()43 36cos()sin()4234422423及 可得cos()cos ()()2442 cos()cos()sin()sin()442442132 265 3.33339(2)(2)原式原式=sin68=sin68cos38cos38-(-cos68-(-cos68)(-sin38)(-sin38) )=sin68=sin68cos38cos38-c

10、os68-cos68sin38sin38=sin30=sin30= .= .答案：答案： 1212(3)(3)答案：答案：(13tan )(13tan )13(tantan )3tan tan433tan tantantan3(1tan tan )3tantantan()3.1tan tan 3【互動探究【互動探究】在本例在本例(3)(3)中，若已知中，若已知 , ,則則 =_.=_.【解析【解析】 , ,答案：答案：4 4 43 (13tan )(13tan )4tan33 tantantan()3,1tan tantantan3(1tan tan )(13tan )(13tan )13(t

11、antan )3tan tan1 3(1tan tan )3tan tan4. 【反思【反思感悟感悟】對于給值求值問題，關(guān)鍵在于對于給值求值問題，關(guān)鍵在于“變角變角”，使，使“所求角所求角”變?yōu)橐阎亲優(yōu)橐阎? .若角的范圍沒有確定，則應(yīng)分類討論，若角的范圍沒有確定，則應(yīng)分類討論，解題中需注意公式的靈活運用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要掌握拆解題中需注意公式的靈活運用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要掌握拆角、拼角等技巧角、拼角等技巧. . 【變式備選【變式備選】化簡化簡【解析【解析】方法一：原式方法一：原式= =132 2sin(x)cos(x)24242 2 sin(x)coscos(x)sin43432

12、2sin(x)4372 2sin(x)122sin(x)6cos(x).44方法二：原式方法二：原式= =132 2sin(x)cos(x)24242 2 sinsin(x)coscos(x)64642 2cos(x)642 2cos(x).12 二倍角公式的應(yīng)用二倍角公式的應(yīng)用【方法點睛【方法點睛】二倍角公式的逆用及變形二倍角公式的逆用及變形運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意倍角的相對性，運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意倍角的相對性，注意升冪、降冪的靈活運用，以及注意升冪、降冪的靈活運用，以及“1”1”的各種變通的各種變通. . 22221(1)sin cossin2 ;(

13、2)cossincos2 ;21cos21 cos2(3)cos;(4)sin.22 【提醒【提醒】在倍角公式與其他三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用中，一般在倍角公式與其他三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用中，一般先利用倍角公式降冪化簡，再由輔助角公式及角的和與差公式先利用倍角公式降冪化簡，再由輔助角公式及角的和與差公式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)，最后求相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)，最后求相關(guān)問題. . 【例【例2 2】(1)(2011(1)(2011遼寧高考遼寧高考) )設(shè)設(shè) , ,則則sin2=( )sin2=( )(2)(2)已知已知是銳角，且是銳角，且tan2= ,tan2= ,求求 的值的值. .【解題指南

14、【解題指南】(1)(1)先將先將 展開，再兩邊平方化簡即得；展開，再兩邊平方化簡即得；或利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式整體變換或利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式整體變換. .(2)(2)先由已知求出先由已知求出tantan，再弦化切求值，再弦化切求值. . 1sin()43 7117(A)(B)(C)(D)999943222cossincos23sin1sin()43 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.方法一：將方法一：將 展開得展開得 , ,兩邊平方得兩邊平方得方法二：方法二：= .= .1sin()43 21cossin23 （）117(1 sin2 ),sin2.299 所以2sin2co

15、s(2 )12sin ()24 17(12)99 (2) (2) ，2tan2tan2 2-3tan-2=0,-3tan-2=0,解得解得tantan=2=2或或 , ,又又是銳角，是銳角，tantan=2,=2,原式原式= =22tan4tan21tan3 1tan2 2222cos2sin cos12tan5.cos2sin12tan9【互動探究【互動探究】對本例對本例(2)(2)，條件不變，試求，條件不變，試求tan4tan4的值的值. .【解析【解析】 , ,4tan23 282tan2243tan4.161tan 2719 【反思【反思感悟感悟】正用二倍角公式可以降低角的倍數(shù)，升高次

16、數(shù)，正用二倍角公式可以降低角的倍數(shù)，升高次數(shù)，逆用二倍角公式可以降低次數(shù)，升高角的倍數(shù)，注意二倍角的逆用二倍角公式可以降低次數(shù)，升高角的倍數(shù)，注意二倍角的相對性，如相對性，如是是 的二倍，的二倍，44是是22的二倍等的二倍等. . 2【變式備選【變式備選】已知已知f(xf(x)=sinxcosx+3cos)=sinxcosx+3cos2 2x- .x- .(1)(1)化簡化簡f(xf(x););(2)(2)求求 的值的值. .【解析【解析】(1)f(x)=(1)f(x)= .= .(2) . (2) . 32f()12131cos2x3sin2x222（）13sin2xcos2xsin(2x)

17、223f()sin()sin112632 兩組公式的綜合應(yīng)用兩組公式的綜合應(yīng)用【方法點睛【方法點睛】在利用和角或差角公式時，常常用到拆角與拼角的技巧，常見在利用和角或差角公式時，常常用到拆角與拼角的技巧，常見角的變換與配湊有：角的變換與配湊有： (1)=(-)+=(+)-(1)=(-)+=(+)-；(2)= (2)= ；(3)2=(+)+(-(3)2=(+)+(-) )；(4)2=(+)-(-(4)2=(+)-(-) )；(5)(5) ； (6) (6) ；(7)-=(-)+(-(7)-=(-)+(-). ). 22()()222 ()()222 【例【例3 3】已知】已知 ，且且 ，求，求s

18、insin的值的值. .【解題指南【解題指南】先利用角的變換及兩角和的余弦公式求先利用角的變換及兩角和的余弦公式求cos2cos2的的值，再根據(jù)角的范圍及二倍角公式求值，再根據(jù)角的范圍及二倍角公式求sinsin的值的值. . 312sin(2)sin513 ，(, )(,0)22 ，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】 ,222,2,又又- - 0 0，00- , , , , , ,cos(2-)= .cos(2-)= .22252235sin(2)0,2252 45又又 , ,cos2=coscos2=cos(2-)+(2-)+=cos(2-)cos-sin(2-)sin=cos(2-)cos-sin(2

19、-)sin= ,= ,又又cos2=1-2sincos2=1-2sin2 2,sin,sin2 2= ,= ,又又 . .4531256()51351365 1 cos2921303 130(, ),sin2130 1250sincos21313 且，【反思【反思感悟感悟】在求解本類題目時，要學(xué)會角的適當(dāng)變形，將在求解本類題目時，要學(xué)會角的適當(dāng)變形，將條件中的各角進行適當(dāng)?shù)呐錅?，變?yōu)樗蟮慕牵以诖俗冃沃袟l件中的各角進行適當(dāng)?shù)呐錅?，變?yōu)樗蟮慕?，且在此變形中一定要注意角的范圍，防止出現(xiàn)增解或漏解一定要注意角的范圍，防止出現(xiàn)增解或漏解. . 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知是銳角，是銳角， . .

20、(1)(1)求求 的值；的值；(2)(2)求求tantan的值的值. .【解析【解析】(1)(1)1cos()63sin(2 )6 sin(2 )cos(2 )626 2cos(2 )2cos () 1361721.99 (2) (2)是銳角，是銳角， , , 266312 2sin()1693sinsin ()66 sin()coscos()sin66662 23112 6132326coscos= = . = . cos ()66cos()cossin()sin6666132 2132 232326sin2 61(2 61)( 32 2)tancos3832 2 9 38 25【易錯誤區(qū)【

21、易錯誤區(qū)】同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用誤區(qū)同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用誤區(qū)【典例】【典例】(2011(2011大綱版全國卷大綱版全國卷) )已知已知 ，則，則tan2=_.tan2=_.【解題指南【解題指南】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，先由正弦值求出余弦利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，先由正弦值求出余弦值，同時一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切值，同時一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數(shù)的倍角公式即可求解函數(shù)的倍角公式即可求解. .5()sin25 ， ，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】由由 , , 得得 , ,答案：答案：(, )25sin5 2 5cos5 2sin12

22、tan4tan,tan2.cos21tan3 43【閱卷人點撥【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：得到以下誤區(qū)警示和備考建議： 誤誤區(qū)區(qū)警警示示在解答本題時有兩點容易造成誤解：在解答本題時有兩點容易造成誤解：(1)(1)忽視角的范圍，誤求得忽視角的范圍，誤求得 . .(2)(2)二倍角的正切公式記憶不準(zhǔn)導(dǎo)致計算錯誤二倍角的正切公式記憶不準(zhǔn)導(dǎo)致計算錯誤. . 22 5cos1 sin5 備備考考建建議議在解決同角三角函數(shù)及二倍角公式的應(yīng)用的問題時，在解決同角三角函數(shù)及二倍角公式的應(yīng)用的問題時，還有以下幾點在備考時要高度關(guān)注：還有以下幾點在備考時要高度關(guān)注：(1)(1)做題時要認真審題，涉及開方求正、余弦時，一做題時要認真審題，涉及開方求正、余弦時，一定要注意角的取值范圍對函數(shù)值符號的影響定要注意角的取值范圍對函數(shù)值符號的影響. .(2)(2)高三一輪復(fù)習(xí)重在基礎(chǔ)，一定要牢固掌握基礎(chǔ)知高三一輪復(fù)習(xí)重在基礎(chǔ)，一定要牢固掌握基礎(chǔ)知識，如解答本題用到的同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍識，如解答本題用到的同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式角公式. . 1.(20111