立體幾何中地向量方法(一)——證明平行與垂直

1、實用文檔立體幾何中的向量方法(一)一一證明平行與垂直基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)H知識梳理i.直線的方向向量與平面的法向量的確定 (i)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a, b是平面“內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法向n a= 0,量，則求法向量的方程組為，n b= 0.2 .用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線11和12的方向向量分別為 V1和V2,則11加2(或11與12重合)？ Vl/ V2.(2)設(shè)直線1的方向向量為V,與平面a共面的兩個不共線向量V1和V2,則1/ "或1? ”?存在兩個實數(shù) x, y,使 v=xv1+yv2

2、.(3)設(shè)直線1的方向向量為V,平面a的法向量為U,則1 / a或1? ? v±u.(4)設(shè)平面a和3的法向量分別為U1 , u2,則a" 3? ui / U2.3 .用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線11和12的方向向量分別為V1和V2,則112? VV2? V1V2=0.(2)設(shè)直線1的方向向量為V,平面”的法向量為U,則1，0? V/ U.(3)設(shè)平面a和3的法向量分別為U1和u 2,則a-L僅u 1 -L u2? u1 u 2=0.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“或"X”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯

3、一確定的.()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.()(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()(5)若a/ b,則a所在直線與b所在直線平行.()(6)若空間向量a平行于平面 出則a所在直線與平面 ”平行.(考點自測1.下列各組向量中不平行的是()A. a=(1,2, 2), b=(-2, 4,4)B. c= (1,0,0), d= (-3,0,0)C. e= (2,3,0), f= (0,0,0)D. g=(2,3,5), h= (16,24,40)2.已知平面 a內(nèi)有一點 M(1,1,2),平面a的一個法向量為 n = (6, 3,6),則下列點P中， 在平面a內(nèi)的是()

4、A. P(2,3,3)B. P(2,0,1)C. P(-4,4,0)D. P(3, - 3,4)3,已知 aB = (1,5, 2), BC=(3,1 , z),若 AB，BC, BP=(x-1, y, 3),且 BP，平面 ABC, 則實數(shù)x, v, z分另J為.4.若A(0,2, 19), B(1, 1, 8), C(-2,1, |)是平面a內(nèi)的三點，設(shè)平面 a的法向量n=(x,y, z),貝U x ： y ： z=.gg型分類深度剖析題型一證明平行問題總例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體 A- BCD中，ADL平面BCD,BC±CD,/ ；AD = 2,BD = 2亞，M

5、是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段 AC上，/>花二_聚且 AQ = 3QC.證明：PQ/平面BCD.癇蹤訓(xùn)臻1如圖，在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E, F, M, N分別是棱AB, AD, A1B1, A1D1 的中點，點 P, Q 分別在棱 DD1，BB1上移動，且 DP = BQ = ?(0< «2).當(dāng)41時，證明：直線 BC/平面EFPQ；標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔(2)是否存在 人,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出入的值;若不存在，說明理由.W w題型二證明垂直問題例2 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱

6、由柱)ABC AiBiCi的所有棱長都為 2, D為CCi的中點.求證：AB/標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案平面AiBD.跟蹤訓(xùn)雄2 如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，PC，平面ABCD, PC =2,在四邊形 ABCD 中，Z B=Z C=90°, AB = 4, CD = 1,點 M 在 PB 上,PB= 4PM , PB 與平面 ABCD 成 30 °角.(1)求證：CM/平面PAD;(2)求證：平面 PABL平面 PAD.題型三 解決探索性問題例3 如圖，棱柱 ABCDAiBiCiDi的所有棱長都等于 2, / ABC和/ AiAC均為60°,平面AAiCC平

7、面 ABCD.(1)求證：BDXAAi； (2)求二面角DAiAC的余弦值；在直線CCi上是否存在點P,使BP/平面DAiCi,若存在，求出點P的位置，若不存在,請說明理由.跟蹤訓(xùn)蜿3如圖所示，四棱錐 S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 取倍,P為側(cè)棱SD上的點.求證:ACXSD.c(2)若SD，平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點 E,使彳導(dǎo)BE/平面PAC.若存在，求SE ： EC 的值；若不存在，試說明理由.利用向量法解決立體幾何問題典例：如圖，四棱錐 PABCD中，底面ABCD為矩形，PAL平面ABCD, E為PD的中點.證明:PB/平面 AEC;(2)設(shè)二面角 D

8、AE C為60°, AP=1, AD = V3,求三棱錐 EACD的體積.錯誤！A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練1 .若直線l的方向向量為 a=(1,0,2),平面 ”的法向量為n=(-2,0, 4),則()A . l / aB. l± aC. l? a2 .若AB= BD+ qE,則直線 AB與平面CDE的位置關(guān)系是()B.平行A.相交C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)3 .已知A(4,1,3), B(2, 5,1), C(3,7, 5),則平行四邊形 ABCD的頂點D的坐標(biāo)是()A. (2,4, 1)B. (2,3,1)C. (-3,1,5)D, (5,13, 3)4 .已知a=(2, 1

9、,3), b=(-1,4, 2), c=(7,5,九 若a, b, c三向量共面，則實數(shù) 入等 于()62636065A. 7 B. - C.y D. 5 .如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2, AA1 =3, AD = 2V2,/ CP為C1D1的中點，M為BC的中點.則 AM與PM所成的角為() 4fzz /A. 60B. 45乙二一土布ARC. 90°D,以上都不正確6 .已知平面 ”內(nèi)的三點 A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0),平面3的一個法向量 n=(-1, 1, -1),則不重合的兩個平面a與3的位置關(guān)系是 .7 .設(shè)點 C(2a

10、+1, a+ 1,2)在點 P(2,0,0)、A(1, 3,2)、B(8, 1, 4)確定的平 面上，則a=.8 .如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，棱長為a, M、N分別為AB和AC上的點，A1M = AN = .,則MN與平面BB1C1C的彳立置關(guān)系是 .1 9 .如圖，四邊形ABCD為正萬形，PDL平面ABCD, PD/QA, QA=AB = 2PD.證明：平面 PQCL平面 DCQ.10 .如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，F(xiàn)AL底面ABCD, E, F分別是PC, PD的中點，pa = AB=1, BC=2.(1)求證：EF/平面PAB;(2)求證：平面 PAD，平

11、面PDC.B組專項能力提升11 .如圖，正方形 ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直， AB=2, AF =1 , M在EF上，且 AM /平面BDE ,則M點的坐標(biāo)為()A. (1,1,1)22 八B-(掌米1)c.(室坐,1)D.(*,乎,D12 .設(shè)u= (-2,2, t), v=(6, 4,4)分別是平面 “，3的法向量，若 工 就則t等于()A. 3 B. 4 C. 5 D. 613 .在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形 ABCD的中心，M, N分別為AB, BC的中點，點 Q為 平面ABCD內(nèi)一點，線段DQ與OP互相平分，則滿足mQ = 血的實數(shù) 入有 個.14 .如圖所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC為等腰直角三角形，/BAC=90&#