慣性矩總結(jié)(含常用慣性矩公式)

1、慣性矩是一個(gè)物理量，通常被用作描述一個(gè)物體抵抗扭動(dòng)，扭轉(zhuǎn)的能力 慣性矩的國際單位為（mM）。工程構(gòu)件典型截面幾何性質(zhì)的計(jì)算2.1面積矩1 .面積矩的定義9(2 -2.1)圖2-2.1任意截面的幾何圖形如圖2-31所示為一任意截面的幾何圖形（以下簡稱圖形）。定義：積分 別定義為該圖形對(duì)z軸和y軸的面積矩或靜矩，用符號(hào)Sz和Sy,來表示，如式（22.1）面積矩的數(shù)值可正、可負(fù)，也可為零。面積矩的量綱是長度的三次方，其常用單位為m3或mrm）2 .面積矩與形心平面圖形的形心坐標(biāo)公式如式（22.2）(2 2.2)或改寫成，如式（22.3）面積矩的幾何意義：圖形的形心相對(duì)于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度

2、。圖形形心相對(duì)于某一坐標(biāo)距離愈遠(yuǎn)，對(duì)該軸的面積矩絕對(duì)值愈大。圖形對(duì)通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對(duì)某一軸的面積矩等于零, 該軸一定通過圖形形心。3 .組合截面面積矩和形心的計(jì)算組合截面對(duì)某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對(duì)該軸面積矩的代數(shù)和。如式 (22.4)(2 2.4)式中，A和yi、Zi分別代表各簡單圖形的面積和形心坐標(biāo)。組合平面圖形的形心位 置由式(22.5)確定。i-l(22.5)4 .2極慣性矩、慣性矩和慣性積1 .極慣性矩任意平面圖形如圖2-31所示，其面積為定義：積分1a/114稱為圖形對(duì)。點(diǎn)的極慣性矩，用符號(hào)Ip,表示，如式(22.6)(2 2.6)2'p =2

3、口必極慣性矩是相對(duì)于指定的點(diǎn)而言的， 即同一圖形對(duì)不同的點(diǎn)的極慣性矩一般是不同 的。極慣性矩恒為正，其量綱是長度的4次方，常用單位為m或mr4i(1)圓截面對(duì)其圓心的極慣性矩，如式(2 7)空32 (2 2.7)(2)對(duì)于外徑為D內(nèi)彳全為d的空心圓截面對(duì)圓心的極慣性矩，如式(22.8)4 (1一值)(32(2 2.8)式中，&二d/D為空心圓截面內(nèi)、外徑的比值。2 .慣性矩在如圖6-1所示中，定義積分，如式（22.9）1工=a/幼(2 2.9)稱為圖形對(duì)z軸和y軸的慣性矩。慣性矩是對(duì)一定的軸而言的，同一圖形對(duì)不同的 軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值，其量綱和單位與極慣性矩相同。同一圖

4、形對(duì)一對(duì)正交軸的慣性矩和對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。如式 22.10）Ip=Iz+Iy （2 2.10）上式表明，圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)通過此點(diǎn)且在其平面內(nèi)的任一 對(duì)正交軸慣性矩之和。表6-1給出了一些常見截面圖形的面積、形心和慣性矩計(jì)算公式，以便查用。工程 中使用的型鋼截面，如工字鋼、槽鋼、角鋼等，這些截面的幾何性質(zhì)可從附錄的型鋼表 中查取。3 .慣性積如圖232所示，積分限產(chǎn)弱定義為圖形對(duì)y,、z軸的慣性積，用符號(hào)Iyz表示,如式(211)圖2-2.2具有軸對(duì)稱的圖形小 =a尸胡（2 11）慣性積是對(duì)于一定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸而言的,即同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不

5、同，慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零，其量綱和單位與慣性矩相同由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論：若圖形具有對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸 在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)抽的慣性積為零。 如圖2-32所示，y為圖形的對(duì)稱軸.則整個(gè)圖形對(duì) V、z軸的慣，性積等于零。常見圖形的面積、形心和慣性矩表2 2.1序號(hào)圖 形面積形心位置慣性矩（形心軸）141 b 11A二b八h ?武=一 G 2h yc 2T b必 4 - 12廠1224 E1A = bh-bhybZrt =* 2h= 一2儲(chǔ)-赭）1乙2. 3組合截面的慣性矩E 2-2.3任意平面圖形1 .慣性矩和慣性積的平行移軸公式任意平面圖形如圖2-2.3所示。z、y為

6、一對(duì)正交的形心軸，zi、yi為與形心軸平行的 另一對(duì)正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。已知圖形對(duì)形心軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積Izy,現(xiàn)求圖形對(duì)zi、yi軸的慣性矩Iz1、Iy1和慣性積Izlyl。有慣性矩和慣性積的平行 移軸公式如式（22.12）和式（22.13）A （2 2.12）I ziyi=I zy+abA（22.13）可見，圖形對(duì)于形心軸的慣性矩是對(duì)所有平行軸的慣性矩中最小的一個(gè)。在應(yīng)用平 行移軸公式（22.12）時(shí)，要注意應(yīng)用條件，即y、z軸必須是通過形心的軸，且z1、y1 軸必須分別與z、y軸平行。在應(yīng)用式（22.13）計(jì)算慣性積時(shí)，還須注意a、b的正負(fù) 號(hào)，它們是截面形心c

7、在zQy1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。2 .組合截合慣性矩計(jì)算組合圖形對(duì)某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡單圖形對(duì)該軸慣性矩之和，如式 （22.14）。=（2 2.14）在計(jì)算組合圖形對(duì)z、y軸的慣性矩時(shí)，應(yīng)先將組合圖形分成若干個(gè)簡單圖形，并計(jì)算出每一簡單圖形對(duì)平行于z、y軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式 (22.12)計(jì)算出各簡單圖形對(duì)z、y軸的慣性矩，最后利用式(22.14)求總和。2.4主慣性軸和主慣性矩過圖形上任一點(diǎn)都可得到一對(duì)主軸，通過截面圖形形心的主慣性軸，稱為形心主軸, 圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。在對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定計(jì)算中， 常常需要確定形心主軸和計(jì)算形心

8、主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對(duì)包括其對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，所以對(duì)于如圖6-4所示具有對(duì)稱軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對(duì)稱軸的情況，觀察確定形心主軸的位置。(1)如果圖形有一根對(duì)稱軸，則此軸必定是形心主軸、而另一根形心主軸通過形心， 并與對(duì)稱軸垂直，如圖2-34 b)、d)所示。(2)如果圖形有兩根對(duì)稱軸，則該兩軸都為形心主軸，如圖 6-4 a)、c)所示。(3)如果圖形具有3根或更多根對(duì)稱軸，過圖形形心的任何軸都是形心主、軸，且圖 形對(duì)其任一形心主軸的慣性矩都相等，如圖 6-4 e)、f)所示。a)b)c)d)e)f)圖2-2.4具有對(duì)稱軸的截面圖形常用慣性矩公式:疝/J -*64符號(hào)意義及單位：k截面對(duì)x軸的慣性矩(而d截面直徑(cm)一包/一12符號(hào)意義及單位：4長方形截面對(duì)k軸的慣性(cm*)a長(cm)b寬(cm),a婷-帥+0房“一3一符號(hào)意義及單位：A一慣性矩(cm4)B6口圖所示(cm)Ji口圖所示(cm)民重心S