第06屆華羅庚金杯少數(shù)學邀請賽團體決賽口試試題

1、第06屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽團體決賽口試試題1.在4X7的方格紙板上面有如陰影所示的“ 6字，陰影邊緣是線段或圓弧，問陰影面積占紙板面積的幾分之幾?2.如圖是一座立交橋俯視圖，中心局部路面寬20米，AB二CD100米，陰影局部為四個四分之一圓形草坪 如右圖，現(xiàn)有甲、 乙兩車分別在 A D兩處按箭頭方向行駛，甲車速 56千米/小時，乙車 速50千米/小時，問甲車要追上乙車至少需要多少分鐘?圓周率取3.1ABCDE的面積是54. AP=2PF, CQ=BQ求陰影四邊形CEP的面積.4.輪船從武漢到九江要行駛5小時，從九江到武漢要行駛7小時，問一長江飄流隊員要從武漢乘木筏自然飄流到九江需要多少

2、小時？5你能在3X3的方格表中每個格子里都填一個自然數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的三數(shù)之和都等于1997嗎？假設能, 請?zhí)畛鲆焕?，假設不能，請說明理由.6 用面積為1, 2, 3, 4的四張長方形紙片拼成如以下圖的一個大長方形問：圖中陰影局部面積是多少？7 某城市東西路與南北路交匯于路口 A甲在路口 A南 邊560米的B點，乙在路口 A.甲向北，乙向東同時勻速行走，4分鐘 后二人距A的距離相等.再繼續(xù)行走24分鐘后，二人距A的距離恰又 相等問：甲、乙二人的速度各是多少？如以下圖8.某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱， 并且 尼龍編織條如以下圖所示在三個方向上加固， 尼龍編織條分別為3

3、65厘 米，405厘米，485厘米，假設每個尼龍條加固時接頭重疊都是 5厘米.問這個長方體包裝箱的體積是多少立方米?9 .小地球儀上赤道大圓與過南北極的某大圓相交于A、B兩點如以下圖.有黑、白二蟻從 A點同時出發(fā)分別沿著這兩個大圓 爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過南北極的大圓一周要 8 秒鐘.問：在10分鐘內(nèi)黑、白二蟻在 B點相遇幾次？為什么？10 .有一長為11m寬為9cm 高為7cm的長方體木塊,能否切割成77塊長、寬都是3cm,高是1cm的長方體形狀的體積木塊？ 說明理由.11.在3X3的方格表中已填入了九個質(zhì)數(shù)，如果將表中同一行或同一列的三個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作，

4、問：你能通過假設干次操作使得表中九個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？313同212 .世界杯足球小組賽，每組四個隊進行單循環(huán)比賽,每場比賽勝隊得3分，敗隊記0分，平局時兩隊各記1分，小組各隊全 賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比賽，如果總積分相同， 還要按小分排序.問：一個隊至少要積幾分才能保證本隊必然出線？簡 述理由.13 .一個正四面體放在桌面上，正對你的面 ABC是紅色，寫有數(shù)字1;右側(cè)面ACD是藍色，寫有數(shù)字2；左側(cè)面ABD 是黃色，寫有數(shù)字3.如果在你的對面垂直于桌面放一面鏡子，使這個四面體恰在你與鏡子之間.請你畫出鏡面中你看到的這個四面體的形象面上涂上顏色與數(shù)字的形象.14 .

5、將一長條形紙帶兩面都畫上中軸線，然后將紙帶的 一端翻轉(zhuǎn)，把兩端粘在一起，如以下圖所示再沿中軸線剪開，請你觀 察所得結(jié)果，并準備進如下操作：假設將一長條形紙的一端作二次翻轉(zhuǎn) 后再將兩端粘在一起，然后沿中軸線剪開，請在一分鐘之內(nèi)完成，展開 出你的結(jié)果.15 .如以下圖是一輛汽車模型紙工平面展開圖，中軸線上面的一半標出了尺寸，將該圖剪下折疊粘合相同字母標記處粘合在一起作成汽車模型的體積為 V.請答復：1403<V<445;2)473<V<500哪一個正確，為什么？16 .這是一個挖地雷的游戲，在 64個方格中一共有10 個地雷，每個方格中至多有一個地雷，對于寫有數(shù)字的方格，其

6、格中無 地雷，但與其相鄰的格中有可能有地雷，地雷的個數(shù)與該數(shù)字相等，請 你指出哪些方格中有地雷.17 臺球桌上有15個紅球每球1分，另有六個高分球；黃色球2分，棕色球3分，綠色球4分，藍色球5分，粉色球6分，黑色球7分，臺球比賽規(guī)那么： 先打紅球，打完所有紅球后，再將高分球依次由低分到咼分打入袋中，稱為打完一局. 在打進兩個紅球之間可先后連續(xù)打進任意兩個高分球，然后再取出這兩個高分球放回原處，每打進一個球，選手得到該球 的分值問：小白兔打完一局最高能得多少分？18 .在1, 2, 3,，1996, 1997這1997個自然數(shù)中,含數(shù)碼 1 的數(shù)共有多少個？19.將 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成

7、一個數(shù)字串,依次 完成以下五項工作叫做一次操作： 將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊； 從左到右兩位一節(jié)組成假設干個兩位數(shù)； 劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)； 所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保存左邊的一個，其余 劃去； 所余的兩拉質(zhì)數(shù)保持數(shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串問：經(jīng)過 1997 次操作,所得到數(shù)字串是什么？20 .現(xiàn)有如下一系列圖形如以下圖D當n=1時，長方形ABC分為2個直角三角形，總計數(shù)出5條邊.當n=2時，長方形ABC分為8個直角三角形，總計數(shù)出16條邊.當n=3時，長方形ABC盼為18個直角三角形，總計數(shù)出33條邊.按如上規(guī)律請你答復：當n =100時，長方形ABCD應分為 多少個直角三角形

8、？總計數(shù)出多少條邊？21 .華羅庚數(shù)學小組的同學們在圖書館發(fā)現(xiàn)一塊古代楔形文字泥板的圖片，同學們猜想它是一種乘法表的記錄，請你根據(jù)這個 猜想，判定表示什么數(shù)？如圖22 .下面是主試委員會為第六屆華杯賽寫的一首詩:美少年華朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯(lián)宜歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌請你將詩中56個字從第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來，將它們對應的字依次排 成一行，組成一句話，請讀出這句話.參考答案19_1.丄解：矩形紙板共28個小正方格，其中弧線都是圓周,格.非陰影局部“共6個，、也共六個，可拼成6個

9、小正方 因此陰影局部共28-6-3=19個小正方格.如右圖所以，陰影面積占紙板面積的-.解：依交通規(guī)那么，甲車行進路線為心B.GD其中表示沿弧線行進，因而兩車初始相距：科門1100-2C 汕們“ “冷200 + JT K= 200 + 3 J X 20 = 2222米現(xiàn)甲車每小時比乙車多行 6千米，所以每分鐘甲車可6000追及乙車= 100所以一一一 _亠分即甲車至少需檢經(jīng)過2.62分鐘才能追及乙車3 . 31解：如題圖，將正六邊形 ABCDE等分為54個小正三角形，根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，采用數(shù)小三角形的 方法來電腦積.M遲廂積=3心沁面積=9四邊形山e面積=11.上述三塊面

10、積之和為3+9+1仁23.因此，陰影四邊形CEP面積為54-23=314 . 35小時速-水速;解：輪船順水速二靜水船速+水速；輪船逆水速=靜水船由于武漢到九江距離為定值，所以，靜水船速+水速X 5=靜水船速-水速X7這說明12X水速=2X靜水船速，即6X水速二靜水船速,也就是，輪船以7X水速的速度5小時可從武漢到九 江.所以，木筏以1個水速的速度要35小時可從武漢自 然飄流到九江.5 不能解：假設能填入九個自然數(shù)：,I ,，匚滿足題設條件，那么aj +as + a9 =1PP7+ aa =1997相加得:df1 + af2 + tz3 4。斗 +盤5 斗口$ + 7了 4 陽+ dfp +

11、3iJj = 4 > 1997而"+ 十* 4仃5 + 口5 + 口丁 + 兩十 £jg = 3x 15>9719?7與二是自然數(shù)矛盾.所以106 .二解：如右圖，大長方形面積為 1+2+3+4=10,延長RA 交底邊于Q延長SB交底邊于P,矩形ABPF面積是上部陰影三角形面 積的2倍，矩形ABS是下部陰影三角形面積的2倍，所以矩形RQS的 面積是陰影局部面積的兩倍.CA = CD CB CD 易知AB=CB-CA = -Cf-CD = CD1321A D F因此矩形RQS的面積是大矩形面積的，陰影局部I面積是大矩形面積的二.丄 X10.12陰影局部面積hI .

12、7 . 80 米；60 米解：行走4分鐘甲到 C 乙到D. AC=A,可見甲、乙二人4分鐘共行AB=560米.如右圖甲速+乙速X 4=560米甲速+乙速=140米/分1再行走24分鐘甲到E,乙到FAE=AF所以甲28分鐘行BE乙28分鐘行AF,因此甲28分鐘比乙28分鐘多行 AB=560米.即甲速-乙速X 28=560米甲速-乙速=20米/分2由1， 2知甲速=80米/分乙速=60米/分.解：長方體中：高+高=.一' ' 11(405-5)=200高+長=2長 + 寬=1(485 -24口八32- 1：長-寬=204+ 3：長=130,從而寬=110,代入1得高=70所以長方體

13、體積為：立方厘米二汕立方米解：黑蟻爬半圓需要5秒鐘，白蟻爬半圓需要 4秒 鐘.黑、白二蟻同時從 A點出發(fā)，要在B點相遇，必須滿足兩個條件: 黑、白二蟻爬行時間相同，在此時間內(nèi)二蟻爬行奇數(shù)個半圓，但黑 蟻爬行奇數(shù)個半圓要用奇數(shù)秒5X奇數(shù)，白蟻爬行奇數(shù)個半圓要用 偶數(shù)秒4X偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)不能相等，所以黑、白二蟻永遠不能 在B點相遇.10 .不能解：木塊體積為11X 9X 7=693立方厘米，77塊3X 3X1 立方厘米的積木也恰為 693立方厘米.如果能將11 X 9X7立方厘米的 木塊切割為77塊3X 3X1立方厘米的積木，那么11X7的側(cè)面將被小 積木的側(cè)面蓋滿，而小積木側(cè)面面積要么是 3平

14、方厘米，要么是9平方 厘米.由11X 7=3m=9n,可知：3X 11X 7,得出矛盾.所以長為11cm,寬為9cm,高為7cm的木塊不能切割 成77塊3X 3X1立方厘米的長方體積木.11 .不能！解：表中九個質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1,經(jīng)過每 一次操作，總和增加3的倍數(shù).設m次操作后能使表中各數(shù)都相等，此時表中諸數(shù) 總和為:二V二 ' 匚.它仍應是個被3除余1的數(shù)，但表中九個數(shù)變?yōu)橄?等，其總和應被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)?九個相同的數(shù).解：四個隊單循環(huán)賽共6場比賽，每場均有勝負，6 場最多共計18分.假設該隊積7分，剩下的11分被3個

15、隊去分，那么, 不可能再有兩個隊得7分，即至多再有一個隊可得7分以上.這樣該隊 可以出線.其次，如果該隊積6分，那么剩下12分，可能有另兩隊各得6分，如果這另兩隊小分都比該隊高，該隊就不能出線了 .所以，一個隊至少要積7分才能保證必然出線.13 .答：鏡面中的所見四面體的像如以下圖所示其中A、B C D標出是為幫助大家想象14 .解：將長條形紙帶的一端作二次翻轉(zhuǎn)，再將兩端 粘在一起，沿中線剪開，得到兩個套在一起的經(jīng)過一次翻轉(zhuǎn)粘結(jié)兩端而 成的紙帶，如以下圖所示.黑三飆15 . 403<V<445 正確 解：汽車模型由下部長方體與上面的臺體組合而成如以下圖，長方體體積n '&#

16、39;'，而臺體I看成底面積為21，高在7 與9之間的臺體.21x7 cV2 <21x5gpl-16 .解：4 A格中有地雷，因為5A格相鄰的格中有4A中可能有地雷，且肯定有一個. 由于IC格中數(shù)字是2,而IB, 1D中又無地雷，所以 2B, 2C, 2D三格中必有兩格有地雷，假設 2C有地雷，那么無論2B或2D 中有地雷都與其左邊格中數(shù)字為 1矛盾，所以2B, 2D中各有一個地雷. 由1F到4F中數(shù)字0及1G到4G中的數(shù)字可以判斷出1H到4H四個格中可能有地雷.首先如果1H中有地雷，那么由1G格中 數(shù)字為1 ,知2H一定無地雷.由于2G格數(shù)字為2,所以3H格有地雷.再 由3G中

17、的數(shù)字為2推斷出4H中有地雷，那么與4G相鄰的格3H與4H中 都有地雷，與4G格數(shù)字1矛盾.因此，4H無地雷.同理可推斷1H格中 無地雷.最后由2G 3G中的數(shù)字2可得2H, 3H中各有一個地雷. 由于6A格周圍只有一個地雷且只有 7B中可能有地 雷，所以7B中有一個地雷，由于7A數(shù)字為2,那么7B中有一個地雷，所 以8A和8B格中只能一個地雷，再由8C格中的數(shù)字1可得8A中有一個 地雷. 由7F中的數(shù)字3，可推出6E, 8E, 8F和8G四格中 有三個格中有雷，加上前面已找出 7個地雷，又恰有 10個地雷，所以 8H中無地雷.由7H中的1推出8G中有一個地雷，由7G的數(shù)字1,推 出8F中無地

18、雷，因而6E, 8E中各有一個地雷.1I12Ji11*T12*100"32101001'A BCDEFGH11212112000132210101答：地雷分布如上圖所示17 . 224解：小白兔一桿打完從未失誤，每次按規(guī)那么都打最高分的球，共得14X1+6+7 + 1+2+3+4+5+6+7 =224分18 . 1269解：從1001997共998個含數(shù)碼1的數(shù)，在001999這999個數(shù)中，199中含數(shù)碼1的數(shù)共19個,在100199共100個含數(shù)碼1的數(shù), 所以在001999這999個數(shù)中，共有19X 9+100=271個含有數(shù)碼1的數(shù)因此，在1, 2, 3,，1996, 1997中，含數(shù)碼1的數(shù)共有：998+271=1269 個19 1731第 2 次操作得數(shù)字串11133173；第 3 次操作得數(shù)字串111731；第 4 次操作得數(shù)字串1173；第 5 次操作得數(shù)字串1731 ；第 6 次操作得數(shù)字串7311；第 7 次操作得數(shù)字串3117；第