立體幾何中的向量方法求空間角和距離

1、根底知識(shí)？自主學(xué)習(xí)知識(shí)冋顧理消救材I要點(diǎn)梳理1.空間向量與空間角的關(guān)系,直線11與12異面直線11, 12的方向向量分別為Si, S2,當(dāng)ovv Si, S2X的夾角等于Si, S2>當(dāng)nv v Si, Sz>v n時(shí)，直線11與12的夾角等于 nV S1, S2 >.平面n和n的法向量分別為n1 和敗，當(dāng) Ovv n1, n 2>v,平面n與n的夾角等于ni, n2>n當(dāng)2v v n 1,敗八n時(shí)，平面n與n的夾角等于 直線I的方向向量為S,平面n的法向量為 sin 0= |cos s, n > |.2.距離公式兀 ni, n2>.n那么直線I與平面

2、n的夾角點(diǎn)到直線的距離公式：d= . |PA|2 |Pa Sof.點(diǎn)到平面的距離公式：d= |PA no|.I夯基釋疑夯實(shí)根底突破疑砒1.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V “X(1) 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角(2) 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(3) 兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面的夾角.n(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,刁，直線與平面所成角的范圍是直線I的方向向量與平面 a的法向量夾角為120 °那么I和a所成角為302.二面角 a I B的大小是n, m, n是異面直線，且 m丄a, n丄伏那么m,3n所成的角nn

3、nB.nC.2D.6答案B解析 / m丄a, n丄B,?異面直線m, n所成的角的補(bǔ)角與二面角a-1- B互補(bǔ).又？?異面直線所成角的范圍為(0,彳,? m, n所成的角為33.在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n = (2, 2,1),點(diǎn)P( 1,3,2),貝V點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于答案B|OP n|n|2 6 + 2|=2,應(yīng)選 B.解析 P點(diǎn)到平面OAB的距離為4.假設(shè)平面a的一個(gè)法向量為n = (4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a= ( 2, 3,3)，那么I與a所成角的正弦值為答案解析？/ na= 8 3 + 3 = 8, |n|=16+ 1 +=3 2

4、,|a|= +'9 + 9 = .22,? cos n, a>4A/11又I與a所成角記為 0,即sin = |cos n, a>4 5133|n | |a|= 3 2X 22 =335 . P是二面角a AB B棱上的一點(diǎn)，分別在平面a B上引射線PM、PN，如果/ BPM =/ BPN = 45 ° / MPN=60 °那么平面a與B的夾角為答案90 °解析不妨設(shè)PM = a, PN= b,如圖，作ME丄AB于E, NFA丄AB于F,?EPM = / FPN = 45 °?PE =PF = -22b,答案BD,Hi1111/I&g

5、t; > > > > >EM FN = (PM PE) (PN PF)=PM PN PM PF PE PN +PE PFX=abcos 60 axAbcos 45 乎 abcos 45 +Aaab ab辿 + ab= 0O 1 O 5? EM丄FN , ?平面a與B的夾角為90題型分類？深度剖析題型一求異面直線所成的角【例 1 長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB= AAi= 2, AD = 1,B.嚅C並C. 103 10D.a思維啟迪 此題可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解析 建立坐標(biāo)系如圖，那么 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0

6、)，BCi= ( 1,0,2),Al= (- i,2,i),E為CCi的中點(diǎn)，那么異面直線BCi、AE所成的角來求.0(022).BCi AE3010 - |BCi|AE|BCi與AE所成角的余弦值為cos BCi, AE >fi所以異面直線BCi與AE所成角的余弦值為 譽(yù).，兩向量的夾角a的范圍是0, n,所以求解，而兩異面直線所成角的范圍是要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有cos 0= |cos a|.直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD為正方形，AA1= 2AB, E思維升華 用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來為AAi的中點(diǎn)，那么異面直線

7、BE與CDi所成角的余弦值為D.；B.5答案 C解析 如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖空間直角坐標(biāo)系 .設(shè) AAi = 2AB = 2,那么 B(1,1,0) , E(1,0,1) , C(0,1,0) , Di(0,0,2) ,?-BE = (0,- 1,1),? cos BE, CDi >2 ? 5=10題型二求直線與平面所成的角例2】如圖，四棱錐 P ABCD的底面為等腰梯形，AB / CD ,AC丄BD，垂足為H , PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn).(1) 證明：PE丄BC;(2) 假設(shè)/ APB = / ADB = 60 °求直線PA與平面PEH所成角的正弦值思維

8、啟迪：平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，此題可通過建立(1)證明以H為原點(diǎn)，HA , HB, HP所在直線分別為x, y, z軸,線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH的法向量.y那么 A(1,0,0) , B(0,1,0).設(shè) C(m,0,0) , P(0,0 , n) (m<0 , n>0)，那么 D(0, m,0), E ；,羅,0 .可得 PE =2,羅，-n , BC= (m,- 1,0).因?yàn)?PE BC = m m + 0 = 0,所以 PE 丄 BC.3解由條件可得m= 一 n 1故C -于，0 0

9、EJ ,*, 0,P(0,0,1).gx呂=0,(x , y ,n HE = 0, 那么SZ= 0.HP = 0,CDi = (0，- 1,2),因此可以取 n = (1, - 3, 0).又 PA= (1,0, -1),所以 |cos < FA, n仁乎.一 邁所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為丁.思維升華 利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.AC丄BC= 1, AD = AA1= 3.BD,雖21

10、,1汙(2021湖南)如圖，在直棱柱ABCD A1B1C1D1 中，AD /BC，/BAD = 90(1) 證明：AC 丄 B1D;(2) 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)證明 如圖，因?yàn)?BB1丄平面ABCD , AC平面ABCD，所以AC丄BB1. 又AC丄BD，所以AC丄平面BB1D,而B1D平面BB1D，所以AC丄B1D.解 因?yàn)锽1C1 II AD,所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線 AD與平面ACD 1所成的角(記為9).如圖，連接 A1D，因?yàn)槔庵?ABCD A1B1C1D1是直棱柱，且I B1A1D1= I BAD = 90所以AiBi丄平面A

11、DD iAi，從而AiBi丄ADi.又AD = AA= 3，所以四邊形 ADD iAi是正方形.于是AiD丄ADi,故ADi丄平面 AiBiD，于是ADi丄BiD.由知，AC丄BiD，所以BiD丄平面 ACDl故/ ADBi= 90° 0,在直角梯形abcd中，AB = BC從而 Rt ABCs Rt DAB，故DA =AB因?yàn)?AC 丄 BD，所以 / BAC = Z ADB.，即 AB= , DA BC = 3.連接 ABi，易知 ABiD 是直角三角形，且 BiD2= BB2+ BD2= BB?+ AB2 + AD2= 2i，即BiD = 2i.AD 3vf2i在 Rt ABi

12、D 中，cosZ ADBi=21 = AA，即 cos(90 ° 0=從而 sin 0=即直線BiCi與平面ACD i所成角的正弦值為 一尹.方法二 證明 易知，AB，AD，AAi兩兩垂直.如圖，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AAi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建 立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AB= t，那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(0,0,0)，B(t,0,0)，Bi(t,0,3)，C(t,i,0)，Ci(t,i,3)，D(0,3,0)，Di(0,3,3).從而 EhD = (1,3， 3)，AC= (t,i,0)，BD = ( t,3,0).因?yàn)?AC 丄 BD，所以 Ac eBd = t

13、2 + 3 + 0= 0， 解得t= .3或t = ,3(舍去).于是 bTD = ( .3， 3， 3)， AC= ( . 3， i,0)，因?yàn)?AC BiD = 3+ 3 + 0= 0，所以AC丄BiD，即AC丄BiD.解 由知，ADi =(0,3,3), AC= ( 3, 1,0),BiCi = (0,1,0).設(shè)n= (x, y, z)是平面ACD i的一個(gè)法向量，n AC = 0,3x+ y= 0,那么$，即丫n ADi= 03y + 3z= 0,令 x= 1，貝U n= (1, -3,3).n B1C1sin 0= |cos n, B1C1 > | =|n I |EhC1=7

14、= 7即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為217題型三求兩個(gè)平面的夾角【例3 (2021課標(biāo)全國(guó)ii)如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1中，J2AB , BB1 的中點(diǎn)，AA1 = AC = CB= -2B.(1) 證明：BC1 平面 A1CD;(2) 求平面A1CD與平面A1CE夾角的正弦值.思維啟迪 根據(jù)題意知/ ACB = 90 °故CA、CB、C?兩兩垂直，可以 C為原點(diǎn)建立空 間直角坐標(biāo)系，利用向量求兩個(gè)平面的夾角.(1)證明 連接AC1交A1C于點(diǎn)F，那么F為AC1的中點(diǎn).又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，貝U BC1 / DF .因?yàn)镈F平面A1CD , BC平

15、面A1CD,所以BC1 /平面A1CD.設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為0,那么解 由AC = CB=-A AB得， 以C AC丄BCD,為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)?方向，x軸正方向，CB的方向?yàn)閥軸正CC1的方向?yàn)閦軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系CCxy z.設(shè) CA= 2,貝 U D(1,1,0) , E(0,2,1) , Ai(2,0,2),CD = (1,1,0), CE = (0,2,1), CAi= (2,0,2).設(shè)n= (xi, yi, zi)是平面AiCD的法向量，n CD =0,xi + yi = 0,那么即可取 n= (i, - i, i).n CAi=0,2xi

16、+ 2zi = 0.同理，設(shè)m是平面AiCE的法向旦量 ,可取 m = (2,i,2).m CE =0,那么T6從而 cos n, m >5故 sin n, m>3 m CAi=0.所以平面AiCD與平面AiCE夾角的正弦值為思維升華求平面間的夾角最常用的方法就是分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩n個(gè)平面的法向量的夾角得到所求角的大小，但要注意平面間的夾角的范圍為0,刁.呂IH如圖，在圓錐 PO中，PO= 2, O O的直徑 AB= 2,C是；的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).(1) 證明：平面 POD丄平面FAC;求平面ABF與平面ACF夾角的余弦值.(1)證明 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O

17、B, OC, OF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么O(O,O,O), A( 1,0,0),B(1,0,0) , C(0,1,0) , P(0,0 ,2), D( 2, 2 0).設(shè)ni = (xi, yi, Zi)是平面POD的一個(gè)法向量，那么由 ni OD = 0, ni OP = 0,lie2xi + 2yi得 2 2(:;' 2 zi= 0.所以 zi = 0, Xi = yi,取 yi = 1,得 ni = (1,1,0).設(shè)n2=(X2, y2, Z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，那么由 n2 PA= 0, n2 PC= 0,| X2 Z2= 0,得y2

18、:; . ; 2z2= 0.所以 X2= 2z2, y2= ,2z2.取 z> = 1,得 n2= ( 2,2, 1).因?yàn)?n 1 n2= (1,1,0) ( 2,2, 1)= 0,所以 m丄n2?從而平面 POD丄平面PAC.解因?yàn)閥軸丄平面FAB,所以平面 PAB的一個(gè)法向量為n3= (0,1,0).由(1)知，平面PAC的一個(gè)法向量為 n2= ( 2,2, 1).設(shè)向量n2和n3的夾角為0,10所以平面ABP與平面ACP夾角的余弦值為5貝V COS 9=|器 3|=?=甲.題型四求空間距離【例4正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, CG丄平面ABCD , CG = 2, E, F分別是A

19、B, AD的中點(diǎn)，那么點(diǎn)C到平面GEF的距離為.思維啟迪所求距離可以看作CG在平面GEF的法向量的投影.答案*n =(1,1,3)解析建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,6 1111所以點(diǎn)C到平面GEF的距離為d =嘗的一個(gè)法向量為那么CG = (0,0,2)，由題意易得平面 GEF思維升華求點(diǎn)面距一般有以下三種方法:中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)那么圖形中較簡(jiǎn)便 亍心譏IY4 ( 2021大綱全國(guó)改編)直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD為正方形，AB= 2, CCi = 2 2, E為C?的中點(diǎn)，那么點(diǎn) A到平面BED的距離為()A . 2B. 3C. ,2D. 1答

20、案D6G解析 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，貝u D(0,0,0) , A(2,0,0) , B(2,2,0),C(0,2,0) , Ci(0,2,2 .2) , E(0,2 ,2).設(shè)n= (x, y, z)是平面BED的法向量.n BD = 2x+ 2y= 0那么S T.DE = 2y+V2z = 0取y= 1，貝U n =( 1,1, .2)為平面BED的一個(gè)法向量又 Da =( 2,0,0),?點(diǎn)A到平面BED的距離是 1.In DAI I 1 X 2 + 0+ 01|n| ' ； 12+ 12+ 22=答題按板系列8利

21、用空間向量求角典例：(12分)(2021江西)如圖，四棱錐 P ABCD中，PA丄平面ABCD , E為BD的中點(diǎn)，G為PD 的中點(diǎn)， DABDCB , EA= EB = AB= 1 , PA= 3,連接 CE 并延長(zhǎng)交 AD 于F.求證： AD 丄平面 CFG ;(2) 求平面 BCP 與平面 DCP 夾角的余弦值 .思維啟迪 (1)可利用判定定理證明線面垂直；(2)利用 AD、AP、AB 兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角求兩個(gè)平面 BCP 、DCP 夾角的余弦值 .標(biāo)準(zhǔn)解答(1)證明在厶 ABD 中，因?yàn)?E 為 BD 的中點(diǎn)，所以 EA= EB = ED =

22、AB= 1 ,n故/ BAD = 2，3n'/ ABE = / AEB =-因?yàn)?DAB也厶DCB，所以 EABECB ,n從而有 / FED = Z BEC = Z AEB =-,3所以 Z FED = Z FEA.2 分故 EF 丄 AD , AF = FD ,又因?yàn)镻G = GD，所以FG / FA.又 FA 丄平面 ABCD ,4 分所以 GF 丄 AD,故 AD 丄平面 CFG.6 分 解以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖的坐標(biāo)系nA那么 A(0,0,0) , B(1,0,0),CC號(hào)，于，0 ,D(0,3, 0), P 0, 0,2 ,故 BC 二扌冷,0, Cp = - 2,3

23、 電CD-i 22°設(shè)平面BCP的法向量為8分n i CP = 0 那么-n i BC = 0ni =(Xi, yi, Zi),令 yi = ,3,貝 v Xi = 3,乙=2, ni=(3, 3, 2)同理求得面DCP的法向量為n2= i, ,3, 2從而平面BCP與平面DCP夾角0的余弦值為,lnin2|4 衛(wèi)cos Fsg n2> = |ni|n2= 4x 2=9分10 分12 分利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量直線的方向向量、平面的法向量 坐標(biāo).第四步：計(jì)算向量的夾角 或函數(shù)值.第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角第六

24、步：反思回憶？查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題標(biāo)準(zhǔn)溫馨提醒1利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2) 此題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不標(biāo)準(zhǔn)否那么易錯(cuò).(3) 將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，思想方法？感悟提高方法與技巧1 .用向量來求空間角，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來計(jì)算 2 .求點(diǎn)到平面的距離，假設(shè)用向量知識(shí)，那么離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段失誤與防范1 .利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角.因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同2 .求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用等體積法求解可能更

25、方便練出高分A組專項(xiàng)根底訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1.正方體 ABCD AiBiCiDi如下圖，那么直線BiD和CDi所成的角為()A. 60 °B. 45 °C. 30 °D . 90 °答案D解析 以A為原點(diǎn)，AB、AD、AAi所在直線分別為x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為i,、選擇題那么射線CDi、BiD的方向向量分別是 CDi = (-Qi),BiD = ( i,i,i),COS CDi, BiD >i + 0 i2X- 3= 0?直線BiD和CDi所成的角為90SD丄底面ABCD，那么以下結(jié)論中不S()Jr .itJr js.

26、叫3廣jFA . AC 丄 SB2 .如圖，四棱錐 S ABCD的底面為正方形， 正確的選項(xiàng)是B . AB / 平面 SCDC . SA與平面SBD所成的角等于 SC與平面SBD所成的角D . AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案D 解析？?四邊形ABCD是正方形，？ AC丄BD.又? SD 丄底面 ABCD , ? SD 丄 AC.其中SDA BD = D, ? AC丄平面SDB，從而 AC丄SB.故A正確；易知 B正確；設(shè) AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO.那么SA與平面SBD所成的角為/ ASO, SC與平面SBD所成的角為/ CSO,又 0A= OC, SA= SC,.?./ AS

27、O= / CSO.故C正確；由排除法可知選 D.A. i2nnnB.nC.4D.6答案B解析如下圖：Sabc :i=2 x 3 X.n 3 “ 3 sin 3=493.(2021山東)三棱柱ABC AiBiCi的側(cè)棱與底面垂直，體積為 4底面是邊長(zhǎng)為.3的正三角形?假設(shè) P為底面 AiBiCi的中心，貝U PA與平面ABC所成角的大小為VABC AiBiCi = bc X OP = 3-43 X OP = 4, /. OP = _ 3.又 OA=2八X ,3X1= i, ta n/ OAP = OA = .3,/兀 /n又 0< / OAP<2 , OAP = 3.23在正方體 A

28、BCD AiBCiDi中，點(diǎn)E為BBi的中點(diǎn)，那么平面AiED與平面 ABCD夾角的2B.3C. 3答案以A為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為i,1Eft那么 Ai(0,0,i) , E i , 0, 2 , D(0,i,0),?-心=(0,i, i) , ATE= i, 0, 2 ,余弦值為設(shè)平面AiED的一個(gè)法向量為ni= (i, y, z),yz= 0 ,那么i|i 2z= 0 ,y= 2,z= 2.P ABCPA, PB, PC兩兩垂直，2中.ni= (1,2,2)/?平n2= (0,0,i),ABCD的一個(gè)法向量為.cos ni ,血=23.所以平面 AiED與平面A

29、BCD夾角的余弦值為23.在四面體設(shè)pa = PB= PC = a,那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為A?身B.fa C.3 D. 6a6.=(0,1,0),n= (0,1,1)，那么兩平面夾角的大小為 設(shè) AB = BC = AAi = 2,那么 Ci(2,0,2) , E(0,i,0) , F(0,0,i),那么 EF = (0,- i,i), BCi= (2,0,2),A11,y r£-X-fl f 1XiY /t1/L JL-AE7r zcf jrur/r1答案B解析 根據(jù)題意，可建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Pxy z ,貝UP(0,0,0) , A(a,O,O) , B(0 , a

30、,0) , C(0,0 , a).過點(diǎn)P作PH丄平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，貝U PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.PA = PB= PC, ? H ABC 的外心.又？? ABC為正三角形，？ H ABC的重心，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為(3 , 3, 3) ? PH -3 - 02+ a - 0 2 + 3 - 0 2 詔 a.?點(diǎn)P到平面ABC的距離為-Aa.二、填空題兩平面的法向量分別為答案n4m n 2n解析 COS m, n>=麗廠 T, ? < m, n>=；.?兩平面夾角的大小為7. 如下圖，在三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi丄底面 ABC, AB = BC

31、= AAi,/ ABC = 90。點(diǎn)E、F分別是棱 AB、BBi的中點(diǎn)，那么直線 EF和BCi所成的角是.答案60 °解析 以BC為x軸，BA為y軸，BBi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.?- EF BC i= 2,cos EF , BC1 >2 _ 1 -,2 X2*2 2,? EF和 BCi所成的角為60 °8. 正方體ABCD AiBCiDi的棱長(zhǎng)為1 , E、F分別為BBCD的中點(diǎn)，那么點(diǎn)F到平面AQiE35答案 iO解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AAi所在直線分別為 x軸、y軸、z軸建iZ/"乞°lz-G立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，EAM

32、小iiH 5那么 Ai(0,0,i)，E(i,0，2)，F(xiàn)(2, i,0), Di(0,i,i).? A?E_ (1,0, 2), A?Di_ (0,1,0).設(shè)平面AiDiE的一個(gè)法向量為n_ (x, y, z),1 x 2z_ 0,n ATE _ 0, 即 2一y_ 0.n AiDi_ 0,的距離為令z_.2，貝y x_.1.? .n_ (1,0,2)又心_.(2,1,1),那么?點(diǎn)F到平面AiDiE的距離為T 1_ 心 n I _ 2 2| _ d_In |_5 _10 .三、解答題9. 如圖，四棱錐 P ABCD中，PD丄平面 ABCD , PA與平面 ABD所成 的角為 60

33、6;,在四邊形 ABCD 中，/ ADC _/ DAB _ 90 ° AB _ 4, CD _ 1 , AD _ 2.(1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B, P的坐標(biāo)；(2) 求異面直線PA與BC所成的角的余弦值.解(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，?ADC? A(2,0,0)Z DAB _ 90 °AB_ 4, CD, AD _ 2,C(0,1,0) , B(2,4,0).由PD丄平面 ABCD，得/ FAD為PA與平面 ABCD所成的角， ?/ FAD= 60在 Rt FAD 中，由 AD = 2,得 PD = 2.3, ? P(0,0,2.3).> >?/ F

34、A = (2,0 , - 2 3), BC= (- 2,- 3,0),? cos PA, BC.1313，.1313 .2 X - 2 + OX - 3 + - 2A3 X 0?異面直線PA與BC所成的角的余弦值為4 .1310.棱(2021天津)如圖，四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，側(cè)棱 AiA丄底面ABCD , AB / DC , AB 丄 AD , AD = CD = 1 , AAi = AB= 2, E 為AAi的中點(diǎn).(1)證明：BiCi 丄 CE;(2)求二面角Bi - CE - Ci的正弦值; 設(shè)點(diǎn)M在線段CiE上，且直線AM與平面ADDiAi所成角的正弦值為Y,求線段

35、AM的長(zhǎng).方法一如圖，以點(diǎn) A為原點(diǎn)，以AD, AAi, AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得 A(0,0,0) , B(0,0,2) ,C(1,0,1),Bi(0,2,2), Ci(1,2,1), E(0,1,0).(1)證明 易得 B?Ci = (1,0, -1), CE= ( - 1,1, -1),于是 BiCiCE =0,所以BiCi丄CE.解 BiC = (1 , -2, -1).設(shè)平面BQE的法向量m= (x, y, z),m BiC= 0, 那么m CE = 0,x-2y-z= 0, 即-x+ y- z=消去x,得y+ 2z= 0，不妨令z= 1，可得一個(gè)法

36、向量為 m= (- 3，- 2,1).平面m BiCiBi Ci|m| |BiCi|于是cos m,從而sin m, B?Ci=亠尹CECi的一個(gè)法向量所以二面角Bi- CE- Ci的正弦值為亡尹解 AE=o,i,o, ECi =i,i,i，設(shè) Em = ?ECi=入入為,ow 莊 i,有 AM = AE + EM可取AB= 0,0,2 為平面 ADDiAi的一個(gè)法向量AM AB|sin 0= |cos AM , AB > |= |AM| |AB|-6，解得匚*負(fù)值舍去于是設(shè)B為直線AM與平面ADDiAi所成的角，那么所以AM = 2.方法二 (1)證明 因?yàn)閭?cè)棱CCi丄底面AiBCiD

37、i, BiCi平面AiBiCiDi，所以 CCi丄 BiCi.經(jīng)計(jì)算可得 BiE = .5, BiCi= .2, ECi=v3,從而 BiE2= BiCi+ ECi,所以在 BiECi中，BiCi丄CiE,又 CCi, CiE 平面 CCiE, CCiQ CiE = Ci,所以BiCi丄平面CCiE,又CE平面CCiE，故BiCi丄CE.解 過Bi作BiG丄CE于點(diǎn)G,連接CiG.由知，BiCi丄CE,故CE丄平面BiCiG，得CE丄CiG ,所以/ BiGCi為二面角Bi-CE Ci的平面角.'42在 Rt B1C1G 中,BiG = 3-所以 sin / BiGCi =-7即二面角

38、Bi CE Ci的正弦值為 亠號(hào).解 連接DiE,過點(diǎn)M作MH丄EDi于點(diǎn)H ,可得MH丄平面ADD iAi,連接AH , AM ,那么/ MAH為 直線AM與平面ADDiAi所成的角.設(shè)AM = x,從而在Rt AHM中，有在 Rt CiDiE 中，CiDi = i, EDi = , 2,得 EH = ,2MH = 3X.在厶 AEH 中，/ AEH = i35 ° AE = i,由 AH2 = AE2 + EH2 2AE EHcos i35 °得珞=i+9/+承 整理得5x2 2 2x 6 = 0，解得x = , 2 負(fù)值舍去 所以線段AM的長(zhǎng)為.2.B組專項(xiàng)能力提升時(shí)

39、間：30分鐘1.過正方形 ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA丄平面ABCD ,假設(shè)AB= PA,那么平面ABP與平面CDP的夾角大小為A. 30 °B. 45 °C. 60 °答案B解析 建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB= PA= 1,知 A(0,0,0) , B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), P(0,0,1)由題意得，AD丄平面ABP,設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE,貝U AE丄PD ,又？ CD 丄平面 PAD, ? AE丄 CD,又 PD A CD = D, ? AE 丄平面 CDP.D. 90? AD = (0,1,0) , AE = (

40、0, 2 , 2)分別是平面 ABP、平面CDP的法向量，而AD, AE= 45?平面ABP與平面 CDP的夾角大小為 45 °2 .在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCD AiBiCiDi中，0是底面ABCD的中點(diǎn)，E, F分別是CCi,AD的中點(diǎn)，那么異面直線 0E和FDi所成的角的余弦值等于 答案嚴(yán)5解析 以D為原點(diǎn)，分別以 DA、DC、DDi為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，F(xiàn)(1,°,O), Di(0,0,2),O(1,1,0) , E(0,2,1),FDi= ( 1,0,2),? cosFD i, OE >+ 2 =VT55 ? 3= 5OE =(1,1,1),3.設(shè)正方體 ABCD AiB iCiD i 的棱長(zhǎng)為 2，那么點(diǎn) Di 到平面 AiBD 的距離是 又？ FAQ AC= A, ? BD 丄平面 FAC.解 設(shè)平面ABD的法向量為 m= (0,0,1),平面PBD的法向量為 n = (x, y, z),DAi = (2,0,2), DB = (2,2,0),設(shè)平面 AiBD的一個(gè)法向量n = (x, y, z),n DAi= 2x+ 2z= 0 貝U S T n DB = 2x+ 2y= 0令 x= 1，貝 U n= (1, -1,- 1),?點(diǎn)D1到平面A1BD的距離為.IDAA1 n| 223d |n|.