知識(shí)點(diǎn)2平面力系

1、知識(shí)點(diǎn)2:平面力系一、平面匯交力系的合成與平衡的幾何法(i) 平面匯交力系的合成用力多邊形法那么，合力的大小和方向由力多邊形的封閉邊來(lái)表示，其作用線通過(guò)各力的匯交點(diǎn)，即合力等于力系中各力的矢量和，即Fr = F1F2Fn 八 F(2) 平面匯交力系的平衡平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是力多邊形自行封閉。即二、平面匯交力系的合成與平衡的解析法1 .力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦，如圖2-1所示，它是一標(biāo)量，即Fx 二 Feos"Fy 二 coGFsiTi(2-1 )x圖2-1圖2-22. 力沿坐標(biāo)軸的分解力沿坐標(biāo)軸的分力是一矢量，其

2、合力與分力之間應(yīng)滿足力的平行四邊形公理。如圖2-2所示。力沿坐標(biāo)軸分解的分力的大小為(2-2)F sin :sin( j -)由此可見(jiàn)，在一般情況下，力沿坐標(biāo)軸分解的分力的大小不等于力在坐標(biāo)軸上投 影的大小。圖2-33合力投影定理合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，即Rx八Fx ；(2-3)當(dāng)投影軸x與y垂直時(shí)，其合力的大小與方向?yàn)镕rfRx FRy，cos(FR,i)二學(xué)，cos(Fr, j4RxfRRy(2-4)4.平面匯交力系的合成當(dāng)兩坐標(biāo)軸間的夾角為一時(shí)有2(2-5)Fr 二FRxFRy 二.廠Fx)L廠Fy)2Z FxZ Fycos(Fr, i)，cos(FR,j廠F

3、 rF r5.平面匯交力系的平衡由幾何法知F r 7代入前面的代數(shù)表達(dá)式有Fr j FRxFRy = C Fx)2 - Fy)2' Fx =0 ；' Fy =0(2-6)平面匯交力系平衡的解析條件是力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的 代數(shù)和均等于零。應(yīng)用平面匯交力系的平衡方程可以求解兩個(gè)未知量。三、力矩的概念和計(jì)算1 力對(duì)點(diǎn)之矩(力矩)力對(duì)點(diǎn)之矩(簡(jiǎn)稱力矩)是力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，它在平面問(wèn)題 中是一代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力的作用線到矩心的垂直距離的乘積。 其正負(fù)規(guī)定為：假設(shè)力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正， 反之為負(fù)。如圖2-4所示, 力矩可表示為：圖2-

4、42 力矩的性質(zhì)(1) 力對(duì)任一點(diǎn)之矩，不會(huì)因該力沿作用線移動(dòng)而改變。(2) 力的作用線如通過(guò)矩心，那么力矩為零；反之，如果一個(gè)力其大小不為 零，而它對(duì)某點(diǎn)之矩為零，那么此力的作用線必通過(guò)此點(diǎn)。(3) 互成平衡的二力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。3 合力矩定理合力對(duì)某點(diǎn)O之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即nmo F 八 mo Fi(2-7)i 三、力偶的概念和性質(zhì)1 力偶的概念大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力稱為力偶，記作(F , F')。力偶中兩力作用線之間的距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可以用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的 代數(shù)

5、和來(lái)度量，即力偶矩。其表達(dá)式為M F ,F' ；= Fd 或 M 二 Fd2 力偶的性質(zhì)(1) 力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零。(2) 力偶不能合成為一個(gè)力，或者說(shuō)力偶沒(méi)有合力，即力偶不能與力等效， 也不能被一個(gè)力平衡。(3) 力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，即它可以而且也只能 改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng)或者改變力和力偶臂的大小，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。3. 平面力偶的等效定理作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶彼此等效的充要條件是這兩個(gè)力偶轉(zhuǎn)向相同 和力偶矩的大小也相同。4. 兩個(gè)推論推論1:力偶可以在其作用面內(nèi)

6、任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。推論2:在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力 和力偶臂的大小而不改變力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。五、平面力偶系作用在物體上同一平面內(nèi)的假設(shè)干力偶，總稱為平面力偶系。1. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成結(jié)果仍然為一力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩 的代數(shù)和。即nM =Mi M 2 M Mi(2-8)i2. 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即' M = 0( 2-9)利用上述平面力偶系的平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。六、平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化1. 力線平移定理作用在剛體上的力的作用線向剛

7、體上某點(diǎn)平移時(shí)，必須附加一力偶，該附加 力偶矩等于原力對(duì)該平移點(diǎn)之矩。2. 力系的主失和主矩根據(jù)力線平移定理，可將作用在剛體上的平面任意力系向力系所在的平面內(nèi) 任一點(diǎn)0(簡(jiǎn)化中心)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)作用在簡(jiǎn)化中心的平面共點(diǎn)力系和一平面 力偶系，進(jìn)而可以合成為一個(gè)力和一個(gè)力偶。 該力矢等于原力系的主矢，該力偶 矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。力系中各力的矢量和稱為力系的主矢，即nF R 八 F ii =1力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O的矩的代數(shù)和稱為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心 O的主矩。即nMo 八 Mo Fii =1在一般情況下，主矢不隨簡(jiǎn)化中心改變而變化，而主矩將隨簡(jiǎn)化中心的位置 改變而變化。3. 平面任意力系的簡(jiǎn)化

8、結(jié)果(1) FR =0，Mo =0。簡(jiǎn)化為一合力偶，此種情況下主矩與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。(2) F r=0，Mo =0。簡(jiǎn)化為一合力。(3) F r=0，M°=0。此種情況可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為第2種情況。(4) F r =0，Mo = 0。簡(jiǎn)化為一平衡力系，此種情況為平面任意力系的平 衡條件七、平面任意力系的平衡方程1平衡方程的根本形式、Fx =0,'、Fy =0,- Mo F =0(2-10)2 平衡方程的二力矩形式' Fx =0, ' Ma F =0，' Mb F =0(2-11)其中A、B兩點(diǎn)的連線不能與投影軸x垂直。3 平衡方程的三力矩形式Ma F =0,

9、 ' Mb F =0, ' Me F =0(2-12)其中a、b、e三點(diǎn)不能在同一直線上。八、平面平行力系假設(shè)各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行，這種力系稱為平面平行力系 假設(shè)各力作用線與y軸相平行，那么力系的平衡方程為二 Ma F = 0，二 Fy = 0(2-13)或'Ma F =0, ' Mb F =0(2-14)矩心A、B的連線不能與各力作用線平行。九、難題解析【例1】圖2-5 (a)所示正方形OABC，邊長(zhǎng)a = 2m受平面力系作用。: q =50N/m , F =400、.2N , M =150N m。試求力系合成的結(jié)果，并畫(huà)在圖上。(a)解：將力系

10、向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，先求力系的主矢Frx = F cos45 二 400(N)FRy = F cos45 -qa 二 300(N)Fr =500(N)圖2-5(FR,i)二 arccos(FRx Fr) =36 52a(FR, j) =arccos(FRy. Fr) =53 08求力系的主矩。對(duì)O點(diǎn)主矩為1M0 - -M -qa a - -250(N m)2可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力。合力的作用點(diǎn)至O點(diǎn)的距離d =M0/Fr =0.5(m),如圖2-5 (b)所示【例2】桿AB及其兩端滾子的整體重心在 G點(diǎn)，滾子擱置在傾斜的光滑剛性平面上，如圖2-6所示，給定皿，試求平衡時(shí)的九G水平(a)圖2-6解：此為三力匯交平衡問(wèn)題，受力圖如圖2-6 (b)所示。在 AOG中:AO = I sin ：, AOG = 90 -OAG = 90 - ：， AGO -由正弦定理有_I sin ：_3I sin I esin( v -) sin(90J' sin( v ) 3cosv3sin : cos J - sin vcos w 'cos jsin :即1 2t