第1講-函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第一講函數(shù)的圖象與性質(zhì)體驗(yàn)真題迴10琴向真題試做？1. (2022高考江西卷)函數(shù)y=-. xln(1 x)的定義域?yàn)?)A. (0, 1)B . 0, 1)C. (0, 1 D. 0, 1(0, +m)上單調(diào)遞減的是2. (2022高考北京卷)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間A. y= 1 B. y= e-xC.3.y = x2 + 1D . y= lg|x|x3(2022高考四川卷)函數(shù)y= 3T的圖象大致是()1匚PACD4. (2022高考湖南卷)f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f( 1) + g(1) = 2, f(1)+ g( 1)= 4,那么 g(1)等于()A . 4 B.

2、 3C. 2 D. 1考情分析？高考對函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，假設(shè)是解答題，多與導(dǎo)數(shù)結(jié)合命題，試題難度較大.對函數(shù)圖象性質(zhì)的考查多考查函數(shù)的定義域、函數(shù)的周 期性、奇偶性以及單調(diào)性的結(jié)合，而對圖象的考查，一是識(shí)圖；二是用圖，即利用圖象來解決問題.典例展示eg高考厠準(zhǔn)再君.踐扣協(xié)百祈毎亙起“ 80#歸用考點(diǎn)一函數(shù)及其表示(1) 給定函數(shù)解析式求定義域及值域；(2) 給出分段函數(shù)表達(dá)式結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求值，分段函數(shù)問題是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn).創(chuàng)匚(1)(2022高考安徽卷)函數(shù)y= ln(1 + g) + . 1 x2的定義域?yàn)?;(2)實(shí)數(shù)2x+ a，x<1，0，函

3、數(shù) f(x)=假設(shè) f(1 a) = f(1 + a)，貝V a 的值為x 2a，x> 1.【思路點(diǎn)撥】(1)列出函數(shù)有意義的限制條件，解不等式組.解題的關(guān)鍵是考慮f(1 a)和f(1 + a)需要代入解析式的哪一段，進(jìn)而需討論1 a和1+ a與1的大小關(guān)系，即a與0的大小關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a的方程求解.(1)根據(jù)具體函數(shù)y= f(x)求定義域時(shí)，只要構(gòu)建使解析式有意義的不等式 (組)求解即可.(2)根據(jù)抽象函數(shù)求定義域時(shí)： 假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍, b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式 a< g(x)< b 求出； 假設(shè)函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍, b，那么f(x

4、)的定義域?yàn)間(x)在x a, b時(shí)的值域.求f(g(x)類型的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原那么，而對于分段函數(shù)的求值問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.強(qiáng)化訓(xùn)練1(1)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算中，我們定義新運(yùn)算“如下：當(dāng) a>b時(shí)，a ® b=a;當(dāng) a<b 時(shí)，a ® b= b2.設(shè)函數(shù) f(x)= (1 ® x)x- (2® x), x 2, 2,那么函數(shù) f(x)的值域?yàn)?假設(shè)將例1(2)中“ f(1 a) = f(1 + a) 變?yōu)椤?f(1 a)> f(1 + a)，貝U a的取值范圍是考點(diǎn)二函數(shù)的圖象(1)函數(shù)的解析式判定

5、函數(shù)的圖象，(2)利用一些根本初等函數(shù)的圖象，通過伸縮變換、平移變換、對稱變換得到一些新的函數(shù)的圖象.(3)在解方程或不等式問題時(shí)，利用圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)或解集的范圍，是高考考查的熱點(diǎn)，常以選擇題形式考查，難度中檔.例(1)(2022高考湖南卷)函數(shù)f(x)= In x的圖象與函數(shù) g(x) = x2 4x + 4的圖象的交點(diǎn) 個(gè)數(shù)為()A. 0C. 2 D. 3(2)(2022東城模擬)如圖，半徑為 繞點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 PM，旋轉(zhuǎn)過程中, 的面積為S= f(x)，那么f(x)的圖象大致是(TT 2P0P,射線PK從PN出發(fā)PK交O O于點(diǎn)Q,設(shè)/ POQ為x，弓形PmQ )s5T 2 HDT

6、F 2 IT*B【思路點(diǎn)撥】(1)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，禾U用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)由于弓形PmQ的面積隨角x的變化而變化，且其形狀以x=n為分界，故應(yīng)分0< x< n和n<xW 2 n兩種情況求其解析式，然后再作圖.名削咸獨(dú) 作圖、識(shí)圖、用圖的方法技巧 作圖：應(yīng)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，注意在定義域內(nèi)選取關(guān)鍵的一局部點(diǎn)連接而成. 識(shí)圖：在觀察、分析圖象時(shí)，要注意到圖象的分布及變化趨勢，具有的性質(zhì)，找準(zhǔn)解 析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系. 用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究.但是，在利用圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)或解的個(gè)數(shù)時(shí)，作圖要十分準(zhǔn)確，否那么容易出錯(cuò)

7、.函數(shù)圖象的對稱性 假設(shè)函數(shù)對稱. 假設(shè)函數(shù)0)對稱.y= f(x)滿足 f(a+ x) = f(a x),即 f(x)= f(2a x),那么 f(x)的圖象關(guān)于直線 x= ay= f(x)滿足 f(a+ x) = - f(a x),即 f(x)= f(2a x),那么 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a.假設(shè)函數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練2a+ by= f(x)滿足f(a+ x) = f(b x)，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x=-對稱.(1)(2022高考江西卷)Il丄12,圓心在11上、如圖，(2)(2022高考湖北卷)定義在區(qū)間0, 2上的函數(shù)y= f(x)的圖象如下列圖，貝Uy= f(2x)的圖象為()t

8、= 0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A,圓O令 y = cos x,貝U y考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)(1) 給出具體函數(shù)，判定函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.(2) 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性求參數(shù)范圍及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等.何空；(1)(2022遼寧省大連市高三雙基測試)以下函數(shù)中，與函數(shù)y = 3x|的奇偶性相同，且在(一a, 0)上單調(diào)性也相同的是()1c,A y= x B - y= log2|x|C. y = 1 x2 D y= x3 1(2)(2022高考天津卷)函數(shù)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+ )上單調(diào) 遞增假設(shè)實(shí)數(shù) a滿足f(log2a) + f(log 1a) < 2f(1)，那么a的取值范圍是

9、()21A 1, 2 B. 0, 2C. 1, 2 D. (0, 2【思路點(diǎn)撥】 (1)先確定y= 3xi的奇偶性及單調(diào)性，再驗(yàn)證.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得出關(guān)于a的不等式求解.# "心(1)求解這類涉及函數(shù)性質(zhì)的題目時(shí)，既要充分利用題目的條件進(jìn)行直接的推理、判斷，又要合理地運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系，結(jié)合的結(jié)論進(jìn)行間接地判斷，假設(shè)能畫出圖象的簡單草圖，“看圖說話，往往起到引領(lǐng)思維方向的作用.(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律：對于選擇、填空題，假設(shè)能畫出圖象，一般用數(shù)形結(jié)合法；而對于由根本初等函數(shù)通過加、減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為根本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題；對于解析式為分式、指數(shù)

10、函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式、三角函數(shù)式等較復(fù)雜的用導(dǎo)數(shù)法；對于抽象函數(shù)一般用定義法.強(qiáng)化訓(xùn)練3(1)(2022高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+ 6) = f(x),當(dāng)3< x<1 時(shí)，f(x)= (x+ 2)2;當(dāng)一K XV 3 時(shí)，f(x) = x.那么 f(1) + f(2) + f(3) + + f(2 012)=()A . 335 B. 338C. 1 678 D . 2 012(2)(2022高考江蘇卷)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，f(x)= x2 4x,那么不 等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為.名師講壇(麗義;:推薦妊 M專:創(chuàng)新題

11、型妙解新定義型試題的解題技巧函數(shù)中的新定義問題“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂、是一個(gè)國家興旺興旺的不竭動(dòng)力；在這個(gè)充滿挑戰(zhàn)的年代里，創(chuàng)新也是機(jī)遇；做學(xué)生、迎高考，關(guān)注試題創(chuàng)新是應(yīng)該的也是必須的；君不見年年 高考有新題、歲歲選拔有新招也正是“新題、“新招才將考生分出了三、六、九等；在命題中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，從定義型、多樣型、 發(fā)散型、研究型、探索型、 開放型入手設(shè)計(jì)試題是近年命題創(chuàng)新的整體趨勢，因此必須引起我們的重視，但對于考生來說，有些題目存在一定難度，解決此類問題要依據(jù)題目所給條件或提供的信息，結(jié)合所學(xué)知識(shí)選擇適宜方法求解.(2022高考江西卷節(jié)選)函數(shù)f(x)

12、 = a 1 - 2 x2, a為常數(shù)且a>0.1(1)證明：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 2對稱；假設(shè)xo滿足f(f(xo) = X0,但f(xo)MX0,那么稱xo為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn).如果 f(x)有 兩個(gè)二階周期點(diǎn)X1, X2,試確定a的取值范圍.1 1 1(2)二階周期點(diǎn)的定義給出了兩個(gè)條件:2ax關(guān)鍵表示出f(f(x)，由于f(x)=2a 2ax(1)要證f(x)的圖象關(guān)于直線x = 2對稱，只需證明f(2 + x)= f(- x).是X0 滿足 f(f(X0) = X0；二是 f(X0)M X0,求解時(shí)1xw 2，再表示f(f(x)時(shí)，應(yīng)確定 2ax及2a 2ax

13、1X>2的范圍，從而對 a要分類討論.抓關(guān)鍵尋思路【解】1(1)證明：因?yàn)?f 2+ x = a(1 2|x|),1 1=a(1 2X1),有 f 2 + x = f 2 x ,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.1xw 2,14a2x,11x>2,當(dāng) 0<aq時(shí)，有 f(f(x)=4a2 1x，所以f(f(x) = x只有一個(gè)解x= 0.當(dāng) a =殳時(shí)，有 f(f(x)= X，1xw 2,1x>2,又f(0) = 0,故0不是二階周期點(diǎn).1 x,1所以f(f(x) = x有解集x x< 2 .1 1又當(dāng)x<綜上所述，所求a的取值范圍為a：跟蹤訓(xùn)練 (

14、2022成都市高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測)對于定義在區(qū)間 D上的函數(shù)f(x)，假設(shè)滿足對？ X1, X2 D且X1VX2時(shí)都有f(x1)> f(X2),那么稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的"非 增函數(shù).假設(shè)f(x)為區(qū)間0, 1上的“非增函數(shù)且 f(0) = 1, f(x) + f(1 x)= 1 ,又當(dāng)x 0 , 14時(shí)，f(x)w 2x+ 1恒成立有以下命題： ？ x 0 , 1, f(x)> 0; 當(dāng) X1, X2 0 , 1且 X1 V X2 時(shí)，f(X1 ) V f(X2)；時(shí)，f(x) = X,故x x< 2中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn).t1丄當(dāng)a>2時(shí)，

15、2 14a x, xw 4， 2a 4a1 1577 f(8+啊+弔+f(8)= 2 ； 當(dāng) x 0 , 4時(shí)，f(f(x) w f(x).其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為 .x,舟,14a 14a4a2 4a2x,所以f(f(x) = x有四個(gè)解:4a 10,2a1 + 4a22a1 + 2a4a21 + 4a2又 f(0) = 0,f竺=旦1 + 2a 1 + 2a_?a2a2 V, f21 + 4a1 + 4 a21 + 4a工4a21 + 4a2'故只有2a1 + 4a24 a21+ 4a2是f(x)的二階周期點(diǎn).2a 1 2a+ 4a2x, q<xwx> 0,1

16、x>0,體驗(yàn)真題把脈考向1. 【解析】選B.因?yàn)閥= .xln(1 x),所以解得Ow x<1.12. 【解析】選項(xiàng)，y= -是奇函數(shù)，故不正確；xB項(xiàng)，y= e x為非奇非偶函數(shù)，故不正確；C, D兩項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，且y= x2 + 1在(0，+ )上是減函數(shù)，y= lg|x|在(0，+ )上是增函數(shù)，應(yīng)選 C.x33. 【解析】選C.由3 2, x 2, 1強(qiáng)化訓(xùn)練1【解析】(1)由題意知f(x)= 3當(dāng)x 2, 1時(shí)，f(x) x 2, x匕1 , 24, 1 ； 當(dāng) x (1 , 2時(shí)，f(x) ( 1 , 6 ,當(dāng) x 2, 2時(shí)，f(x) 4, 6.(2)當(dāng)

17、a>0 時(shí)，由 f(1 a) > f(1 + a)得：3(2 2a)+ a?一1 a 2a，解得 a?一2所以 a>0 ;當(dāng) a<0 時(shí)，由 f(1 a)?f(1 + a)得：1 + a 2a?2+ 2a+ a,解得 aw ,43綜上可知a的取值范圍為(一a, 4 U(0,+ ). 1豐0得xm 0，函數(shù)的定義域?yàn)閤|xm 0，可排除選3 1項(xiàng)A ;當(dāng)x= 1時(shí),一11-13 3-=2>0，可排除選項(xiàng)B;當(dāng) x= 2 時(shí)，y= 1，當(dāng) x = 4 時(shí)，y=60,但從選項(xiàng)D的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，+ )上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項(xiàng)D.應(yīng)選C.4. 【

18、解析】選B. / f(x)是奇函數(shù), f( 1)= f(1). 又g(x)是偶函數(shù)，- g( 1) = g(1).f( 1)+ g(1) = 2,二 g(1) f(1) = 2 又 f(1) + g( 1) = 4 , f(1) + g(1) = 4 由，得g(1) = 3.典例展示解密高考【例1】【解析】(1)要使函數(shù)有意義，需1 + x>0，x+ 1>0即 Xx2w 1 ,1 x2?0,解得0<xw 1,x< 1 或 x>0, 即1W x< 1,所以定義域?yàn)?0, 1.(2)當(dāng) a<0 時(shí)，f(1 a) = f(1 + a)? (1 a) 2a=

19、2(1 + a)+ a? a = 433當(dāng) a>0 時(shí)，f(1 a) = f(1 + a)? 2(1 a)+ a= (1 + a) 2a? a= ?(舍去)，所以 a= 4.3【答案】(1)(0 , 1(2) 3f(x) = In x 與 g(x)= (x 2)2【例2】【解析】g(x)= x2 4x+ 4= (x 2尸的圖象(如圖).由圖可得兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).(2)依題意得，當(dāng) 0W x<n 時(shí)，f(x)= 2x 2sin x;當(dāng) n <x< 2n 時(shí)，f(x)= 2x+ 2sin(2 n x)= 2x 2sin x.故f(x) = 2x 2sin x, 0W

20、 x<2 n .該函數(shù)不是分段的，可以排除選項(xiàng) A、B;nn再根據(jù)函數(shù)f(x)在x = "2時(shí)，f(x)=n 2<?，排除選項(xiàng) C.【答案】C (2)D強(qiáng)化訓(xùn)練2【解析】 選B.法一：取特值x= 0時(shí)t= 0，貝U y= 1,排除A , D，取x =-2時(shí)，t= 1 2心，應(yīng)選B.法二：依題意可知 co= 1 t,貝U y= cos x= Zcos% 1 = 2(1 t)2 1(0< t w 1),應(yīng)選 B.選B.y = f(x)和y= f(2 x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱，因此y= f(2 x)是A圖，而y = f(2 x)和y = f(2 x)的圖象關(guān)于x軸

21、對稱，因此，應(yīng)選 B.【例3】【解析】(1)函數(shù)y= 3|x|為偶函數(shù)，在(汽 0)上為增函數(shù)，選項(xiàng)B是偶函數(shù)但單調(diào)性不符合，只有選項(xiàng)C符合要求.(2) / f(loga) = f( log2a) = f(log2a)，.原不等式可化為 f(log2a)wf(1).又t f(x)在區(qū)間0， 2+ m )上單調(diào)遞增， 0W log2a< 1，即 1W a<2. t f(x)是偶函數(shù)，二 f(log2a)< f( 1).又 f(x)1 1 在區(qū)間(°°， 0上單調(diào)遞減， 1 w log2aw 0， w aw 1.綜上可知w aw 2.【答案】(1)C(2)C強(qiáng)

22、化訓(xùn)練 3【解析】(1) t f(x+ 6)= f(x)，. T = 6.t 當(dāng)一3w x< 1 時(shí)，f(x) = (x+ 2)2;當(dāng)一1W x<3 時(shí)，f(x)= x， f(1) = 1, f(2) = 2，f(3) = f( 3) = 1, f(4) = f( 2) = 0, f(5)= f( 1) = 1，f(6) = f(0) =0, f(1) + f(2) + f(6) = 1, f(1) + f(2) + f(6) = f(7) + f(8) + + f(12)=f(2 005) + f(2 006) + + f(2 010) = 1 , f(1) + f(2) + f(2 010) = 1X 2022 = 335.6而 f(2 011