第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題答案初中一年級組第

1、第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題參考答案(初中一年級組)一、填空題(每題10分，共80分)題號12345678答案670405921742944403解答以下各題(每題10分，共40分,要求寫出簡要過程)9. 是否存在長方體，其十二條棱的長度之和、體積、外表積的數(shù)值均相等？如 果存在，請給出一個例子；如果不存在，請說明理由 答案：否解答：假設(shè)存在長a、寬b、高c的長方體滿足：abc = ：(ab be ca)二(a b c).于是abc(a b c)二(ab bc ca) =這樣a bc ab c abc- = a b - b e - c- >(a bc ab c abc),即

2、a bc ab c abc a b " b b ca =:一.又 a>0, bnO, caO,于是 a2b2+b2c2+c2a2+a2bc+ab2c+abc2 >0 矛盾!10. 如圖，正方形ABDF的邊長為6厘米，ZEBC的 面積為6平方厘米，點(diǎn)C在線段FD的延長線上，點(diǎn) E為線段BD和線段AC的交點(diǎn).求線段DC的長度. 答案:3厘米解答：連接線段FE.設(shè)線段DC的長度為x,線段DE的長度為y.由ZEBC的面積為6平方厘米和正 方形ABDF的邊長為6厘米,得xy =6x -12 .又ZEDF的面積為3y, ECD的面積為xy ,而SCF的面積為3(6+x).另外ACF的

3、面積=AEDF的面積+ AECD的面積+ EFA的面積3(6+x)= 3y+ xy+18.解由聯(lián)立的方程組得x = 3, y = 2.所以DC的長度為3厘米.班D)11. 如右圖，先將一個菱形紙片沿對角線 AC折疊, 使頂點(diǎn)B和D重合.再沿過A, B (D)和C其中 一點(diǎn)的直線剪開折疊后的紙片，然后將紙片展 開.這些紙片中菱形最多有幾個？請說明理由.答案：0解答：菱形紙片沿對角線折疊后是等腰三角形，如圖，ABC中，AB=BC.假設(shè)過頂點(diǎn)A或C剪開，沿AE剪開，展開后會得到兩個三角形 和一個四邊形.如果展開后的四邊形是菱形，需要滿足 AE=CE.顯然.CAE CAB ,而.CAB ,故.CAE

4、： C , 所以AE EC,因此這個四邊形紙片不是菱形.(或：假設(shè)四邊形紙片為菱形，那么點(diǎn)E在AC的垂直平分線上.由點(diǎn)B 在AC的垂直平分線上，故BE丄AC,即BC丄AC,這是不可能的！所以這個四邊形紙片不是菱形.)假設(shè)過頂點(diǎn)B剪開，如圖，沿BF剪開，展開后 會得到兩個四邊形.在CBF中， CBFA, 而.C A,故.A ： BFA ,所以 AB BF , 因此這個四邊形紙片不是菱形 .同理，另一個紙片也不是菱形.綜上，這些紙片中沒有菱形.12. 證明：任意"個整數(shù)中，至少有兩個整數(shù)的平方差是的倍數(shù).證明：整數(shù)被7除的余數(shù)可以分為余0,余±,余吃，余出四類根據(jù)抽屜原理，這、

5、個整數(shù)中一定有兩個屬于同一類，不妨設(shè)這兩個數(shù)是a=7m+r, b=?n+l,其中 r=0, ±, ± ±l=±r.當(dāng)丨=r 時,a -= m - n m ：； ；：'n 二r是 的倍數(shù)；當(dāng)丨-r 時，a 二 - b 二=m - n ：r m n也是 的倍數(shù)三、解答以下各題每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程13. 直線a平行于直線b, a上有丄個點(diǎn)A-, A<, A,-, b上有二個點(diǎn)B,B?, B-,用線段連接A和Bj i= :/，工，j=l,，二，所得到的圖形中一條邊在a上 或者在b上的三角形有多少個？答案:5995解答：其中一條邊在

6、a上或者b上的三角形分兩種情況.情況1:三角形的三個頂點(diǎn)都在a或者b上，這樣的圖形與三個點(diǎn)有關(guān)，兩 個點(diǎn)在a上，一個點(diǎn)在b上，或者兩個點(diǎn)在b上,一個點(diǎn)在a上.這樣的三角形有匯10匯101債11 + 11"1漢111；<10 =495 + 550 = 104512丿12丿情況2:三角形中有兩個頂點(diǎn)在a, b上,另一頂點(diǎn)是這些線段ABj i=l, 丄，j=-/，二的交點(diǎn),這樣的三角形與四個點(diǎn)有關(guān),其中兩個點(diǎn)在a上, 兩個在b上.每組這樣的四個點(diǎn)決定2個三角形滿足一條邊在a或者b上.這樣的 4個一組共有 丄10 10 -1- 11 11一1；丄45 55 = 2475組,12八2丿因

7、此所得圖形中有2475 2 =4950個三角形滿足兩個頂點(diǎn)在a或者b上.綜合上面兩種情況共用4950 104 5995.14. 關(guān)于x, y的方程x=-y一門二-k有且只有六組正整數(shù)解,且x 一 y,求k的最大值.答案：1777解答：由于x y-】二x yx- y,那么當(dāng)x, y的整數(shù)解同為偶數(shù)或奇數(shù)時, x - y-是4的倍數(shù).這里要用到一個公式，記自然數(shù)m的質(zhì)因數(shù)分解為 m二mklmk2mks,其中 m , m , ms是m的質(zhì)因數(shù),次數(shù)分別為k , , ks,那么m的因子分解數(shù)目為匕 1仇 1 ks 1.記方程2021 - k = m , x2 - y2 = m ,由于方程的正整數(shù)解有

8、6組，那么m至少有12個因數(shù).當(dāng)m是奇數(shù)時，x2 - y2 = m總有正整數(shù)解.當(dāng)m是奇數(shù)且是平方數(shù)時，1x2- y2 = m的正整數(shù)解的個數(shù)是m的因數(shù)數(shù)目-1.否那么x2 - y2 = m的21正整數(shù)解的個數(shù)是 丄m的因數(shù)數(shù)目.2當(dāng)m是偶數(shù)時，根據(jù)前面的分析，m是4的倍數(shù)，記m = 4n.如果n是平方數(shù), x2- y2=m的正整數(shù)解的個數(shù)是-n的因數(shù)數(shù)目-1;否那么x2 - y2二m的21正整數(shù)解的個數(shù)是丄n的因數(shù)數(shù)目.2當(dāng)m是奇數(shù)時，如果m只有一個質(zhì)因數(shù)，那么次數(shù)為 11, m的最小值為311 .211 =2048 2021,不可能.如果m有兩個質(zhì)因數(shù)那么次數(shù)為1和5, m的 最小值為35 5 =243 5=1215 ;或者 2 和 3, m的最小值為 33 52 =27 25 =675.如果有3個質(zhì)因數(shù)，次數(shù)為1, 1和2, m的最小值為 32 5 7 =9 35 =315.此外沒有其它的情況.當(dāng)m是偶數(shù)時，如果n只有一個質(zhì)因數(shù)，那么次數(shù)為 11, m的最小值為22 211 212048 2021 ,不可能.如果n有兩個質(zhì)因數(shù)那么次數(shù)為1和5, m 的最小值為22 25