線性變換的定義

1、第七章線性變換1 線性變換的定義上一章我們看到，數(shù)域P上任意一個n維線性空間都與 Pn同構(gòu)，因之，有限維線性空間的同構(gòu)可以認為是完全清楚了?線性空間是某一類事物從量的方面的一個抽象?我們認識客觀事物，固然要弄清它們單個的和總體的性質(zhì)，但是更重要的是研究它們之間的各種各樣的聯(lián)系?在線性空間中，事物之間的聯(lián)系就反映為線性空間的映射?線性空間到自身的映射通常稱為的一個變換 ?這一章中要討論的線性變換就是最簡單的，同時也可以認為是最根本的一種變換，正如線性函數(shù)是最簡單的和最根本的函數(shù)一樣?線性變換是代數(shù)的一個主要研究對象? 下面如果不特別聲明，所考慮的都是某一固定的數(shù)域P 上的線性空間 ?定義 1 線

2、性空間 V 的一個變換 A 稱為線性變換，如果對于 V 中的任意的元素:- ，:和數(shù)域中任意數(shù) k ,都有A 二? : - =A 二-.-'Ak: 二 kA : 1以后我們一般用黑體答謝拉丁字A , B,代表V的變換，A ( k )或AC)代表元素在變換下的象 ?定義中等式( 1)所表示的性質(zhì)，有時也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法問題 1:線性變換與線性同構(gòu)有什么異同？下面我們來看幾個簡單的例子 ，它們說明線性變換這個概念是有豐富的內(nèi)容的?例 1平面上的向量構(gòu)成實數(shù)域上的二維線性空間?把平面圍繞坐標(biāo)原點按反時針方向旋轉(zhuǎn)二角，就是一個線性變換，我們用I 表示。如果平面上一個向量:在

3、直角坐標(biāo)系下 的坐標(biāo)是 (X, y)，那么象14 : ? 的坐標(biāo)，即旋轉(zhuǎn)-角之后的坐標(biāo)是 (x: y )按照公式7 &s 日一sin 9 Xx$) isinH cosH 人 y 丿變到它在 :- 上的內(nèi)映射的 變換也是來計算的 ?同樣地，空間中繞軸的旋轉(zhuǎn)也是一個線性變換 ?例 2設(shè)是幾何空間中一固定的非零向量，把每個向量一個線性變換，以 | 丨 表示它?用公式表示就是(嚇)這里()表示內(nèi)積 ?例 3線性空間 V 中的恒等變換或稱單位變換E , 即E (G) =G(GAV)以及零變換 0, 即0(口)=0(aAV)都是線性變換 ?例4設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，k是P中某個數(shù)，定義 V的變

4、換如下：一； k:,(八 V)不難證明，這是一個線性變換，稱為由數(shù)k決定的數(shù)乘變換，可用 k表示.顯然，當(dāng)k=1時，我們便得恒等變換，當(dāng)k=0 時，便得零變換 ?例5在線性空間Px或者Pxn中，求微商是一個線性變換 ？這個變換通常用D代表，即 K : 1 k2 : 2 | 丨 Ikr : r = 0 ,D(f (x) = f "(x)例6定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)組成實數(shù)域上一線性空間，以C (a,b)代表？在 這個空間中，變換x jfxr a ft dt 是一線性變換 ?例7在線性空間 V中，定義；a =ao, -aAV.其中a°是V中一個固定向量，試問否為線性變

5、換？解當(dāng) a0 - 0 時-:- ：z V. 那么有+ =0,二：=二 0,及 - +'- = - 0.z z - =2 0 c 芒' | ：' 因此當(dāng) a0 =0 時， a 不是線性變換。假設(shè) a0=0 那么有匚二 心' -； ；： =0.k;：二二k: =0.故當(dāng)：V =0時，b是線性變換此時 b為零變換。不難直接從定義推出線性變換的以下簡單性質(zhì)：1.設(shè)A是V的線性變換，那么 A 0=0,A - -AC.這是因為A0 = A0： =0A ： =0,A -： =A -1： = -1A： =-A：的線性例如2. 線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變?換句話說，如

6、果是仆 2 川，亠組合：-二壞 j k 2 2 川 * kr那么經(jīng)過線性變換 A之后，A:是A r, A 2| , A r 同樣的線性組合：A R = kiA % + k2AA2 +川 + krA dr 又如果:r,2川，r之間有一線性關(guān)系式kr- k2： 2 |1 kr： r = 0 那么它們的象之間也有同樣的關(guān)系kiA : i k2A : 2川 kA : J 二。以上兩點，根據(jù)定義不難驗證，由此即得3. 線性變換把線性性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。但應(yīng)該注意， 3 的逆是不對的，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組 零變換就是這樣。例8設(shè)1,2I ,S及-1, -2JH, -s是線性空間 V中兩組等價的向量組，又:二-L V，試證:二 r ,;2 ,|l f > s與-：Q ,二：2 , I 1 點：s ，也是兩個等價的向量組。證明 因為1, > 2I ,> s與川，氣可以互相線性表出。記:i =ki/-i ki2 JH kis'A =sx' kj1ji =1,2A|s 那么由線性變換性質(zhì) 可知：s二：J =ki&ci ?艱壯遼？| 1kis； cs八 kj； C j i =1,2,川，s j 二上式說明了向量組二J, ； : ? 2 ,|1 , 二> s可由向