北師大版數(shù)學(xué)[中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換--知識點整理及重點題型梳理](基礎(chǔ))

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點突破知識點梳理及重點題型穩(wěn)固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換-知識講解(根底)【考綱要求】1 .通過具體實例熟悉軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn),探索它們的根本性質(zhì)；2 .能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形,能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3 .探索根本圖形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓)的軸對稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì)4 .探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)5 .利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設(shè)計；熟悉和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.【知識網(wǎng)絡(luò)】圖形變換,T翻折：1二1中央對應(yīng)直對應(yīng)線段對應(yīng)用中央財

2、斗fpw口對稱圖形軸對稱A軸豺林圖形2J【考點梳理】考點一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi),將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移,平移不改變圖形的形狀和大小.【要點詮釋】(1)平移是運動的一種形式,是圖形變換的一種,本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；(2)圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向,二是圖形平移的距離,這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；(3)圖形的平移是指圖形整體的平移,經(jīng)過平移后的圖形,與原圖形相比,只改變了位置,而不改變圖形的大小,這個特征是得出圖形平移的根本性質(zhì)的依據(jù).2.平移的根本性質(zhì)：由平移的概念知,經(jīng)過平移,圖形上的每一個點都沿同一個方向移動

3、相同的距離,平移不改變圖形的形狀和大小,因此平移具有以下性質(zhì)：經(jīng)過平移,對應(yīng)點所連的線段平行且相等,對應(yīng)角相等.【要點詮釋】(1)要注意正確找出“對應(yīng)線段,對應(yīng)角,從而正確表達根本性質(zhì)的特征;(2)“對應(yīng)點所連的線段平行且相等,這個根本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì),又可作為平移作圖的依據(jù).考點二、軸對稱變換1 .軸對稱與軸對稱圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱,也叫做這兩個圖形成軸對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的對應(yīng)點,叫做對稱點軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊,直線兩旁的局部能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖

4、形.2 .軸對稱變換的性質(zhì)關(guān)于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱,對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線兩個圖形關(guān)于某直線對稱,如果它們對應(yīng)線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分,那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱3 .軸對稱作圖步驟找出圖形的關(guān)鍵點,過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線,并延長至2倍,得到各點的對稱點.按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形考點三、旋轉(zhuǎn)變換1 .旋轉(zhuǎn)概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中央,轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.2 .旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)圖形通過旋轉(zhuǎn),圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中央沿相同的方向旋

5、轉(zhuǎn)了同樣大小的角度,任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中央的連線都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中央的距離相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等,旋轉(zhuǎn)過程中,圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.3 .旋轉(zhuǎn)作圖步驟分析題目要求,找出旋轉(zhuǎn)中央,確定旋轉(zhuǎn)角分析所作圖形,找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點.沿一定的方向,按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中央所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點.按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點.4 .中央對稱與中央對稱圖形中央對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180.,它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中央對稱,這個點叫做對稱中央,這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中央對稱的對稱點.中央對稱圖形：把一

6、個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180.,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形就叫中央對稱圖形.5 .中央對稱作圖步驟連結(jié)決定圖形的形狀、大小的各關(guān)鍵點與對稱中央,并且延長至2倍,得到各點的對稱點按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形【要點詮釋】圖形變換與圖案設(shè)計的根本步驟確定圖案的設(shè)計主題及要求；分析設(shè)計圖案所給定的根本圖案；利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對根本圖案進行變換,實現(xiàn)由根本圖案到各局部圖案的有機組合；對圖案進行修飾,完成圖案【典型例題】類型一、平移變換1.如圖1,兩個等邊ABDCBD的邊長均為1,將ABWAC方向向右平移到A'B'D'的位置,得到圖2,那么

7、陰影局部的周長為.【思路點撥】根據(jù)兩個等邊ABDCBD勺邊長均為1,將ABD沿AC方向向右平移到AB'D'的位置,得出線段之間的相等關(guān)系,進而得出OM+MN+NR+GR+EG+OEDA+CD=1+1=2即可得出答案.【答案與解析】.兩個等邊ABDCBD勺邊長均為1,將4ABDgAC方向向右平移到A'B'D'的位置,.A'M=AN=MNMO=DM=DOOD=D'E=OEEG=EC=GCB'G=RG=RB,OM+MN+NR+GR+EG+OEBA+CD=1+1=2【總結(jié)升華】此題主要考查了平移的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)題意得出A&

8、#39;M=AN=MNMO=DM=DOOD=D'E=OEEG=EC=GCB'G=RG=RB是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】(2021?順義區(qū)一模)如圖,平行四邊形ABCD,點E是AD邊上一點,且CELBD于點F,將DEC沿從D到A的方向平移,使點D與點A重合,點E平移后的點記為G.(1)畫出DEC平移后的三角形；(2)假設(shè)BC=2/,BD=6CE=3,求AG的長.BC【答案】解：(1)4AGB為4DEC平移后的三角形,如以下圖所示;(2).AGB為DEC平移后的三角形,BG=CE=3BG/CE.CELBDBGLBD在RtBDG中,./GBD=90,BG=3BD=6DG而西幣

9、=4,四邊形ABC比平行四邊形,AD=BC=2=,.AG=DGAD=3/-2點=乖.©、工、小2.如圖(1),AABC的面積為3,且AB=AC,現(xiàn)將&ABC沿CA萬向平移CA長度得到AEFA.(1)求AABC所掃過的圖形面積；(2)試判斷,AF與BE的位置關(guān)系,并說明理由；(3)假設(shè)/BEC=15：求AC的長.【思路點撥】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可得到&ef/=Saba=Saabc,從而便可得到四邊形CEFB的面積；(2)由可證得平行四邊形EFBA為菱形,根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關(guān)系為垂直；(3)作BD±AC于D,結(jié)合

10、三角形的面積求解.【答案與解析】(1)由平移的性質(zhì)得AF/BC,且AF=BCEF/AABC四邊形AFBC為平行四邊形Saefa=Sabaf=Saab(=3四邊形EFBC的面積為9;(2)BEXAF證實：由(1)知四邊形AFBC為平行四邊形BF/AC且BF=AC又AE=CABF/AE且BF=AE四邊形EFBA為平行四邊形又AB=ACAB=AE,平行四邊形EFBA為菱形B.AF;(3)如上圖,作BDLAC于D ./BEC=15,AE=AB /EBA土BEC=15/BAC=2/BEC=30 在RtBAD中,AB=2BDRtAABC中,/C=90,ACAB,2SC圖圖囹設(shè)BD=x,貝UAC=AB=2x

11、【思路點撥】1RtABC中,根據(jù)sinB一空,即可證實/B=30.；AB22求出/FA'D的度數(shù),利用翻折變換的性質(zhì)可求出/ADG的度數(shù),在RtAA'FD中求出A'F,得出A'E,在RtAA'EG中可求出A'G,利用翻折變換的性質(zhì)可得出AG的長度.3先判斷出ADAC得出/ACD=30,/DAC=60,從而求出AD的長度,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得出/DAF4FAO=30,在RtADF中求出DF,繼而得出FO,同理可求出EQ再由EF=EO+FO即可得出答案.【答案與解析】(1)證實：RtABC中,/C=90,sinB=A,AB2/B=30°(

12、2)解：二.正方形邊長為2,E、F為ABCD的中點,EA=FD1X邊長=1,2沿過點D的抓痕將紙片翻折,使點A落在EF上的點A'處,.A'D=AD=2-FD=1VD工/FA'D=30,可得/FDA=90°-30°=60°,.A沿G所疊落在A'處, ./ADG=A'DGAG=AG,./a3-606.152.A'D=2FD=1, 乙ADG=15,AfTD2-FM=遮, .EA=EF-A'F=2-加, ./EA'G+/DAF=180°/GAD=90,/EA'G=90/DAF=90°

13、;30°=60°,/EGA=90°-/EA'G=90-60°=30°,那么A'G=AG=2EA=2(2一娟)；(3)解：二.折疊后B、D兩點恰好重合于一點O,.AO=AD=CB=CO .DA其,2 /D=90,/DCA=30, .AB=CD=6,._,ad在RtACD中,=tan30,DC貝UAD=DC?tan30=6X邑的,3/1/90"-ZDCA=30°,/DAF至FAO=iZDAO=-2=tan30°=,AD3,DF=7AD=23DF=FO=2同理EO=2EF=EO+FO=4【總結(jié)升華】此題考

14、查了翻折變換的知識,涉及了含30.角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),綜合考察的知識點較多,注意將所學(xué)知識融會貫穿.舉一反三：【變式】(2021松北區(qū)模擬)如圖(1)是四邊形紙片ABCD其中/B=120°,/D=50°.假設(shè)將其右下角向內(nèi)這出PCR恰使CP/AB,RC/AD,如圖(2)所示,那么/C=度.【答案】/CPR=1ZB=1X120°=60°,/CRP=1/D=1X50°=25°,2222./C=180°-60°25°=95°.4.如圖1,矩形紙片ABCM邊長分別為a,b(a<

15、b).將紙片任意翻折(如圖2),折痕為PQ(P在BC上),使頂點C落在四邊形APCErt一點C',PC的延長線交直線AD于M再將紙片的另一局部翻折,使A落在直線PM±點A',且A'M所在直線與PM所在直線重合(如圖3),折痕為MN(1)猜測兩折痕PQMN間的位置關(guān)系,并加以證實.(2)假設(shè)/QPCW角度在每次翻折的過程中保持不變,那么每次翻折后,兩折痕PQ?MN間的距離有何變化？請說明理由.(3)假設(shè)/QPC勺角度在每次翻折的過程中都為45°(如圖4),每次翻折后,非重疊局部的四邊形MCQD及四邊形BPAN的周長與a,b有何關(guān)系,為什么？(1) (2

16、)(3)(4)【思路點撥】(1)猜測兩直線平行,由矩形的對邊平行,得到一組內(nèi)錯角相等,翻折前后對應(yīng)角相等,那么可得到PQ與MN被MP所截得的內(nèi)錯角相等,得到平行.(2)作出兩直線間的距離PM長相等,/NPM是不變的,所以利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得到兩直線間的距離不變.(3)由特殊角得到所求四邊形的形狀,把與周長相關(guān)的邊轉(zhuǎn)移到同一線段求解.【答案與解析】(1) PQ/MN.四邊形ABCD矩形,.二AD/BC且M在AD直線上,那么有AM/BC./AMPWMPC1由翻折可得：/MPQ=CPQe/MPC2/NMP=AMN=1ZAMP2/MPQ=NMP故PQ/MN(2)兩折痕PQMN間的距離不變.過P作PF

17、UMN貝UPH=PMsin/PMH.一/QPC勺角度不變, ./C'PC的角度也不變,那么所有的PMB是平行的.又AD/BC, .所有的PM都是相等的.又PMHWQPC故PH的長不變.(3)當(dāng)/QPC=45時,四邊形PCQC是正方形,四邊形C'QDM1矩形. .CQ=CQCQ+QD=a矩形CQDM勺周長為2a.同理可得矩形BPAN的周長為2a,.兩個四邊形的周長都為2a,與b無關(guān).【總結(jié)升華】翻折前后對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,應(yīng)注意使用相應(yīng)的三角函數(shù),平行線的判斷,特殊四邊形的判定.類型三、旋轉(zhuǎn)變換.-5.O是等邊三角形ABCrt一點,/AO9110,/BOC=135,試問：(1

18、)以O(shè)AOB08邊能否構(gòu)成一個三角形？假設(shè)能,求出該三角形各角的度數(shù)；假設(shè)不能,請說明理由；(2)如果/AOB勺大小保持不變,那么當(dāng)/BO%于多少度時,以O(shè)AOBOC為邊的三角形是一個直角三角形？【思路點撥】由于ABC是等邊三角形,所以可以運用旋轉(zhuǎn)將BCO轉(zhuǎn)至ACD.【答案與解析】(1)以O(shè)E邊作等邊OCD連AD.4ABC是等邊三角形/BCOhACD(ZBCO+ACO=60,/ACD+ZAGO=6O)BC=AC,OC=CDBCgACD(SAS)OB=AD/ADChBOC又OC=OD .OAD以線段OAOBOC為邊構(gòu)成的三角形 ZAOB=11O,/BOC=135ZAOC=115ZAOD=115-

19、60°=55° ZADC=135ZADO=135-60°=75°/OAD=180-55°-75°=50°50°、55、75 以線段OAOBOC為邊構(gòu)成的三角形的各角是(2)/AOB吆AOC它BOCWAOB廿AOC它ADC=/AOB+(/AOD+DOC)+(/ADO+CDO)=/110°+(/AOD+60)+(/ADO+60)=360°./AOD吆ADO=130/OAD=50當(dāng)/AOD直角日/AOD=90,ZAOC=90+60°=150°,/BOC=100;當(dāng)/ADO直角日/A

20、DC=90+60°=150°,/BOC=150.【總結(jié)升華】此題主要運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理等知識,滲透分類討論思想.6.如圖1,O為正方形ABCD勺中央,分別延長OA.而點F、E,使OF=20AOE=2OD連接EF.將EOF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)«角得到1OF(如圖2).(1)探究AE與BF1的數(shù)量關(guān)系,并給予證實；(2)當(dāng)支=30°時,求證：AOE1為直角三角形.【思路點撥】(1)要證AE=BF1,就要首先考慮它們是全等三角形的對應(yīng)邊;(2)要證4AOE為直角三角形,就要考慮證/E1AO=90°.【答案與解析】1AEi=

21、BFi,證實如下： ,0為正方形ABCD勺中央OA=OB=OD.,OE=OF. EiOF是EOF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到,OEi=OF. ZAOB=/EOF=90°,/EiOA=90°/FiOA=ZFiOB.O£=OF在EiO府口FiOB中,/E10A=ZFiOB,AEiO/AFiOBSASOA=OBAE=BFi.(2)取OE中點G,連接AG. /AOD=90°,ot=30°, /EiO上900ot=60°. .OE=2OA-OA=OG/EiOA=/AGO/OAG60°.AG=GE,./GAE=ZGEA=30°. ZEiAO=90°.AOE為直角三角形.【總結(jié)升華】正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)