蘭州大學(xué)2006年2007年數(shù)分考研試題及解答

1、蘭州大學(xué)2006年數(shù)學(xué)分析試題及解答.1.求limn2004n2005n.n；,：解：由2005<。2004n+2005n<2005呃,得limn,2004n2005n=2005.n.二12.求lim(cosxFin2xx_0i解：limcosxNx_0=xim0卜1cosx-11|sin2xcosx-1cosxcosx-1lim2x0sinx2x-2sin-21=lim二x>0.2x2x24sincos一221所以limcosxsin2xx.01p2pnp3.求limon二np1p=-1.解：lim.n-1P2Pnp1J=limnnkdk)p10Xpdx=.1”4.求級(jí)數(shù)工

2、Lx2n+的和函數(shù)和收斂區(qū)域.n力2n1n解：設(shè)un(x)=-x2n41,2n1顯然有l(wèi)imn:.Un十(x|Unx二x2QO于是當(dāng)xw(1,1)時(shí)，uun(x)收斂;n-p當(dāng)x>1時(shí)，Zun(x)發(fā)散.np-n二-1顯然£-一L收斂，n與2n1CO當(dāng)x=1,或者x=-1時(shí)，Zun(x)收斂,n=0故級(jí)數(shù)的收斂域是1-1,11；二nx2n1設(shè)f(x)=)1'f(pM'oOnfx八-1x2nn=p二.設(shè)f(x)在有限區(qū)間從而fx);=arctanx.(a,b)上連續(xù)，并且limf(x),limf(x)存在.x>a-x>b-證明：f(x)在(a,b)上一

3、致連續(xù).證明：記A=limfx,B=limfxxax>b-A,x=a作F(x)=，f(x),xe(a,b),、B,x=b由已知條件，得F(x比Ia,b】上連續(xù)，從而F(x)在b,b】上一致連續(xù)，更有F(x)在(a,b)上一致連續(xù),即f(x)在(a,b)上一致連續(xù).三.若f(x)在xp的鄰域(xp-6,xp+)上有定義，并且在x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在,證明：f(x)在xp處連續(xù).證明：由limfx-fx0=limx>Xo»-x_.Xo-fx-fx0x-xox-xofx-fx0limfx-fx0=limx、,x0x1,x0_x_x0x-%=f(%>0=0,知lim+f

4、(x)=f(x0)=limf(x),x_.x0'x>x0"即得f(x)在x0處連續(xù).四.計(jì)算曲線積分針?lè)较?x-VxVI二百-2dx+-2dy,其中L為沿橢圓Lxvxy22xF+J=1的逆時(shí)a2b2x-y一xy解：設(shè)Px,y=2，Qx,y=-2xyxy2222P-x-2xyy：Q-x-2xyy22yx2yxx2y-=0,x,y=0,0,xy22222xV取E>0充分小，使得x十yE名包含于7+FW1內(nèi),22ab由Green公式,知I-：PdxQdyL【PdxQdyx2y2=2:x-vdxxvdyy2-2Lixdxdy五.設(shè)2dxdyx2y2_22二2二2二.f(x

5、)在(0,1上連續(xù)，并且limf(x)=A,limf(x)=B,證明:r0-x.0-A,B,Ixn，0,1),使得gf14)=小證明：由題意supinffx=A一一B=infsupfx,00：x'j：,；0即對(duì)任意、：0,有inff(x盧巴wsupf(x),0:x：；.0：x.；:?.一1-特別取6=,(n=1,2，)有n八10TnZn使得fyn：:fZn我們構(gòu)造數(shù)列4如下:一1一1(1)f(yn)>或者f(4)<-*一,取xn=yn或Zn；1_1fyn且fzn_.一，11此時(shí)fyn_-：:-fznnn由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在xnJ(yn,4)或者(z一，yn),使得fx

6、n=.于是xn有性質(zhì):(1)xnw(0,1'且nimXn=0；limf(xn)=之.n；：n六.設(shè)f(x)是Rn上的連續(xù)函數(shù)，且滿足lim_f(x)=十出,其中x=(x1，xn),1/n豆x=£x2.證明：存在x0wRn,使得f(x0)=inff(x).證明：由題意，又每一正整數(shù)k,存在Aa0,使得當(dāng)x>Ak時(shí),有f(x)>k,而f(x)在有界I集以：岡wA1上連續(xù)，有最小值m1,于是f(x)在Rn上有下界，設(shè)m=inffx,x.Rn存在Ak>0,xAk時(shí)，f(x)km,所以m=fnf,f(x),xx魚由于f(x)在x:xWAk)上連續(xù),故存在x0wx:x&

7、#163;AkuRn,使得f(x0)=m=inff(x).x三Rn七設(shè)fi(x)wR【a,bL令fn書(x)=fn(t)dt,n=1,2,，證明：(fn(x)在Ia,b】上一致收斂于零.證明：由f1(x)wRa,b，知f1有界，存在M>0,使得|f1(xM,f2(xj|w1匕仕dtEM(x-a),由kn書(x卜qfn(t|dt,利用數(shù)學(xué)歸納法知fnxb：fn(t/dtt-dtn!nnx-ab-afn1x<M-M1n!n!nb-a又limML=0,n二n!從而fn(x)在【a,b上一致收斂于零.八.設(shè)f(t,x)在帶型區(qū)域(x,t):00<x<十30,t10<6上的

8、二元連續(xù)函數(shù)，并且關(guān)于x滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L使得對(duì)任意的t(t0-6,t0+6),x,yw(-R+g有|f(x,tf(y,t產(chǎn)L|x-y，dx=fx,t,證明：初值問(wèn)題ddt在區(qū)間t0-P,t0+P】上有唯一連續(xù)的解,xt0=x0,»-1其中0:二min,.證明：作【t0B,t0十B】上的函數(shù)列x0(t)=x,txnt=%fxns,sds,n=1,2,t0由f(x0,t)在作為t的函數(shù)在【t0P,t0+P】上連續(xù)，得f(x0,t)在t。-P,t0+P上有界,|f(x0”4M,x(t)%MIf(x0,s)dsMM|ttol,t0x2(t)xi(小!If(xi,s)-

9、f(x0,sjdst0twLx1(s)-x0dstOMLt-t0X3(t)-X2(tl<f(X2,s)-f(xi,s)|ds1t01t<Lx2-x1dst0ML2t-to3!ff(xn(s),s)-f(xn(x),sjdstoI«Lfxn(s廣xn/sjdsto1MLnt-ton1從而%書(t)一xn(t|W二MLnt-ton1!ML1Mn1!QO于是£品書代)4(t/在【to%to+P上一致收斂,n1oO£(xn(t)-xn(t)在koP,t0+P上一致收斂,n=1即有函數(shù)列%nt一致收斂，設(shè)limxn(t)=x(t),n則有x(t)在toB,to+

10、B】上連續(xù)，且f(xn(t),t)一致收斂于f(x(t),t),t在xn(txo+ff(xn(s),s)ds中，令nT8，取極限tot有xt=xofxs,sds,to故x(t)是初值問(wèn)題的解.蘭州大學(xué)2007年數(shù)學(xué)分析試題及解答11、x.1.求lim11、xx>01limex>0'ln1xxJ解：lim,x0+ln1：；x_xlimlim111:x_x0-2x二e一limI=exQ.21x=e-22.求limlnn_：222、n2n解：limlnn_：1_=lim£ln1+22n2、2>k)n_nkq12.=Jn1xdx=xln(1+x212x201x2dx

11、ji=ln2-2.23.求lix,yxisin1+ycos-xj1.1解：因?yàn)閤sin十P1ycos-xa,IP+Mt0,(x,yp(0,0),所以lim(x,y比,。0*axsin1+yPcos1、0.xJe2lnlnx4.求Jdx.,exlnx解:e*2lnlnxdx二exlnx-t1.一”.一一=2lnt1=2ln2.,25.求應(yīng)xydx-x-ydy,其中L為圓周x2+y2=a2的逆時(shí)針?lè)较?du二.討論級(jí)數(shù)V的斂散性，其中p>0,q>0.解：x=acosQ,y=asine,xydx-x-ydyN2二acossinasinacossinacos解：（i）當(dāng)p>1時(shí),由l

12、imn.二np(Inn)q及比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂,(2)當(dāng)p=1時(shí),x(lnx)q二1ln2Fdt,及積分判別法知，0<qm1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散,q>1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.(3)0<p<1,取rw(p,1),由limn.二np(lnnq1=limn.二,qlnnrr-PI-q-.x.Ixq=limq-=limT(lnx)tlnxIJ及比較判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.三.證明：2:二e：二3.x-一證明：由e的Taylor展式kx=zj口,kd0k!112=11二e=<11=3.yk!y2k四.設(shè)f(x,y內(nèi)于x,y均是一元連續(xù)函數(shù),(1)舉例說(shuō)明f(x,y)可以不是二元連續(xù)函

13、數(shù);(2)證明：當(dāng)f(x,y珠于x單調(diào)時(shí),f(x,y)是二元連續(xù)函數(shù).證明：(1)取f(x,y)=xy2,xy0,x,y=0,0x,y=0,0即有之；(2)任意(,丫0戶R2,由題意f(x,y0wx=x0處連續(xù),而有，V®>0,m3>0,使得|x一工3時(shí)，有|f(x,y。)-f(x0,y0，<3；由f(x0-3,y),f(x0+3,y)都在y=y0處連續(xù)，而對(duì)上述EA0,存在m62>0,使得y-y0W62時(shí)，有f(x0M,y)-f(x°-a,y°，<二,12f(xo+a,y)-f(xo+a,y。卜2；于是對(duì)一x,y乂-iXo.cyo-

14、zy。-T，若f(,y)遞增，則fx,y<fxo1,yfx。i,y。-2<f(%,yo)十名，fx,y-fxo-i,yfxo一yo-若f（,y）遞減，則f(x,y)之f(%+'y戶f(x0+a,y0)-f(x°,yo)一、,2fx,y三f%-yfxo-1,yo3fx0,yo；于是有|f(x,y)f(xo,yo卜名，故f(x,y近(x0,y0)處連續(xù).n=1,2,，試求limxn.n;-人Ixn1-xn五.令x1=a,x2=b,xn2=2解：由題意nXn1-x-1x<1-xkk1=a+(b-a)ZkJI2J、ka1-M1b-a一21-2a2blimxn1=ab

15、-a一二n.二33<2)ra2b即limxn=：3六.設(shè)f(X)是0,1上的連續(xù)函數(shù),0是f(x)在0,1上的唯一零點(diǎn)，并且f；(0)>0.1x試證明：dx收斂.0fx證明：由題設(shè)條件及連續(xù)函數(shù)的介值性，下列兩種情況有且僅有一種發(fā)生(1) fX0,-X三10,11;(2) fx:0,-X三10,1.fX又f+(0)>0,即lim4x>0x三limX。fx-fX00,從而36>0,XW(0,6時(shí),fX，A0,即f(x)>0,X1x從而dx只以0點(diǎn)為瑕點(diǎn).0fxx二limX)0fX再由limx011x及比較判別法知,Xdx收斂.0fX七.求I=JHzcos(X2

16、+y2JdXdydz,其中Q,=1x,y,zR3:z-0,x2y2解：Iiiizcosx2y2dxdydzQ1,22=zdz!cosxydxdy0x2-y2i1<212二.三2=0zdz00cosr1寸2dd)=2、0zdz0rcosrdr=JI12%zsin(1-z)dz=n(1-cos1»八.對(duì)xwR,記P(x)=mi_nx-n,其中Z是整數(shù)集.n試證明：（I）p（x）是R上周期為1的連續(xù)函數(shù);(2)二710nxf（x）=£是R上的連續(xù)函數(shù).皿10n證明:(1)證法一VXqRR,：3n亡Z,使得nwXo<n十1,a)當(dāng)%=門時(shí)，此時(shí)P(Xo)=0,%+1=n

17、+1,P(x0+1)=0=P(Xo),且當(dāng)11x0-2,x02,P(X)=X-Xo,從而limP(x)=limx-Xo=0=P(Xo),X.XoX.Xo1,b)當(dāng)nx一n2,此時(shí)，:x0)=x0-n,/1n1x0-n1-,：、1;X01-n1”"二：b.1c取、=minx0-n,nx00,2當(dāng)x乏(x0s,x0+6)時(shí)，p(x)=xn,而也有l(wèi)im：x=limx-n=x0-n=：；x0,XX0X.X01 、c)當(dāng)n+2M<n+1,此時(shí)p(%)=n+1x0,1n1x01n2,2：%1=n2-&1=n1-%：比，,.1,C取6=minx0-n-,n+1-Xo>0,2當(dāng)XW(X0&,X0十6)時(shí)，P(X)=n+1X,而也有l(wèi)im：x)尸limn1-xn1-x0=?x0,X.XoX_.Xo從而p是R上周期為1的連續(xù)函數(shù)，證法二因?yàn)镻(x+1)=min(x+1)n=minx-(n-1n2n=z=minx-k=P(x),kfe所以P(X)是以1為周期的周期函數(shù).由x-nwx-y+y-n,進(jìn)而min