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文檔簡介
1、第3講 因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例1上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1,在RtABC中,ACB90,AB13,CD/AB,點(diǎn)E為射線CD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F,BAE的平分線交BC于點(diǎn)G (1)當(dāng)CE3時(shí),求SCEFSCAF的值;(2)設(shè)CEx,AEy,當(dāng)CG2GB時(shí),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)AC5時(shí),聯(lián)結(jié)EG,若AEG為直角三角形,求BG的長 圖1思路點(diǎn)撥1第(1)題中的CEF和CAF是同高三角形,面積比等于底邊的比2第(2)題中的ABC是斜邊為定值的形狀不確定的直角三角形3第(3)題中的直角三角形AEG分兩種情況討論滿分解答(1)如圖2,由CE/AB,得
2、由于CEF與CAF是同高三角形,所以SCEFSCAF313(2)如圖3,延長AG交射線CD于M 圖2由CM/AB,得所以CM2AB26由CM/AB,得EMABAM 又因?yàn)锳M平分BAE,所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x圖3 圖4(3)在RtABC中, AB13,AC5,所以BC12如圖 4,當(dāng)AGE90時(shí),延長EG交AB于N,那么AGEAGN所以G是EN的中點(diǎn) 所以G是BC的中點(diǎn),BG6如圖5,當(dāng)AEG90時(shí),由CAFEGF,得由CE/AB,得所以又因?yàn)锳FGBFA,所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH,那么BHAH在RtGBH中,由cosB,得B
3、G圖5 圖6考點(diǎn)伸展第(3)題的第種情況,當(dāng)AEG90時(shí)的核心問題是說理GAGB如果用四點(diǎn)共圓,那么很容易如圖6,由A、C、E、G四點(diǎn)共圓,直接得到24上海版教材不學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓,比較麻煩一點(diǎn)的思路還有:如圖7,當(dāng)AEG90時(shí),設(shè)AG的中點(diǎn)為P,那么PC和PE分別是RtACG和RtAEG斜邊上的中線,所以PCPEPAPG所以122,325如圖8,在等腰PCE中,CPE1802(45),又因?yàn)镃PE180(13),所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB圖7 圖8例2 蘇州市中考第29題如圖1,二次函數(shù)ya(x22mx3m2)(其中a、m是常數(shù),且a0,m0)的圖像與x軸分別
4、交于A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上,CD/AB,聯(lián)結(jié)AD過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E,AB平分DAE(1)用含m的式子表示a; (2)求證:為定值;(3)設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F探索:在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)GF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可,并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo);如果不存在,請說明理由 圖1思路點(diǎn)撥1不算不知道,一算真奇妙通過二次函數(shù)解析式的變形,寫出點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)后,點(diǎn)D的坐標(biāo)也可以寫出來點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的2在計(jì)算的過程中,
5、第(1)題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到3注意到點(diǎn)E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)(5,3,4),因此過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的交點(diǎn),就是要求的點(diǎn)G滿分解答(1)將C(0,3)代入ya(x22mx3m2),得33am2因此(2)由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24,得A(m, 0),B(3m, 0),F(xiàn)(m, 4),對稱軸為直線xm所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, a(xm)(x3m)如圖2,過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線,垂足分別為D、E由于EAEDAD,所以因此所以am(x3m)1結(jié)合,于是得到x4m當(dāng)x4m時(shí),ya(xm)(
6、x3m)5am25所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4m, 5)所以圖2 圖3(3)如圖3,由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4),可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn),就是符合條件的點(diǎn)G證明如下:作FFx軸于F,那么因此所以線段GF、AD、AE的長圍成一個(gè)直角三角形此時(shí)GF4m所以GO3m,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3m, 0)考點(diǎn)伸展第(3)題中的點(diǎn)G的另一種情況,就是GF為直角三角形的斜邊此時(shí)因此所以此時(shí) 例3 山西省中考第26題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC,
7、點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0),過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí),直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,此時(shí),請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由;(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時(shí),是否存在點(diǎn)Q,使BDQ為直角三角形,若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由 圖1 思路點(diǎn)撥1第(2)題先用含m的式子表示線段MQ的長,再根據(jù)MQDC列方程2第(2)題要判斷四邊形CQBM的形狀,最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖,先得到結(jié)論3第(3)題BDQ為直角三角形
8、要分兩種情況求解,一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答(1)由,得A(2,0),B(8,0),C(0,4)(2)直線DB的解析式為由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0),可得,所以MQ當(dāng)MQDC8時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形解方程,得m4,或m0(舍去)此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),N(4,2),Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3(3)存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q,分別是(2,0),(6,4)考點(diǎn)伸展第(3)題可以這樣解:設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖3,當(dāng)DBQ90時(shí), 所以解得x6此時(shí)Q(6,4)如圖4,當(dāng)BDQ90時(shí), 所以解得x2此時(shí)
9、Q(2,0)圖3 圖4例4廣州市中考第24題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn),當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若直線l過點(diǎn)E(4, 0),M為直線l上的動點(diǎn),當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí),求直線l的解析式 圖1 思路點(diǎn)撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等,平行線間的距離處處相等,可以知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí),符合AMB90的點(diǎn)M有2個(gè);當(dāng)直線l與圓相切時(shí),符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡便滿分解答
10、(1)由,得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1(2)ACD與ACB有公共的底邊AC,當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí),點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D,在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G,與AC交于點(diǎn)H由BD/AC,得DBGCAO所以所以,點(diǎn)D的坐標(biāo)為因?yàn)锳C/BD,AGBG,所以HGDG而DHDH,所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖3(3)過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線,這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的,即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交,那么就有2個(gè)點(diǎn)M;如果圓與直線l相切,就只有1個(gè)點(diǎn)M
11、了聯(lián)結(jié)GM,那么GMl在RtEGM中,GM3,GE5,所以EM4在RtEM1A中,AE8,所以M1A6所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6),過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性,直線l還可以是考點(diǎn)伸展第(3)題中的直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C,因此可以過點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中,GM3,GE5,所以EM4在RtECO中,CO3,EO4,所以CE5因此三角形EGMECO,GEMCEO所以直線CM過點(diǎn)C例5 杭州市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(1,k)(1)當(dāng)k2時(shí),求反比例函數(shù)的解析式;(2)要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增
12、大,求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍;(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q,當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí),求k的值思路點(diǎn)撥1由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)可以知道,反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)還可以知道,A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱,以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,當(dāng)Q落在O上是,ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答(1)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A(1,k),所以反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時(shí),反比例函數(shù)的解析式是(2)在反比例函數(shù)中,如果y隨x增大而增大,那么k0當(dāng)k0時(shí),拋物線的開口向下,在對稱軸左側(cè),y
13、隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線 所以當(dāng)k0且時(shí),反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大(3)拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是,A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱,當(dāng)OQOAOB時(shí),ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2,得解得(如圖2),(如圖3)圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖4,已知經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線(k0)交于A、B和C、D,那么AB與CD互相平分,所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形?能否成為正方形?如圖5,當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對稱時(shí),AB與CD互相平分且相等,四邊形ABCD是矩形因?yàn)锳、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上,所以O(shè)
14、A與OC無法垂直,因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例6浙江省中考第23題設(shè)直線l1:yk1xb1與l2:yk2xb2,若l1l2,垂足為H,則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線(1)已知直線;和點(diǎn)C(0,2),則直線_和_是點(diǎn)C的直角線(填序號即可);(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P為線段OC上一點(diǎn),設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1,過A、P兩點(diǎn)的直線為l2,若l1與l2是點(diǎn)P的直角線,求直線l1與l2的解析式 圖1答案(1)直線和是點(diǎn)C的直角線(2)當(dāng)APB90時(shí),BCPPOA那么,即解得OP6或OP1如圖2,當(dāng)OP6時(shí),l1
15、:, l2:y2x6如圖3,當(dāng)OP1時(shí),l1:y3x1, l2:圖2 圖3例7 北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A,點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動,過點(diǎn)P作x軸的垂線,與直線OB交于點(diǎn)E,延長PE到點(diǎn)D,使得EDPE,以PD為斜邊,在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí),求OP的長;若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動,速度為每秒1個(gè)單位,同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動,速度為每秒2個(gè)單位(當(dāng)點(diǎn)Q
16、到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動,點(diǎn)P也停止運(yùn)動)過Q作x軸的垂線,與直線AB交于點(diǎn)F,延長QF到點(diǎn)M,使得FMQF,以QM為斜邊,在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動時(shí),點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動)若點(diǎn)P運(yùn)動到t秒時(shí),兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上,求此刻t的值圖1思路點(diǎn)撥1這個(gè)題目最大的障礙,莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來,用含有t的式子表示這些線段的長3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t),代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí),會產(chǎn)生新的等腰直角三角形,列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn),所以 解
17、得,(舍去)因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4)(2) 如圖4,設(shè)OP的長為t,那么PE2t,EC2t,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),解得如圖1,當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí),點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2,當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上,PQN是等腰直角三角形,PQPE此時(shí)解得如圖3,當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上,PQC是等腰直角三角形,PQPD此時(shí)解得 圖1 圖2 圖3考點(diǎn)伸展在本題情境下,如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切,求t的值如圖5,當(dāng)P、Q重合時(shí),兩圓內(nèi)切,如圖6,當(dāng)兩圓外切時(shí), 圖4 圖5 圖6例8 嘉興市中考第24題如圖1,
18、已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn),以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M,以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N,使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C,構(gòu)成ABC,設(shè)(1)求x的取值范圍;(2)若ABC為直角三角形,求x的值;(3)探究:ABC的最大面積? 圖1思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組,可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC,根據(jù)勾股定理列方程,根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題,轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論,分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況滿分解答(1)在ABC中,所以 解得(2)若AC為斜邊,則,即,此方程無實(shí)根若AB為斜邊,則,解得,滿足若BC為斜邊,則,
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