第3講 因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題

1、第3講 因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例1上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，ACB90，AB13，CD/AB，點(diǎn)E為射線CD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F，BAE的平分線交BC于點(diǎn)G （1）當(dāng)CE3時(shí)，求SCEFSCAF的值；（2）設(shè)CEx，AEy，當(dāng)CG2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AC5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG，若AEG為直角三角形，求BG的長 圖1思路點(diǎn)撥1第（1）題中的CEF和CAF是同高三角形，面積比等于底邊的比2第（2）題中的ABC是斜邊為定值的形狀不確定的直角三角形3第（3）題中的直角三角形AEG分兩種情況討論滿分解答（1）如圖2，由CE/AB，得

2、由于CEF與CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如圖3，延長AG交射線CD于M 圖2由CM/AB，得所以CM2AB26由CM/AB，得EMABAM 又因?yàn)锳M平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x圖3 圖4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如圖 4，當(dāng)AGE90時(shí)，延長EG交AB于N，那么AGEAGN所以G是EN的中點(diǎn) 所以G是BC的中點(diǎn)，BG6如圖5，當(dāng)AEG90時(shí)，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因?yàn)锳FGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得B

3、G圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題的第種情況，當(dāng)AEG90時(shí)的核心問題是說理GAGB如果用四點(diǎn)共圓，那么很容易如圖6，由A、C、E、G四點(diǎn)共圓，直接得到24上海版教材不學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，比較麻煩一點(diǎn)的思路還有：如圖7，當(dāng)AEG90時(shí)，設(shè)AG的中點(diǎn)為P，那么PC和PE分別是RtACG和RtAEG斜邊上的中線，所以PCPEPAPG所以122，325如圖8，在等腰PCE中，CPE1802(45)，又因?yàn)镃PE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB圖7 圖8例2 蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)ya(x22mx3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a0，m0）的圖像與x軸分別

4、交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD/AB，聯(lián)結(jié)AD過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a； （2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 圖1思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)后，點(diǎn)D的坐標(biāo)也可以寫出來點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的2在計(jì)算的過程中，

5、第（1）題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到3注意到點(diǎn)E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的交點(diǎn)，就是要求的點(diǎn)G滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(xiàn)(m, 4)，對稱軸為直線xm所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, a(xm)(x3m)如圖2，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1結(jié)合，于是得到x4m當(dāng)x4m時(shí)，ya(xm)(

6、x3m)5am25所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4m, 5)所以圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，就是符合條件的點(diǎn)G證明如下：作FFx軸于F，那么因此所以線段GF、AD、AE的長圍成一個(gè)直角三角形此時(shí)GF4m所以GO3m，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3m, 0)考點(diǎn)伸展第（3）題中的點(diǎn)G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊此時(shí)因此所以此時(shí) 例3 山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC，

7、點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 圖1 思路點(diǎn)撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論3第（3）題BDQ為直角三角形

8、要分兩種情況求解，一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，可得，所以MQ當(dāng)MQDC8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(2,0)，(6,4)考點(diǎn)伸展第（3）題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)DBQ90時(shí)， 所以解得x6此時(shí)Q(6,4)如圖4，當(dāng)BDQ90時(shí)， 所以解得x2此時(shí)

9、Q(2,0)圖3 圖4例4廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式 圖1 思路點(diǎn)撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M有2個(gè)；當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡便滿分解答

10、（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為因?yàn)锳C/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖3（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M

11、了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是考點(diǎn)伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C，因此可以過點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點(diǎn)C例5 杭州市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(1,k)（1）當(dāng)k2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增

12、大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值思路點(diǎn)撥1由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當(dāng)Q落在O上是，ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當(dāng)k0時(shí)，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y

13、隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線 所以當(dāng)k0且時(shí)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，當(dāng)OQOAOB時(shí)，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖4，已知經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因?yàn)锳、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)

14、A與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例6浙江省中考第23題設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線（1）已知直線；和點(diǎn)C(0，2)，則直線_和_是點(diǎn)C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過A、P兩點(diǎn)的直線為l2，若l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1答案（1）直線和是點(diǎn)C的直角線（2）當(dāng)APB90時(shí)，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當(dāng)OP6時(shí)，l1

15、：， l2：y2x6如圖3，當(dāng)OP1時(shí)，l1：y3x1， l2：圖2 圖3例7 北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長PE到點(diǎn)D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q

16、到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)P也停止運(yùn)動）過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長QF到點(diǎn)M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動）若點(diǎn)P運(yùn)動到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1思路點(diǎn)撥1這個(gè)題目最大的障礙，莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí)，會產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以 解

17、得，（舍去）因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時(shí)解得如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時(shí)解得 圖1 圖2 圖3考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當(dāng)P、Q重合時(shí)，兩圓內(nèi)切，如圖6，當(dāng)兩圓外切時(shí)， 圖4 圖5 圖6例8 嘉興市中考第24題如圖1，

18、已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？ 圖1思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，