線性代數(shù)概念、性質(zhì)、定理、公式整理

1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚,解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確A可逆r(A)nA勺列(行)向量線性無關(guān)AW特征值全不為0Ax只有零解x,AxRn,Ax總有唯一解ata是正定矩陣AEAP1P2PsPi是初等陣存在n階矩陣B,使得ABE或ABE：全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合Rn叫做n維向量空間A不可逆r(A)nA勺列(行)向量線性相關(guān)0的特征向量0是A勺特征值A(chǔ)x有非零解，其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于aEbAr(aEbA)(aEbA)x=-史bn有非零解向量組等價(jià)矩陣等價(jià)()矩陣相似(:)具有反身性、對稱性、傳遞性V關(guān)于0,金,en:稱為？n的標(biāo)準(zhǔn)基，？n中的自然基，單位坐標(biāo)向量P翡,87;ee,en線性無關(guān);t

2、rE=n;任意一個(gè)n維向量都可以用e1,e2,en線性表示同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）11L1X1X2LXn范德蒙德行列式：2X12X2L2XnXXjMMM1jnn1n1Ln1X1X2XnV行列式的計(jì)算:a11a12Lana21a22La2nMMMan1an2Lann行列式的定義Dn（1）（jjLjn）a%a2jan"Wjn行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零若A與B都是方陣（不必同階），則（1）mnAB（拉普拉斯展開式）上三角、下三角、主對角行列式

3、等于主對角線上元素的乘積anO關(guān)于副對角線：a2n1NNan1Oan1aina2n1n（n1）（1）a1na2nKan1（即：所有取自不同行不ana11a12矩陣的定義由mn個(gè)數(shù)排成的m行n列的表Aa21a22MMam1am2a2nMamn伴隨矩陣TAjA1A21LA2ALMMAnAnL,Aj為A中各個(gè)元素的代數(shù)余子式稱為mn矩陣.記作：AaH或AmnljmnV逆矩陣的求法1A1ab1dbAA：cdadbcca主L換位副L變號(AhE)初等行變換(EMAi)1alaia2a2V方陣的哥的性質(zhì):a3a3a3AmAn(Am)n(A)mnV設(shè)Amn，Bns，A的列向量為i.2,n,B的列向量為1,2

4、,則ABCmsblib2ibi2b22db2AxG的解示.即:同理:即:GG,L,CsCi，(i1,2,L,s)bnsAi,A2,AsCi,C2,LCi,C2,L,Cs可由1,2,n線性表C的列向量能由A的列向量線性表示,C的行向量能由B的行向量線性表示,anainB為系數(shù)矩陣At為系數(shù)矩陣an1a12ainCia21Ma22Ma2nMa2ia2nLC2V用對角矩陣用對角矩陣an2amnami1am2amn的對角線上的各元素依次乘此矩陣的初向量;的對角線上的各元素依次乘此矩陣的V兩個(gè)同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘V分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:分塊矩陣的逆矩陣:分塊對角陣相乘:AiA22a

5、tbtctdta1,B11AiCB1BiABAiBiiA1BiCAA22B22AniA；2分塊對角陣的伴隨矩陣:*BA(1)mnABV矩陣方程的解法（A0廣設(shè)法化成（I）AX(I)的解法：構(gòu)造（AMB）(II)*AB(1)mnBAB或(II)初等行變換（emx）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為AtXtXABBT,用（I）的方法求出XT,再轉(zhuǎn)置得X零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實(shí)向量正交單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān)部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).（向量個(gè)數(shù)變動(dòng)）（向量維數(shù)變動(dòng)）原向量組無關(guān)，接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān)，原向量組相關(guān).兩個(gè)向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比

6、例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)向量組n中任一向量i（1wiwn）都是此向量組的線性組合向量組n線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線性表示.向量組n線性無關(guān)向量組中每一個(gè)向量i都不能由其余n1個(gè)向量線性表示.m維列向量組1,2,n線性相關(guān)r(A)n；m維列向量組2,n線性無關(guān)r(A)n.n線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則可由2,n線性表示，且表示法唯一.矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元

7、所在列的其他元素都是0時(shí)，稱為行最簡形矩陣?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關(guān)系;矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩V矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對A施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣迷)乘A；對A施行一次初等包)變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A.A的秩為r.記作r(A)r便陣的秩|如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r1階子式均為零，則稱矩陣向量組的秩向量組2,L,n的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記彳r(2,L,n)佚巨陣等價(jià)A經(jīng)過有限次初等變換化為B.記作：A%B向量

8、組等價(jià)n可以相互線性表示.記作:1,2,1,2,n?矩陣A與B等價(jià)PAQB,P,Q可逆r(A)r(B),A,B為同型矩陣A,B作為向量組等價(jià)，即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)r(1,2,n)r(n)r(1,2,矩陣A與B等價(jià).?向量組1,2,s可由向量組n線性表示AXB有解r(n)=r(2,s)s)wr(?向量組1,2,s可由向量組n線性表示s線性相關(guān).向量組1,2,s線性無關(guān)，且可由1,2,n線性表示，則sW?向量組1,2,s可由向量組n線性表示，且r(s)r(1,2,n)，則兩向量組等價(jià);P教小94,例10?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等

9、價(jià)?向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等設(shè)A是mn矩陣，若r(A)m,A的行向量線性無關(guān);若r(A)n,A的列向量線性無關(guān)，即:n線性無關(guān).V矩陣的秩的性質(zhì):若AOr(A)>1若AOr(A)00&r(Amn)&min(m,n)r(A)r(AT)r(ATA)P教材101,例15r(kA)r(A)若k0若Amn，Bns，若r(AB)0r(A)r(B)nB的列向量全部是Ax0勺解r(AB)wminr(A),r(B)若A可逆若B可逆r(AB)r(B)r(AB)r(A)即：可逆矩陣不影響矩陣的秩若r(Amn)

10、nABOBOABACBCAx只有零解r(AB)r(B)A在矩陣乘法中有左消去律若r(Bns)nr(AB)r(B)B在矩陣乘法中有右消去律若r(A)rr(AB)wr(A)r(B)maxr(A),r(B)<r(A,B)<r(A)r(B)P教材70A與唯一的Er0等價(jià)，稱Er0為矩陣刖勺等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型O000r(A)r(B)r(A)r(B)可由1,2,l,n線性表示Ax有解r(A)r(AM)Ax有無窮多解當(dāng)期方陣時(shí)|a0表示法不唯一1,2,L,n線性相關(guān)AX0有非零解Ax有唯一組解當(dāng)好辦鐘A0表示法唯一1,2,L,線性無關(guān)Ax只有零解克萊姆法則不可由1,2,L,n線性表示Ax無解r(A)r(

11、AM)r(A)r(AM)r(A)1r(AM)教材72講義87有無窮多解,其導(dǎo)出組有非零解有唯一解l、其導(dǎo)出組只有零解線性方程組的矩陣式Ax向量式xi1x22Lxnn&1a12La>nXha21a22La2nx2b2A,x,MMMMMam1am2Lamnxbm1j2jM,j1,2,L,nmj.下載可編輯(1,2,L,n)xn矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(at)tA(AB)tbtat(kA)TkATatIA(AB)tAtBt(A1)T(AT)1(AT)(A)T矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1A_1_11(AB)1B1A1111(kA)1k1A1A1IA1_11_1(AB)1A1B1(A1)k(Ak)1

12、Ak伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)An2A(AB)bA(kA)kn1AAlIAn1*(AB)AB(A1)(A)1$(Ak)(A)kn若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1|abab|kAknA|Ak|IAkaBIAIBAAAA|AE（無條件恒成立）.下載可編輯2?HAx的解，12也是它的解是Ax1,2的解，對任意k,k也是它的解k是Ax的解，對任意k個(gè)常數(shù)齊次方程組k也是它的解線性方程組解的性質(zhì)：(4)(5)(6)是Ax1,2t1Ax2是Ax1,的解，是其導(dǎo)出組的兩個(gè)解，1的解，則k是AxAx的解，2是其導(dǎo)出組1也是它的解的解，則是AxAx的解2是其導(dǎo)出組的解Ax的解k也是Ax的解k是A

13、x0的解，設(shè)A為mn矩陣，若r(A)r(A)r(AM)Ax定有解,當(dāng)mn時(shí)，一定不是唯一解方程個(gè)數(shù)向量維數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)t人S，則該向量組線性相關(guān).向量個(gè)數(shù)m是r(A)和r(AM)的上限.V判斷1,2,L,是Ax的基礎(chǔ)解系的條件:s線性無關(guān);s都是Ax的解;snr(A)每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù)V一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.，若是Ax的一個(gè)解，1,L,s是Ax的一個(gè)解1,L,s,線性無關(guān)VAx與Bx同解(A,B列向量個(gè)數(shù)相同)，則： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.A，兩個(gè)齊次線性線性方程組Ax與Bx同解rr(A)r(

14、B).B，兩個(gè)非齊次線性方程組Ax與Bx都有解，并且同解rAMr(A)r(B).BM，矩陣Amn與B1n的行向量組等價(jià)齊次方程組Ax與Bx同解PAB(左乘可逆矩陣P);p教材101矩陣Amn與B1n的列向量組等價(jià)AQB(右乘可逆矩陣Q).V關(guān)于公共解的三中處理辦法： 把(I)與(II)聯(lián)立起來求解； 通過(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時(shí)，設(shè)1,2,3是(I)的基礎(chǔ)解系，4,5是(II)的基礎(chǔ)解系，則(I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示即：r(1,2,3)r(1,2,3Mc14c25)當(dāng)(I)與(II)都是非

15、齊次線性方程組時(shí)，設(shè)1011c22是(I)的通解，2C33是(II)的通解，兩方程組有公共解2C331可由1,2線性表示.即：r(1,2)r(1,2M2c331) 設(shè)(I)的通解已知，把該通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長度為1.n向量a1，a2,L,ant與4心上，bn丁的內(nèi)積(，)wbJOB_a2b2L贏i1與正交I(,)0.記為:n向量a1，a2,L,ant的長度|J(,)a2幅a2L/i1是單位向量III&,)1.即長度為1的向量.V內(nèi)積的性質(zhì)：正定性：(，)0,且(，)0

16、對稱性：(，)(，)雙線性：(,12)(,1)(,2)(c,)c(,)(,c)A的特征矩陣EA.A的特征多項(xiàng)式EA().V()是矩陣A的特征多項(xiàng)式(A)OA的特征方程EA0.n,A12Ln1Axx(x為非零列向量)trA,trA稱為矩陣A的圖.Ax與x線性相關(guān)V上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n各元素.，若A0,則0為A的特征值，且Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量4a22Vr(A)1A一定可分解為A=b,b2,L,bn、A6a2b2Lanbn)A,從而A的特征值為:Man1trAaibia2b2Lanbn,23Ln0P指南358.笆a1,a2,L,4T為A各行的公

17、比，4心上,bn為A各列的公比.V若A的全部特征值1,2,L,n,f(A)是多項(xiàng)式，則： 若A滿足f(A)OA的任何一個(gè)特征值必滿足f(i)0 f(A)的全部特征值為f(1),f(2),L,f(n)；f(A)f(1)f(2)Lf(n).V初等矩陣的性質(zhì):|E(i,j)|1|Ei(k)|k|Ei,j(k)|1E(i,j)TE(i,j)Ei(k)TEi(k)Ei,j(k)TEj,i(k)一1一E(i,j)E(i,j)Ei(k)1Ei(4)一1一Ei,j(k)Ei,j(k)*E(i,j)E(i,j)*.Ei(k)kEG)*Ei,j(k)Ei,j(k)，設(shè)f(x)amxmm1am1xLaxa0,對n階

18、矩陣A規(guī)定：f(A)amAmam1Am1La1Aa°E為A的一個(gè)多項(xiàng)式.kAaAbEATV是A的特征值，則：A1分別有特征值A(chǔ)A2AmIA12L3kAVx是A關(guān)于的特征向量，則x也是aAbEA1關(guān)于AA2Am1Al12L3的特征向量.VA2,Am的特征向量不一定是A的特征向量.VA與AT有相同的特征值,但特征向量不一定相同A與B相似1P1AP（P為可逆矩陣）記為：A:BA與B正交相似1P1AP（P為正交矩陣）A可以相似對角化A與對角陣相似.記為：A:（稱是A的;目似標(biāo)準(zhǔn)形）VA可相似對角化nr(iEA）kik為i的重?cái)?shù)A恰有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.這時(shí)，P為A的特征向量拼成的矩陣,P

19、1AP為對角陣，主對角線上的元素為A的特征值.設(shè)i為對應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量則有:n)(11,22,L,nn)(442443P1444244毛：當(dāng)i0為A的重的特征值時(shí),A可相似對角化的重?cái)?shù)nr(A)Ax基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù).V若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值A(chǔ)可相似對角化.V若A可相似對角化，則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重根重復(fù)計(jì)算）r(A).g(i)Ak=PkP1,g(A)1Pg()P1pg(2)Og(n)v相似矩陣的性質(zhì):B，從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同10的特征向量，Px是B關(guān)于0的特征向量.trAtrBA(1,2,L,n)(A1,A2,L,A1442443PAB從而A,B同時(shí)

20、可逆或不可逆 r(A)r(B) AT:BT；A1:B1(若A,B均可逆)；A:B Ak:Bk(k為整數(shù))；f(A):f(B),f(A)|f(B)AB A:B,C:DCD前四個(gè)都是必要條件V數(shù)量矩陣只與自己相似V實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量; 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若A有重的牛I征值,該特征值i的重?cái)?shù)=nr(iEA)；必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形;與對角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形;兩個(gè)實(shí)對稱矩陣相似有相同的特征值.正交矩

21、陣|AAtEVA為正交矩陣A的n個(gè)行(列)向量構(gòu)成？n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.V正交矩陣的性質(zhì)：AA1； aatatae； 正交陣的行列式等于1或-1; A是正交陣，則AT,A1也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；A的行(列)向量都是單位正交向量組nn二次型|f(x1,x2,L,xn)xTAxajXjXji1j1A與B合同|CTACB.記作：A;B正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)payaji,即A為對稱矩陣，x(A,B為實(shí)對稱矩陣，C為可逆矩陣負(fù)慣性指數(shù)寸次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)(x1，x2,L,xn)T)rp符號差2pr(r為二次型的秩)V兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等V兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A:BV兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r(A)r(B);正交變換Cy化為f1diYi21標(biāo)準(zhǔn)形.，