線性代數(shù)必須熟記的結(jié)論

1、2008年線性代數(shù)必考的知識點1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aij和aij的大小無關(guān)；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0；、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為A;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij=(1產(chǎn)為Aj=(1)i4jMij4. 設(shè)n行列式D:n(n將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1,則D1=(_1)D；n(nD將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90所得行列式為D2,則D2=(_1)2D;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為D3,則D3=D;將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4，

2、則D4=D;5.行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n(nA)、副對角行列式：副對角元素的乘積(_1)2;、上、下三角行列式(、I=11):主對角元素的乘積;n(n!)、和，：副對角元素的乘積M(_1)2;、拉普拉斯展開式:=AB|、=(1)mnAB、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;、特征值;n6.7.對于n階行列式|A，恒有：XE-A=?：+Z(1)kSkKn，其中S為k階主子式;證明A=0的方法:、A=-A;k土、反證法;、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解;、利用秩，證明r(A)<n；、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是n階可逆矩陣：UA#0(是非奇異矩

3、陣)；Ur(A)=n(是滿秩矩簾UA的行(列)向量組線性無關(guān)；二齊次方程組Ax=0有非零解；uX/bWRn,Ax=ME、有唯一解；UA與E等價；UA可表示成若干個初等矩陣的乘積；UA的特征值全不為0;wATA是正定矩陣；UA的行(列)向量組是Rn的一組基；UA是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A：AA*=A*A=AE無條件恒成立；3. (A4)*=(A*)<(A')T=(At),(A*)T=(At)(AB)T=BTAT*(AB)=BA_1_11(AB)-二B一A一4.5.矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B

4、可逆：小、若八=A2,，則：A<AsJI、A=A|A|As;、"O丫=|A-0(主對角分塊)OB)I。BOA子i'OB-、10A=|OB(副對角分塊)(B0)達-0/、卜CH'-A七B工)；(拉普拉斯)0BJOB-J、h0fJAA。)；(拉普拉斯)BJ(-B1CAAB3、矩陣的初等變換與線性方程組1.2.3.一個mxn矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F=fEr000mn等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A3,若（A）=r（B）uAgB;行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得

5、；、每行首個非0元素必須為1;、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r若（A,E）g（E,X），則A可逆，且X=Ac、對矩陣（A,B）做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，B就變成A-B,即：（A,B）-（E,A工B）;r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果（A,b）g（E,x）,則A可逆，且x=Ab；4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;，左乘矩陣A,4乘A的各行元素；右乘,、乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號、倍乘某行或某列，符號11E(i,

6、j),且E(i,j)=E(i,j)，例如:111E(i(k),且E(i(k=E(i(-)，例如：1kf仃-kAi、倍加某行或某列，符號E(ij(k)，且E(ij(k)-=E(ij(_k)，如：1=1(k#0);<1J<15. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、0<r(AmQ<min(m,n)；、r(AT)=r(A)；、若AgB,則r(A)=r(B);、若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B)；(X)、r(A+B)<r(A)+r(B);、r(AB)<m

7、in(r(A),r(B);(X)、如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0,則：()I、B的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；口、r(A)r(B)-<n、若AB均為n階方陣，則r(AB)>r(A)+r(B)_n;6. 三種特殊矩陣的方嘉：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)M行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律；1 ac、型如01b的矩陣：利用二項展開式；d0bnn0nc1nj1.一cmn-mm.Cn-1c1Uncnnmmjn_m.-_*壩展升k.(a+b)Cn'+0nab+Cnab+Cnab+CnbCCnab,m=0注：I、(a+b)n展開

8、后有ny項；7.口、Cmn(n1)(nm1)n-123-mw、組合的性質(zhì)：Cnm=Cnnjm、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：*n、伴隨矩陣的秩：r(A)=10、伴隨矩陣的特征值：(AX九、A*=AA七A*|=An°上C0=Cn=1m!(n-m)!ncn;=cmb、r=0r(A)=nr(A)=n-1;r(A)：n-1=?；X,A=AAAA*XX);8 .關(guān)于A矩陣秩的描述：、r(A)=n,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;(兩句話)、r(A)<n,A中有n階子式全部為0；、r(A)之n,A中有n階子式不為0;9 .線性方程組：Ax=b,其中A為m><n矩

9、陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10 .線性方程組Ax=b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換(只能使用初等行變換)；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11 .由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：1&%x2-a1nxn1X1-322X2-a2nXn1X1am2X2-anmXn=>a12a22ain"'Xi"a2nX2金、b2=AX=b（向量方程，A為mxn矩陣,m個方程，n個未知數(shù)）XmAmbm耳anX1X2Ip（全部按列分塊，其中目6

10、、b2司X1a?X23J卡一+anXn=P（線性表出）、有解的充要條件：r（A）=r（A,P）<n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m個n維列向量所組成的向量組A：5,豆2：，0m構(gòu)成nMm矩陣A=（ot1,ot2;0m）；BTm個n維行向量所組成的向量組B：月T,P：，P；構(gòu)成mxn矩陣B=2;含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)uAx=0有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出"AX=b是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示uAX=B是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣Am而與B行向量組等價的充分必要條件是

11、：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（P101例14）4. r（AtA）=r（A）；（R01例15）5. n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、a線性相關(guān)ua=0;、a,P線性相關(guān)yCt,P坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、a,P,y線性相關(guān)=ot,P,Y共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若01a,皿線性相關(guān)，則5,汽2廠二%,國4必線性相關(guān)；若以，口2，R線性無關(guān)，則5,a2，as-必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上nr個分量，構(gòu)成n維向量組B：若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，

12、反之，不確定；7. 向量組A（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則r<s；向量組A能由向量組B線性表示，則r（A）<r（B）；向量組A能由向量組B線性表示UAX=B有解；=r（A）=r（A,B）向量組A能由向量組B等價ur（A）=r（B）=r（A,B）8. 方陣A可逆U存在有限個初等矩陣RR,，Pi,使A=PFzPi；r、矩陣行等價：ABUPA=B（左乘，P可逆）UAx=0與Bx=0同解c、矩陣列等價：ABUAQ=B（右乘，Q可逆）；、矩陣等價：ABUPAQ=B（P、Q可逆）；9. 對于失！陣Am珀與B*：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等

13、價，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性;、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10. 若Am>?Bs>n=Cm4,則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11. 齊次方程組Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx=0只有零解=Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解:ABx=0一定存在非零解；12. 設(shè)向量組Bn乂:與也,，斗可由向量組An>s:a1,a2，as線性表示為：(442,，0)=(司,a2

14、,，as)K(B=AK)其中K為sxr,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)=r(K)=r；(B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：Tr=r(B)=r(AK)<r(K),r(K)<r，,r(K)=r;充分性：反證法)注：當(dāng)r=s時，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對矩陣Am刈，存在Qn池，AQ=Em=r(A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；、對矩陣Am刈，存在'即，PA=En=r(A)=n、P的行向量線性無關(guān)；14. 06,CE2，,Ots線性相關(guān)u存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,，ks,使得k+k2«：2+ksR=0成立；(定義)二gmx2一有非零解，即Ax=0有

15、非零解；(55,Ots)=0Ts/ur(a,c(2，o(s)<s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設(shè)mMn的矩陣A的秩為r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為：r(S)=nr；16. 若"為Ax=b的一個解，。；一，彳工為Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則K,JJl,線性無關(guān)；5、相似矩陣和二次型T1T1. 正交矩陣AAA=E或A=A(jE義)，性質(zhì)：1i=j、A的列向重都是單位向重，且兩兩正交，即a：ai=WJ(i,j=1,2"*n);ij0i=j、若A為正父矩陣，則A=At也為正交陣，且A=zM;、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：(a1,a2,'L,ar)b=a1;hah,a2.abar1bab"p2二a2bR=arp1b2b上，14，bJb1b1b2b,21br_b1_,13. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4. 、A與B等價UA經(jīng)過初等變換得到B；。PAQ=B,P、Q可逆；Ur(A