精華：特殊平行四邊形知識(shí)歸納和題型精講

1、八年級(jí)平行四邊形相關(guān)知識(shí)歸納和常見題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定·有三個(gè)角是直角;·是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;·是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。·是矩形，且有一組鄰邊相等；·是菱形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱性既是

2、軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形一. 矩形矩形定義: 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長(zhǎng)方形或正方形).矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，矩形也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線，有兩條對(duì)稱軸；矩形的性質(zhì):(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質(zhì)1: 矩形的四個(gè)角都是直角矩形性質(zhì)2: 矩形的對(duì)角線相等且互相平分 如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：對(duì)角錢相等的平行四邊形是矩形矩形判定方法2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形矩形

3、判定方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定方法4： (4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形例1已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長(zhǎng)8 cm ，對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)4 cm求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BD的距離AE的長(zhǎng) 例2 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DFAE于F，若AE=BC 求證：CEEF 例3如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng)例4、如圖，在 ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(1)求證：AB=CF；(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形

4、ABFC是矩形，并說明理由 思維訓(xùn)練 例1. 試說明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 分析：兩個(gè)相同的直角三角形可以拼成一個(gè)矩形，故可以利用矩形的特征來加以說明。 解：ABC為直角三角形，且為直角，點(diǎn)O為斜邊上的中點(diǎn)。以O(shè)為對(duì)稱中心，作ABC的中心對(duì)稱圖形CDA，則所得四邊形ABCD，則ABCD是平行四邊形，而且，所以ABCD是矩形，而且B、O、D在一條直線上。因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線互相平分。所以 BD=2BO。 又因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以 AC=BD， 所以AC=2BO。 即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 例2. 如圖所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=4cm，求矩形

5、對(duì)角線的長(zhǎng)。 分析：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，因此矩形的對(duì)角線將矩形分成了四個(gè)等腰三角形，再由特殊角我們就可以得到更特殊的三角形等邊三角形。 解：因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等且互相平分，所以ABO是等腰三角形。又因?yàn)?所以 所以ABO是等邊三角形 因?yàn)锳B=4cm 所以AC=BD=2AB=8cm 例3. 如圖所示，平行四邊形ABCD中，各內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，試說明四邊形EFGH是矩形。 答案：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 而AF、BH分別是 所以， 即 由三角形的內(nèi)角和定理知。 同理可得， 所以四邊形EFGH是矩形。 剖析：題中已知四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊

6、形的特征：兩組對(duì)邊分別平行，進(jìn)而由平行便可得出相鄰的兩個(gè)角互補(bǔ)，再由角平分線的定義得到AEB、BHC、CGD、DFA都是直角三角形，因此四邊形EFGH的四個(gè)角都是直角，便可判定它是矩形了。 例4. 如圖所示，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過頂點(diǎn)C，作BD的垂線與的平分線相交于點(diǎn)E，交BD于G，求證：AC=CE。 分析：本題要證AC=CE，只須證如果過A作AF垂直BD于F，則有AF/CE，因而只須證即可，這可由AE是角平分線和而得到。 證明：過A作AF垂直BD于F，因?yàn)?在直角ABD中， 二菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰

7、邊相等菱形的性質(zhì)性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2 菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的判定菱形判定方法1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對(duì)角線互相垂直菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形例1  已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 例2已知：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形 例3、如圖，在 ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是

8、菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求證：AM=BE。 例5 （10湖南益陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEAB，垂足為E(1)求線段的長(zhǎng)例6、（2008四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長(zhǎng)線于E，DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（2008山東煙臺(tái)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：BDEBCF； （2）判斷BEF的形

9、狀，并說明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍. 例5. 已知菱形的周長(zhǎng)為20cm，兩個(gè)相鄰角的度數(shù)比為1：2，求較短的對(duì)角線長(zhǎng)。 分析：菱形是四條邊都相等的四邊形，因此菱形的每條對(duì)角線都將它分成兩個(gè)等腰形三角形，再由特殊角可得到等邊三角形。 解：如圖所示，因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊都相等且周長(zhǎng)為20cm，所以菱形的邊長(zhǎng) AD=CD=5cm 所以ADC為等腰三角形 又因?yàn)椋?且， 所以， 因此ADC為等邊三角形。 所以較短的對(duì)角線AC長(zhǎng)度為5cm。 例6. 如圖所示，從菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)分別向各邊引垂線，試說明，連接各垂足的四邊形是矩形。 答案：在菱形ABCD中，AD/BC， 因?yàn)?，所?因

10、為，所以N、O、M三點(diǎn)在同一條直線上（過一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線）。 同理，E、O、F三點(diǎn)也在同一條直線上 又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以。 而 同理：OE=OM，OE=ON 所以O(shè)N=OM，OE=OF， 所以四邊形EMFN為平行四邊形。 所以O(shè)E+OF=ON+OM，即EF=MN。 所以四邊形EMFN為矩形。 剖析：本例中，已知菱形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上隱含的是菱形的四條角平分線的交點(diǎn)，再可根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OM=OE=ON=OF，從而可得出四邊形EMFN是矩形。 例7. 如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：。 分析：觀察ABC與ACD，聯(lián)

11、想菱形性質(zhì)和這個(gè)已知條件，尋找它們的關(guān)系（ABC與ACD均為等邊三角形），從而得出AE=AF的結(jié)論，得等邊AEF，從而可確定AE與AF、BAE與CAF的大小關(guān)系。觀察、，聯(lián)想三角形外角的性質(zhì)，就能得出的關(guān)系。 解：連結(jié)AC。 將ACF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°必與ABE重合 例11. 如圖所示，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，BD=10，P是AD邊上任一點(diǎn)，那么的值為（ ）？為什么？ 思路點(diǎn)撥：分別求出PE、PF困難，AOD為等腰三角形，若聯(lián)想“到等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì)，則問題迎刃而解。 解：連結(jié)OP，做 例12. 如圖所示，在ABC中，分別

12、是的平分線，BE和AD交于G，求證：GF/AC。（湖北省荊州市中考題） 思路點(diǎn)撥：從角的角度證明困難，連結(jié)EF，在四邊形AGFE的背景下思考問題，證明四邊形AGFE為平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形。 圖解（1）： 在ABF中， ，且交于點(diǎn)G 解（2）：連結(jié)EF 同證法（1）可得：AG=AE 四邊形AGFE為平行四邊形 GF/AC。 引伸：證明四邊形AGFE為菱形 可證出四邊形AGFE為菱形 三正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）有一個(gè)角是直角的平行四邊形 （矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又

13、是特殊的菱形正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅巍⒕匦?，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角注意：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱

14、形的性質(zhì)正方形的判定方法： (1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)： （1）是平行四邊形； （2）有一個(gè)角是直角； （3）有一組鄰邊相等 2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形. 例1 已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DGAE于G，DG交OA于F求證：OE=OF 例2 已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)求證：四邊形PQMN是正方形例3、（2008海南

15、）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值. ABCPDE例4（2006年河南?。┤鐖D，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DEAB，試判斷ADE的形狀，并給出證明例5：（2008深圳）如圖，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，過點(diǎn)A作AEBD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且C2E（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BD

16、C30°，AD5，求CD的長(zhǎng) 例8. 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC到E，使CE=AC，連接AE，交CD于F，求的度數(shù)。 答案： 剖析：本題是運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題，正方形的性質(zhì)很多，要根據(jù)題目的已知條件和要達(dá)到的結(jié)論，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?，使解題思路簡(jiǎn)捷。在本例中，因?yàn)槭堑耐饨?，；因此只需求出的度?shù)即可。由已知，所以，而CA是正方形ABCD的對(duì)角線，所以故。 所以 所以 例9. 如圖所示，若把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的四個(gè)角（陰影部分）剪掉，得到四邊形，試問怎么剪才能使剩下的圖形仍為正方形？說明理由。 由果索因是解答本題的重要途徑。 假設(shè)把如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的

17、四個(gè)角（陰影部分）剪掉，得到的四邊形是正方形，那么，它和原正方形一樣是中心對(duì)稱圖形，并且兩個(gè)正方形有相同的對(duì)稱中心，由此你能得出圖中線段間的關(guān)系嗎？想一想，應(yīng)怎樣剪？ 解：剪法：當(dāng)時(shí)，四邊形仍為正方形 理由：在正方形ABCD中 將繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)O每次旋轉(zhuǎn)90°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，必分別與重合 由（1）、（2）可知四邊形為正方形。 例10. 如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，BN平分并交MN于N。求證：MD=MN。 要證MD=MN，一般證它們所在的兩個(gè)三角形能夠重合，但MBN與ADM不可能重合，因此必須造一個(gè)三角形能與MBN重合，取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，證能重合即可。

18、證明：如圖所示，以M為中心，將MBN順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得，此時(shí)， 到AB2N2位置，再將AB2N2向上平移， 使A到D的位置，B2到P點(diǎn)。此時(shí)N2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線DM上， 且 點(diǎn)N2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在MN上 點(diǎn)N2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線MN與DM的交點(diǎn)上 點(diǎn)N2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M 引伸：若將上述條件中的“M是AB中點(diǎn)”改為“M是AB上的任意一點(diǎn)”。其余條件不變（如圖乙所示）。則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎？如果成立。請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。（上海市閔行區(qū)中考題）例題講解例一.分析：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)

19、算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法解：設(shè)AD=xcm，則對(duì)角線長(zhǎng)（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 則 AD=6cm（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個(gè)基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個(gè)基本關(guān)系式： AE×DB AD×AB，解得 AE 4.8cm例二分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AFBE，則問題解決，而證明AFBE，只要證明ABEDFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形 證明： 四邊形ABCD是矩形， B=90°，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90° B=AFD又 AD=A

20、E， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此題還可以連接DE，證明DEFDEC，得到EFEC菱形 例1 證明：四邊形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE例2 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四邊形AFCE是平行四邊形又 EFAC， AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)例6、解：DEDF 證明如下：連結(jié)BD四邊形ABCD是菱形CBDABD(菱形的對(duì)角線

21、平分一組對(duì)角)DFBC，DEABDFDE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)例7 、正方形 例1 分析：要證明OE=OF，只需證明AEODFO，由于正方形的對(duì)角線垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根據(jù)ASA可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得 證明： 四邊形ABCD是正方形， AOE=DOF=90°，AO=DO（正方形的對(duì)角線垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90° EAO=FDO AEO DFO OE=OF例2 分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證A

22、BMDAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP即可證出MN=NP從而得出結(jié)論證明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90° PQNM， 四邊形PQMN是矩形 四邊形ABCD是正方形 BAD=ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角） 1+2=90°又 3+2=90°， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例3 （1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， BC=DC, BCP=DCP=45°. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180°， DPE=360°-(BCD+PDC+PEC)=90°， PEPD. ）（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PEPD.（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖. PEC=P