第九章多元函數(shù)

1、第九章 多元函數(shù)微分學(xué)上冊中，我們研究的函數(shù)是僅依賴于一個自變量的函數(shù)，這種函數(shù)稱為一元函數(shù)但在許多實際問題中，會涉及到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于多個變量的情況，由此引入多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微積分問題本章將在一元函數(shù)基礎(chǔ)之上討論多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用從一元函數(shù)到二元函數(shù)，在內(nèi)容和方法上都會出現(xiàn)一些實質(zhì)性的差別，而多元函數(shù)之間差異不大，因此討論多元函數(shù)時，將以二元函數(shù)為主§9.1 多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念討論一元函數(shù)時，經(jīng)常用到鄰域和區(qū)間概念，由于討論多元函數(shù)的需要，我們首先把它們加以推廣，同時還要引入平面點集一些其他概念 記鄰域：設(shè)，為一正數(shù)， 與

2、點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記作，即也就是在幾何上表示一個以為圓心、為半徑的圓內(nèi)部的點的全體中除去點后所剩部分，稱為點的去心鄰域，記作如果不需要強調(diào)鄰域的半徑時，則可用表示點的某個鄰域點某個去心鄰域記作下面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系設(shè)為平面上任一點（），是一平面點集（），則與有以下三種關(guān)系:(1) 內(nèi)點：若存在點的某一鄰域使得，則稱是的內(nèi)點；(2) 外點：若存在點的某一鄰域使得， 則稱為的外點； (3) 邊界點：若點的的任一鄰域內(nèi)，既含有屬于的點，又含有不屬于的點，則稱為的邊界點圖9-1-1E 的邊界點的全體稱為的邊界如圖9-1-1 為的內(nèi)點，為的外點，為的邊界點從上述定義及圖9

3、-1-1可知，的內(nèi)點必定屬于；的外點必不屬于；而的邊界點可能屬于，也可能不屬于聚點：若點的任何鄰域中都有無窮多個點屬于點集，則稱為的一個聚點聚點本身可能屬于，也可能不屬于的內(nèi)點必是聚點邊界點可能是聚點，也可能不是圖9-1-2例如， 點集，滿足的點都是的內(nèi)點; 滿足的點均為的邊界點，它們都屬于;滿足的點也均為的邊界點，但它們都不屬于的邊界是圓周和上的點的全體(圖9-1-2) 開集： 若的每一點都是它的內(nèi)點，則稱為開集；閉集： 開集加上它的邊界稱為閉集；連通集： 若內(nèi)的任何兩點，都可以用中的折線連結(jié)起來，則稱為連通集； 開區(qū)域： 連通的開集稱為開區(qū)域(或區(qū)域)；閉區(qū)域： 開區(qū)域和它的邊界一起稱為閉

4、區(qū)域；有界集： 如果存在常數(shù)，使得，則稱為有界集，否則稱為無界集例如，和均是面中的開區(qū)域; 和均是面中的閉區(qū)域；而且為無界閉區(qū)域， 為有界開區(qū)域二、多元函數(shù)的概念在很多自然現(xiàn)象以及工程實際問題中經(jīng)常會遇到多個變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下：例1 一定量的理想氣體的壓強，體積和絕對溫度之間具有關(guān)系，其中為常數(shù)，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定例2 設(shè)是、并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定這些例子它們的具體意義雖各不相同，但它們確有共同的性質(zhì)，即都涉及一個變量與其它多個變量之間的依賴關(guān)系，抽取其共性，可以得到多元函數(shù)的概念首先定義二元

5、函數(shù) 定義1 設(shè)是非空子集，如果對于每個點，變量按照一定的法則總 有確定的值和它對應(yīng)，則稱變量是變量的二元函數(shù)（或點的函數(shù)），記為 （或）稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量，稱為函數(shù)的值域函數(shù)在點處的函數(shù)值記為或類似的可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)一般地，把定義1中的平面點集換成維空間內(nèi)的點集，則可類似的定義元函數(shù)元函數(shù)也可簡記為，這里的，當(dāng)時，就是一元函數(shù)，當(dāng)時，稱為多元函數(shù) 對給定的一個二元函數(shù)，則其定義域也相應(yīng)給定如果是從實際問題中建立一個二元函數(shù)，則該函數(shù)的自變量有著實際意義，其取值范圍要符合實際如果是用解析式表示的函數(shù)，它的定義域就是使解析式中運算有意義的自變量取值點的全體

6、例3 在經(jīng)濟學(xué)中，常用的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為，這里表示生產(chǎn)量，分別表示勞動力和資本數(shù)量，其中為常數(shù)，是參數(shù)（），函數(shù)的定義域為例4 求函數(shù)的定義域，并作出定義域的示意圖解 要使函數(shù)有意義，必須要 即 故函數(shù)的定義域為 的圖形如圖9-1-3圖9-1-322圖9-1-4 例5 求函數(shù)的定義域 并作出定義域的示意圖解 要使函數(shù)有意義，必須要 圖9-1-5 故函數(shù)的定義域為 的圖形如圖9-1-4二元函數(shù)的幾何意義設(shè)是定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，點集稱為二元函數(shù)的圖形 二元函數(shù)的圖形通常是空間的一張曲面 (圖9-1-5)定義域就是該曲面在面的投影例如， 二元函數(shù)的圖形是一張平面，它的定義域是整

7、個平面二元函數(shù)的圖形是以原點為中心，半徑為1的上半球面，它的定義域是平面上的以原點為中心的單位圓 二元函數(shù)的圖形是頂點在原點的圓錐面，它的定義域是整個平面三、多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)概念類似，二元函數(shù)的極限也是反映函數(shù)值隨自變量變化而變化的趨勢定義 2 設(shè)函數(shù)的定義域為，點是的聚點，為常數(shù)，如果對任意（不論多么?。?，存在，使得當(dāng)時，恒有，則稱常數(shù)為當(dāng)時的極限，記為 ， ， 或者  ，一般我們將二元函數(shù)的極限叫做二重極限這里應(yīng)當(dāng)注意，按照二重極限的定義，必須當(dāng)動點以任何方式趨于定點時，都是以常數(shù)為極限，才有如果僅當(dāng)以某種方式趨于時， 趨于常數(shù)，那么還不能斷定存在極限但如果當(dāng)以不同方式趨

8、于時， 趨于不同的常數(shù)，我們便能斷定的極限不存在例6 討論極限的存在性解 當(dāng)沿直線趨向于時，有 當(dāng)沿直線趨向于時，有這說明沿過原點的無窮多直線趨于原點時，都趨于零，但也不能說明的極限是零，因為無窮多路徑并不代表所有路徑，點趨向于的方式還有無窮多種，當(dāng)沿拋物線趨向于時，因此不存在二元函數(shù)極限的定義與一元函數(shù)極限的定義在內(nèi)涵上是一致的，因此一元函數(shù)極限的性質(zhì)，如唯一性、局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則以及極限運算法則等，都可以推廣到二元函數(shù)極限例7 求極限解 例8 求極限解 因為，且所以例9 證明 證 因為 ，所以 而當(dāng)時，由夾逼準(zhǔn)則可知，四、多元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)一樣，仍采用函數(shù)在一點的極限

9、值與在該點的函數(shù)值是否相等來定義二元函數(shù)的連續(xù)性定義 3 設(shè)函數(shù)的定義域為，點且是的聚點，若 則稱函數(shù)在點處連續(xù)，否則，稱在處間斷或不連續(xù)如果在區(qū)域上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在上連續(xù)，或稱是上的連續(xù)函數(shù)例10 討論函數(shù)在點處是否連續(xù)？解 當(dāng)點沿直線趨向于時，則有 它的值與常數(shù)有關(guān)這說明自變量按不同方式趨于點時，函數(shù)有不同的極限，所以極限不存在，因此函數(shù)在點處不連續(xù) 例11 求 解 和一元函數(shù)一樣，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(在分母不為零處)仍是連續(xù)函數(shù)，二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)由和的基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復(fù)合運算后能用一個式子表式的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù)一

10、切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的例如函數(shù)在平面內(nèi)處處連續(xù)；而函數(shù)僅在原點處不連續(xù)；函數(shù)在單位圓上處處是間斷點，一般地將稱為間斷曲線在空間直角坐標(biāo)系下，平面區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)的圖形是在上張開的一張“天衣無縫”的連續(xù)曲面一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，也可推廣到二元函數(shù)上去性質(zhì)1 (有界性定理) 如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上有界即存在常數(shù)，使得對任意，有 性質(zhì)2 (最大(小)值定理) 如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上必能取到最大值和最小值即存在，使得對任何，都有 性質(zhì)3 (介值定理) 如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它必取得介于最大值和最小值之間的任何值即對任何，至少存在一點，使得

11、習(xí)題9-1判斷下列平面點集中哪些是開集，閉集，有界集，無界集，開區(qū)域，閉區(qū)域.（1）；（2）；（3）；（4） 求函數(shù)值：（）已知求； （）已知求；（）已知求； （）已知，求求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）求下列函數(shù)的極限： （1） ； （2） ； （3）； （4）；（5） ； （6）證明極限不存在：（1）；（2）；（）討論函數(shù) 在點處的連續(xù)性討論函數(shù) 在點處的連續(xù)性沙石運輸問題 設(shè)有體積為的沙石用長方體形狀的有底無蓋且在底部裝有滑行器的木箱運輸，這種木箱可以反復(fù)使用（假設(shè)木箱永不損壞），木箱各部分的造價是：箱底和兩端的材料費用為，另兩側(cè)面的材料費用為，箱底兩個滑行器與箱子同長，材

12、料費為，又不論箱子大小，每裝一箱沙石需支付裝運費，試建立運輸沙石的總費用與箱子的長、寬、高的關(guān)系式§9.2 偏導(dǎo)數(shù)在生產(chǎn)和工程實際中，常常需要了解一個受多種因素制約的量，在其它因素固定不變的情況下，隨一種因素變化的變化率問題這些實際問題的產(chǎn)生，促使人們研究多元函數(shù)在其它自變量固定不變時，函數(shù)隨一個自變量變化的變化率偏導(dǎo)數(shù)問題 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算定義 1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而在處取得增量時，且，相應(yīng)的函數(shù)的增量為(稱為偏增量)如果極限 (921)存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作或 類似地，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)可定義為 (922)記作 如果二元函數(shù)

13、在區(qū)域上每一點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)是，的二元函數(shù)，稱它為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 或 類似地，可以定義函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或由偏導(dǎo)函數(shù)的定義可知，函數(shù)在點對的偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)有如下關(guān)系： 以后在不至于混淆的情況下，將偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)對于二元以上的函數(shù)，用同樣的方法可以定義偏導(dǎo)數(shù)從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，求多元函數(shù)對其中一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,實際上只需將其它自變量看成常數(shù),按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進行即可例1 求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)解 將看作常數(shù),對求導(dǎo)得 將看作常數(shù),對求導(dǎo)得 所以 例2 設(shè) ，求證：證 因為 ，所以 例3 已知電阻、并聯(lián)的等效電阻為，若，問變化三個

14、電阻中的哪一個，對等效電阻影響最大解 因為 ,，最小，所以最大，故變化對影響最大例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程（為常量），求證： 證 因為 ，； ，； ，；所以 通過此例說明偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號，不能看作分子與分母之商圖9-2-1二元函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)有如下的幾何意義設(shè)為曲面上一點,過點作平面,截此曲面得一曲線， 上的方程，則導(dǎo)數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù)，就是這曲線在點處的切線對軸的斜率（圖9-2-1）；同樣，偏導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率我們知道，如果一元函數(shù)在某一點具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點必連續(xù)對于多元函數(shù)來說，在某點即使各偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)這是因

15、為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于時，函數(shù)值趨于，但不能保證點按任何方式趨于時，函數(shù)值趨于例如，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù) 同樣有可見在點處的兩個偏導(dǎo)都存在但由§9.1例10知在點處不連續(xù)例5 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性及偏導(dǎo)數(shù)、的存在性解 顯然有 所以 在點處連續(xù)當(dāng)時,由于的極限不存在,所以不存在,同理也不存在這說明二元函數(shù)在點處連續(xù)與偏導(dǎo)存在沒有必然聯(lián)系二、 高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)和,如果這兩個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)也存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù)其中偏導(dǎo)數(shù)、稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，類似地可定義多元函數(shù)二階以上的偏導(dǎo)

16、數(shù),二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例6 求函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)解 .此例中的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即 (923)但這個(9.2.3)式并不是對所有的二元函數(shù)都成立,也就是說，求函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與對，求導(dǎo)的次序是有關(guān)的下面不加證明的給出（9.2.3）式成立的充分條件定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那么在內(nèi)必有定理1表明，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)例6 驗證描述波的運動方程滿足方程 (924)解 因為 ，所以 例7驗證函數(shù)滿足方程 （925）解 因為 ，所以 例8 驗證 滿足 （926）解 由對稱性得，因此 像（9.2.4），（9.2.5），（9.

17、2.6）式那樣含有多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程方程（9.2.4）它描述了波（如海浪、聲波、光波等的）運動形式；稱（9.2.5），（9.2.6）式為拉普拉斯方程，它的解稱調(diào)和函數(shù)，在熱力學(xué)、流體力學(xué)和電勢理論中有著重要的應(yīng)用函數(shù)、 、分別為偏微分方程（9.2.4），（9.2.5），（9.2.6）的解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上表示邊際經(jīng)濟量，邊際經(jīng)濟量的經(jīng)濟意義是：當(dāng)其中一個經(jīng)濟量變化一個單位時(其他經(jīng)濟量保持不變)總經(jīng)濟量的變化量在經(jīng)濟分析中，不同的經(jīng)濟函數(shù)，邊際函數(shù)被賦予不同的名稱例如，某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，當(dāng)A、B產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為和個單位時，總成本函數(shù)為這時偏導(dǎo)數(shù)稱為關(guān)于A產(chǎn)品的邊際

18、成本，它是當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定時，總成本關(guān)于的邊際成本，其經(jīng)濟意義是：當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定在處，A產(chǎn)品的產(chǎn)量在的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個單位時成本大約增加 例9 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為、(單位：kg)時，總成本(單位：元) 求當(dāng)時，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)邊際成本 解 此結(jié)果表明，當(dāng)乙產(chǎn)品產(chǎn)量不變而甲產(chǎn)品產(chǎn)量再增加1kg時，總成本近似增加64元；當(dāng)甲產(chǎn)品產(chǎn)量不變而乙產(chǎn)品產(chǎn)量再增加1kg時，總成本近似增加96元習(xí)題9-2 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）； （8）2設(shè)，求3求曲線，在點處切線對軸的傾角4設(shè)，求，5設(shè)，其中為可微函數(shù)，證明：6設(shè)，求

19、，§9.3 全微分一、全微分的定義在實際問題中，有時需要研究多元函數(shù)中各自變量都取得增量時因變量獲得的增量，即所謂的全增量問題.當(dāng)自變量在點處均有增量時,稱 為函數(shù)在點處的全增量.例如，一個邊長分別為的矩形金屬薄片，由于受熱，邊長變?yōu)?，問矩形薄片面積改變了多少？設(shè)面積為，則面積改變量（全增量）圖9-3-1從上式看出主要有兩部分，第一部分是關(guān)于的線性函數(shù)，圖9-3-1中帶有斜線部分的兩個矩形面積之和，第二部分是圖9-3-1中帶有交叉斜線的矩形面積，當(dāng)時，是關(guān)于的高階無窮小，即.一般說來,函數(shù)的全增量是關(guān)于比較復(fù)雜的函數(shù)，計算較繁，對比一元函數(shù)的微分，我們希望用自變量增量與的線性函數(shù)來近

20、似地代替函數(shù)的全增量，于是產(chǎn)生了全微分的概念.定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點的全增量可表示成為 (9.3.1)其中，,不依賴于與，而僅與、有關(guān)，則稱函數(shù)在點處可微分,而稱為函數(shù)在點處的全微分，記作 .當(dāng)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都可微分時，則稱在內(nèi)可微分. 由定義1中的(9.3.1)式知,若在點處可微分,則在該點必連續(xù).事實上, 在式(9.3.1)中令,得即   .與一元函數(shù)類似，自變量的增量與常寫成與，并分別稱為自變量的微分，于是，函數(shù)的全微分可寫為 二、 函數(shù)可微分的必要條件和充分條件定理 1（必要條件）如果函數(shù)在點處可微分，則在點處偏導(dǎo)存在,且有 , 證明

21、 在式(9.3.1)中令,這時,則有 于是 同理 即 在點處偏導(dǎo)數(shù)存在,且有 , 可見, 如果函數(shù)在點處可微,我們有 (9.3.2)由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系,有 (9.3.3) (9.3.4)(9.3.3),(9.3.4)兩式的右端分別叫做二元函數(shù)對的偏微分.這樣二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和,我們把這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 一元函數(shù)在一點可導(dǎo)與它在該點可微是等價的.對于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)都存在,雖然能形式地寫出,但它與之差并不一定是較高階的無窮小,因此函數(shù)不一定是可微分的（這是因為偏導(dǎo)數(shù)僅僅是在特定的方向上函數(shù)的變化率，它對函數(shù)在一點附近變化情況的描述極不完備）

22、所以，多元函數(shù)在一點偏導(dǎo)存在，只是它在該點可微的必要條件,而不是充分條件例如，函數(shù)在點處有,所以有 如果考慮點沿直線趨近于時，則這表示時，并不是一個較高階的無窮小，因此該函數(shù)在點處的全微分不存在,即該函數(shù)在點處是不可微分的.可見,當(dāng)多元函數(shù)在某點偏導(dǎo)存在時,不一定在該點可微分,偏導(dǎo)數(shù)存在只是可微分的必要條件而不是充分條件,但如果函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),就能使函數(shù)在該點可微分,既有下面定理.定理2（充分條件）如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和在點連續(xù)，則函數(shù)在點可微分.(證明略)二元函數(shù)的在點處可微性、可導(dǎo)性（偏導(dǎo)數(shù)的存在性）及連續(xù)性之間的關(guān)系為:偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)可微函數(shù)連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在. 以上關(guān)于全微分的的定

23、義及可微的必要條件和充分條件,可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù).例如，對于三元可微函數(shù)有.例1 求函數(shù) 在點 處的全微分。解 因為 , , 所以 例2 求函數(shù) ( )的全微分。解 因為 , , 所以 例3 空氣污染指數(shù)是一種反映和評價空氣質(zhì)量與空氣污染程度的數(shù)量指標(biāo)，是將常規(guī)監(jiān)測的幾種空氣污染物的濃度簡化成單一的數(shù)值形式.設(shè)空氣污染指數(shù)為，則值越大表明空氣污染程度越嚴(yán)重.目前我國采用空氣污染指數(shù)的分級標(biāo)準(zhǔn)是：空氣日平均值一級標(biāo)準(zhǔn)為；二級標(biāo)準(zhǔn)為；三級標(biāo)準(zhǔn)為；當(dāng)時，空氣質(zhì)量為重度污染.現(xiàn)在某城市的空氣污染指數(shù)取決于兩個因素，即空氣中固體廢物的濃度和有害氣體的濃度.它們之間的關(guān)系可表示成

24、 （1）計算和并說明它的實際意義；（2）當(dāng)增長10%，不變；或不變，增長10%，該城市空氣污染的情況怎樣？（3）當(dāng)增長10%，減少10%時，該城市空氣污染的狀況是否有所改變？解 (1) 由， 得，.根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義，表示當(dāng)空氣中有害氣體濃度，且固定不變，空氣中固定廢物濃度時，對的變化率，也就是說是常量，是變量，且自10發(fā)生一個單位的改變時，空氣污染指數(shù)大約改變個單位.同理，表示當(dāng)空氣中有害氣體濃度不改變時，對的變化率，也就是說是常量，是變量，且自5發(fā)生一個單位的改變時，空氣污染指數(shù)大約改變個單位.（2）顯然，在點處連續(xù)，根據(jù)增量公式，有 . 其中，.當(dāng),增長10%時，則有當(dāng)增長10%時，時，則有

25、由此可見，當(dāng)自變量在點處一個保持不變，另一個增加10%時，引起空氣污染的程度是不同的，有害氣體對空氣污染程度的影響較嚴(yán)重.(3) 由于當(dāng)，增長10%，即減少10%時，即，此時空氣污染指數(shù)的增量為=-80即空氣污染得到一定治理，空氣狀況有所改善習(xí)題9-31 求下列函數(shù)的全微分：(1) ； (2) ；(3) 2求函數(shù)當(dāng)時的全微分3求函數(shù)在點處的全微分4利用全微分計算下列各式的近似值：(1) ；(2) 5設(shè)矩形邊長，當(dāng)增加，減少時，求矩形的對角線和面積變化的近似值§9.4 多元復(fù)合函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的微分法圖9-4-1在一元函數(shù)微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t在微分學(xué)中起到了極其重要的

26、作用，如何將這一法則推廣到多元函數(shù)是本節(jié)討論的的主要內(nèi)容由于多元復(fù)合函數(shù)的中間變量和自變量的個數(shù)較多，函數(shù)關(guān)系復(fù)雜,為了不失一般性，討論簡便，先討論有兩個中間變量且中間變量都是二元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，然后再推廣到其它形式的多元復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)其變量間的依賴關(guān)系可用圖9-4-1變量關(guān)系樹來表示定理1 如果函數(shù)都在點處存在一階偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)在相應(yīng)點處可微,則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 （941） （942）證 設(shè)自變量取得增量，則中間變量分別取得偏增量由于在點處可微,故有 （943） 將（9.4.3）式中分別用關(guān)于的偏增量代替，則相應(yīng)的也有關(guān)于的偏增量，即 （944）其中將(94

27、4)式兩端同除以，得 （945）因為存在，所以當(dāng)自變量不變時，和均是的連續(xù)函數(shù)，從而當(dāng)時，有，且有上式右端極限中第一個因子為無窮小，后兩個因子之積為有界函數(shù)，所以于是在（9.4.5）式中令取極限，得同理可得稱（9.4.1），（9.4.2）為多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的公式（鏈?zhǔn)椒▌t），可借助于圖9-4-1變量關(guān)系樹來記憶定理1可以推廣到中間變量是一個或兩個以上的情形，也可以推廣到中間變量既有一元函數(shù)也有多元函數(shù)的情形，盡管多元復(fù)合函數(shù)具有形式各異的復(fù)合關(guān)系，借助于變量關(guān)系樹圖來求偏導(dǎo)數(shù)，很容易得到計算公式下面就幾種情況給出公式圖9-4-21. 設(shè)，,，則復(fù)合函數(shù)是關(guān)于的一元函數(shù)，其變量關(guān)系樹如圖9-

28、4-2所示導(dǎo)數(shù)計算公式為 圖9-4-3 （946） 這里的稱為全導(dǎo)數(shù)，公式（9.4.6）稱為全導(dǎo)數(shù)計算公式 2. 設(shè), ,及,則復(fù)合函數(shù)是關(guān)于的二元函數(shù)，其變量關(guān)系樹如圖9-4-3所示則有偏導(dǎo)數(shù)計算公式： （947） （948）圖9-4-43. 設(shè)，,則復(fù)合函數(shù)是關(guān)于,的二元函數(shù)，其變量關(guān)系樹如圖9-4-4所示 則有偏導(dǎo)數(shù)計算公式： 圖9-4-54 設(shè)，,則復(fù)合函數(shù)的變量關(guān)系樹如圖9-4-5所示 則有偏導(dǎo)數(shù)計算公式： 綜上，多元復(fù)合函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)等于若干項的和，其中每一項都對應(yīng)函數(shù)到該自變量的一條路徑，幾條路徑就對應(yīng)幾項和，這就是計算多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，該鏈?zhǔn)椒▌t可形象地概

29、括為“連線相乘，分路相加”例1設(shè),其中 求解 函數(shù)變量關(guān)系樹如圖9-4-2，由鏈?zhǔn)椒▌t有 例2設(shè)而 求和解 函數(shù)變量關(guān)系樹如圖9-4-1，由鏈?zhǔn)椒▌t有，例3 設(shè)，求和解 設(shè), 則，函數(shù)變量關(guān)系樹如圖9-4-1，由鏈?zhǔn)椒▌t有 ， 例4 設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求和解 設(shè) , 則為表達簡便起見，引入以下記號： ，這里下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)同理有，等等函數(shù)關(guān)系樹如圖9-4-1，由鏈?zhǔn)椒▌t有 ， 注意到和,再由鏈?zhǔn)椒▌t,有, 所以有 由具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以 ,故有同理可得 例5 設(shè)可微,證明證 函數(shù)變量關(guān)系樹如圖9-4-4,由鏈?zhǔn)椒▌t有 , ,二、全微分

30、形式的不變性 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),當(dāng)和是自變量時,其全微分為 如果、又是、的函數(shù)、，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)全微分為 其中及由式(941),(942)給出，將其代入上式中，得 這說明，無論函數(shù)看作自變量、的函數(shù)還是中間變量、的函數(shù)，其全微分表達式的形式是一樣的，這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性例7 利用全微分形式的不變性解本節(jié)例2解 而 ，代入上式得即 上式右端、前的式子分別為所求的兩個偏導(dǎo)數(shù)、例8 求函數(shù) 的全微分和偏導(dǎo)數(shù)解 與對照，得到，習(xí)題9-41設(shè)，而，求2設(shè)，而，求3設(shè)，而，求4設(shè),，求5設(shè)，求 6設(shè)，求7設(shè)可微，求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1) ；(2) ；(3) ；

31、(4) ；(5) ； (6) 8設(shè)可微，證明9求下列函數(shù)的，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：(1) ；(2) 10設(shè)函數(shù)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，證明：(1) ；(2) §9.5 隱函數(shù)的微分法在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們曾引入隱函數(shù)的概念，并且介紹了利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求由二元方程所確定的一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們介紹隱函數(shù)存在定理，并通過多元復(fù)合函數(shù)微分法來建立隱函數(shù)求導(dǎo)公式.一、一個方程的情形定理1(隱函數(shù)存在定理) 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則由方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一地確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (9.5.1）公式(9.5.1)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.上述

32、定理的證明從略僅對公式(9.5.1)作形式化推導(dǎo).將函數(shù)代回到方程中，便得到恒等式方程兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到由于連續(xù)，且，所以在的某鄰域內(nèi)，于是得 例1 驗證方程在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且當(dāng)時的隱函數(shù)，求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在的值證 令則依定理知方程在點的某領(lǐng)域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時的隱函數(shù)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 設(shè) ，則 ， 因此 . 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法可以推廣到多元函數(shù)既然一個二元方程可以確定一個一元隱函數(shù)，那么一個三元方程就可能確定一個二元隱函數(shù). 例如，若一個三元方程確定一個二元的隱函數(shù)，代入方

33、程得 應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，將上式兩端分別對求導(dǎo)，可得 ， ，從而在處有 ， .于是，有下面定理.定理2 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， 且 則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 ， （9.5.2）例3 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求和.解 設(shè) ，則 ， ， 從而有 ， 例4 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)， 求 解 令，則注：在實際應(yīng)用中，求方程所確定的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函數(shù)時，利用求偏導(dǎo)或求微分的過程則更為清楚例5 設(shè) 求解 令， 例6 設(shè)其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且求證:.證 由題意知方程確定函數(shù)在題設(shè)方程兩邊取微

34、分，得即有 合并得 解得 從而 ， 于是 二、方程組的情形一個方程情形的隱函數(shù)存在定理可以推廣到多個方程（方程組）的情形，但推廣后隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)公式遠比一個方程的情形復(fù)雜，但是一個方程中求（偏）導(dǎo)數(shù)的三種方法（公式法，公式推導(dǎo)法，微分法）中，后兩種方法對方程組的情形仍然適用下面通過具體的例子說明方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7 設(shè) ，求解 由題意知，方程組確定隱函數(shù)，在題設(shè)方程組兩邊對自變量求導(dǎo)，并且把看成的函數(shù)，得即 （9.5.3）（9.5.3）式看成以為未知量的線性方程組，通過求解線性方程組（9.5.3），得出的表達式，解得 例8 設(shè)，求，解法一用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對求導(dǎo)

35、并移項得 （9.5.4）通過求解關(guān)于的線性方程組（9.5.4），得出的表達式，令由克萊姆法則，在的條件下，有 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)，用同樣方法得法二 由題意知，方程組確定隱函數(shù)在題設(shè)方程組兩邊取微分，有把看成未知的，解得即有 ，例9設(shè)由方程組所確定，試推導(dǎo)，的公式.解 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項得 即 （9.5.5）通過求解關(guān)于的線性方程組（9.5.5）得出的表達式，由克萊姆法則，當(dāng)時， 同理，將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項得 即 （9.5.6）當(dāng)時，解得 ， 本例求解過程中，要求方程組能確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，除對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)外，還要求線性方程組（9.5.5）、（9.5.6）的

36、系數(shù)行列式 （9.5.7）這些假設(shè)實際上構(gòu)成了方程組能確定一組隱函數(shù)的條件 我們把（9.5.7）式的行列式稱雅可比行列式通常記為習(xí)題9-51設(shè)，求2設(shè) 是常數(shù)），求，3設(shè)其中為可微函數(shù)， 求4設(shè)其中為由方程所確定的隱函數(shù)， 試求5設(shè)而t是由方程所確定的的函數(shù)， 試求6求由方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7設(shè)方程 確定了隱函數(shù)，求 8設(shè)其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且 求9設(shè)是由方程所確定，其中可微，證明：10設(shè)函數(shù)是由方程所確定，證明：11求下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1) 設(shè)，求，(2) 設(shè) ，求(3) 設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求§9.6 微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用在前面空間解析幾何中

37、介紹了空間曲面、曲線、平面及直線，本節(jié)將多元函數(shù)微分法應(yīng)用到幾何上，研究如何求解空間曲線的切線方程及曲面的切平面方程一、空間曲線的切線與法平面1空間曲線的參數(shù)方程為 ：， （9.6.1）假定(9.6.1)式中的三個函數(shù)都在上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)不同時為零圖9-6-1在曲線上取對應(yīng)于的一點及對應(yīng)于的一點則曲線的割線方程為：當(dāng)沿趨近于時，割線的極限位置就是曲線在點處的切線如圖9-6-1，用除以上式的各分母，得令（這時），通過對上式取極限，即得曲線在點處的切線方程 （9.6.2）這里不能同時為零，如果個別為零，則按空間解析幾何中有關(guān)直線對稱式方程的說明來理解 切線的方向向量稱為曲線的切向量向量就是曲線在點處

38、的切向量通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點處的法平面，它是通過點而以為法向量的平面因此這法平面的方程為： （963）2 若空間曲線的參數(shù)方程為： 則可取作參數(shù)曲線 問題轉(zhuǎn)化為第一種情形 3 設(shè)空間曲線以方程組 （964）形式給出，點，設(shè)、的偏導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，且與線性無關(guān)，方程組(9.6.4) 在點的某一鄰域內(nèi)確定了一組具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)，若取為參數(shù)，則曲線可以由參數(shù)方程 （965）來描述，為了求曲線的切線方程，我們不必求得（9.6.5）式的參數(shù)方程，只要求出曲線在點處的一個切向量，其中可由方程組 求得從而得到所求的切線方程例1 求曲線在點處的切線及法平面的方程解 點所對應(yīng)的參數(shù)曲線在該點處的

39、切向量于是，切線方程為 法平面方程為 即 例2求曲線，在處的切線及法平面方程解 當(dāng)時，得切點： 得 切線方程 法平面方程 即例3 在拋物柱面與的交線上，求對應(yīng)的點處的切線及法平面方程解 取為參數(shù)，則交線的參數(shù)方程為，則切點，曲線在該點處的切向量于是，切線方程為 法平面方程為 即 例4 求曲線，在點處的切線及法平面方程解 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項，得即由此得，從而故所求切線方程為， 即 法平面方程為，即 二、曲面的切平面與法線若曲面的方程為，點是曲面上的一點，設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點處連續(xù)且不同時為零在曲面上通過點任意引一條曲線（如圖9-6-2），假定曲線的參數(shù)方程， （966）圖9-6-2對應(yīng)于

40、點且不全為零，則由（9.6.2）式可得曲線的切線方程為現(xiàn)在要證明，在曲面上通過點的任何曲線在點處的切線都在同一平面上事實上，因為曲線完全在曲面上，所以有恒等式又因在點處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在，所以這恒等式左邊的復(fù)合函數(shù)在時有全導(dǎo)數(shù)，且這全導(dǎo)數(shù)等于零： 即有 (9.6.7)引入向量則（9.6.7）式表示曲線(9.6.6)在點處的切向量與向量垂直因為曲線是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點的切線都與同一個向量垂直，所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一平面上，這個平面稱為曲面在點處的切平面這個切平面方程為 (9.6.8）過點且垂直于切平面（9.6.8）的直線稱為曲面在該點處的法線（如圖9-6

41、-2），法線方程為 (9.6.9)垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量向量就是曲面在點處的法向量現(xiàn)在考慮曲面方程 （9610）令 ，則有 ，當(dāng)函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)在點處連續(xù)時，曲面（10）在點處的法向量為切平面方程即 （9611）而法線方程為（9.6.11）式右端恰好是函數(shù)點的全微分，而左端是切平面上點的豎坐標(biāo)的增量因此，函數(shù)在點的全微分，在幾何上表示曲面在點處的切平面上點的豎坐標(biāo)的增量例5 求曲面 在點處的切平面及法線方程解 令 切平面方程為,即 法線方程為 .例6 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程解 令切平面方程為, 即 法線方程為.例 7 求曲面 的平行于平面的切平面方程解 設(shè)切點為

42、,則法向量為依題意，所求切平面平行于已知平面，得 即 （9.6.12）將（9.6.12）代入曲面方程，得當(dāng)時，對應(yīng)切點，得切平面方程(1) 即 當(dāng)時，對應(yīng)切點，得切平面方程(2) 即例8求曲面上同時垂直于平面與的切平面方程解 設(shè)則曲面在點的法線向量為由于平面的法線向量平面的法線向量而同時垂直于與所以平行于又所以存在數(shù)，使得即，解之得，將其代入原曲面方程，求得切點為和，因而，所求的切平面方程為，即和，即.習(xí)題9-61求曲線在對應(yīng)于處的切線方程及法平面方程2求曲線在點處的切線方程和法平面方程3若平面與橢球面相切, 求4求球面在處的切平面與法線方程5曲面過點，且滿足，求此曲面過的法線與面的夾角6求曲

43、面在處的切平面與法線7曲面過，且，求曲面在處的切平面方程8試證由曲面上任一點處的切平面與三坐標(biāo)面圍成的立體體積為一定值9求曲線在處的切線與法平面10 曲線在處的切向量與軸正向成銳角，求此向量與軸正向的夾角余弦11求曲線在處的切線與法平面12曲線在某點處的切向量與三個坐標(biāo)軸正向的夾角相等，求此點坐標(biāo)13求球面被錐面所截曲線上點處的切線與法平面§9.7 多元函數(shù)的最優(yōu)化問題 在工程實際中，許多最優(yōu)化問題都可以歸結(jié)為求多元函數(shù)的最值問題例如，火電廠機組負(fù)荷的經(jīng)濟分配問題、電力負(fù)荷預(yù)測問題、發(fā)電競價等優(yōu)化問題其核心都是求多元函數(shù)的最值與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值有密切聯(lián)系，因此我們以二元函數(shù)為例，先來討論多元函數(shù)的極值問題一、無條件極值極值的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對任何，都有 則稱是的一個極大值(極小值)， 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；點稱為的極大值點(極小值點)，極大值點(極小值點)統(tǒng)稱為極值點圖9-7-1例如，函數(shù)在點處取得極小值 (見圖9-7-1)，而函數(shù)(補圖9-7-2)在點處既不取得極大值，也不取得極小值，因為在處的函數(shù)值為零，而在點的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負(fù)的點圖9-7-2對于可導(dǎo)的一元函數(shù)，我們知道在點處有極值的必要條件是，對于多